Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ФТЯР ЛЕКЦИИ

.pdf
Скачиваний:
82
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
1.08 Mб
Скачать

11

ограничившись первым непостоянным членом разложения: exp( 2 ) 1 2 . Если еще при этом учесть, что kблизок 1, то выражение (12) примет вид:

kэф k

(1 B2M 2 )

1.4. Критические размеры реакторов различной формы

Зная состав АЗ ЯР, мы можем определить материальный параметр, который в критическом ЯР равен геометрическому. Следовательно, если найти связь между геометрическим параметром ЯР и его размерами, то можно определить критические размеры. Величина геометрического параметра В2 находится из решения уравнения критического реактора:

Ф r B2Ф r 0

Рассмотрим случай цилиндрического ЯР, так как именно такая форма присуща большинству активных зон ЯР, особенно энергетического назначения.

Пусть имеется цилиндрический ЯР, экстраполированные размеры которого равны: радиус R, высота H. Начало координат находится в центре ЯР. В цилин-

дрических координатах оператор Лапласа имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

2

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

Полагая

 

отсутствие

 

зависимости потоков

 

 

 

 

 

 

 

 

нейтронов от азимутального угла φ уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

реактора в данном случае примет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Ф(r,z)

 

 

1 Ф(r,z)

 

2Ф(r,z)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

r

r

 

z2

B Ф(r,z) 0

H

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Граничные условия: Ф(R, z) =0; Ф(r, ±H/2) =0

 

 

 

 

R

 

 

 

 

При этом необходимо отметить,

что потоки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

конечны и неотрицательны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (1) будем решать методом раз-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

деления переменных. Пусть Ф(R, z) = f(r)∙g(z) (2). Подставим (2) в (1)

 

 

 

g(z)

2 f (r)

g(z)

1

f (r)

f (r)

 

2g(z)

B2 f (r)g(z) 0

 

r2

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

1

 

2 f (r)

 

1 f (r)

 

1

 

2g(z)

B2

B2

,

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

g(z)

 

z2

r

z

 

 

 

f (r)

 

r r

 

 

 

 

 

 

где B2 B2

B2 ,

B2 - радиальная составляющая геометрического параметра,

r

 

z

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bz2 - аксиальная составляющая геометрического параметра. Таким образом, мы разделили переменные r и z.

Уравнение (3) имеет решения только в том случае, когда слагаемые с r и z не зависят от переменных, т.е. равны постоянному числу. Тогда (3) преобразу-

ется к следующему виду:

 

 

 

 

1

 

 

2 f (r)

1

f (r)

B2

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (r)

r2

 

r

r

 

 

 

1

 

2g(z)

 

 

2

 

 

(5)

 

 

 

 

 

Bz

 

 

 

g(z)

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим уравнение (4). Для функции f(r) граничные условия примут

вид: f (R)=0. В (4) раскроем скобки и обе части (4) помножим на r2f(r):

 

r2

2 f (r)

r

 

f (r)

 

(rB

)2

f (r) 0

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В первом слагаемом числитель и знаменатель помножим на B2

; во втором – на Br:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

(rB )2

2 f (r)

rB

 

f (r)

 

(rB

)2

f (r) 0

(6)

(rB )2

 

 

 

 

r

 

r (rB )

 

r

 

 

 

 

r

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

Уравнение (6) представляет собой уравнение Бесселя x2 y xy (x2 n)y 0 относительно аргумента rBr (действительный аргумент) и n = 0.

Тогда общее решение уравнения (6) есть суперпозиция функций Бесселя.

f(r)=C1 J0(rBr)+C2 Y0(rBr)

(7),

где C1 и C2 – константы; J0(rBr) - функция Бесселя первого рода 0-го порядка; Y0(rBr) - функция Бесселя второго рода 0-го порядка. Известно, что при x→0

функция Y0(x)→∞. С другой стороны, известно, что поток нейтронов в ЯР должен быть во всем его объеме конечным. Следовательно, чтобы во всех точках ЯР выполнялось условие конечности потока, необходимо в решении (7) константу при функции Y0(rBr) приравнять к нулю C2=0. Тогда окончательно решение уравнения (4) примет вид:

 

13

f(r)=C1 J0(rBr)

(8)

Определим Br. Для этого воспользуемся граничными условиями f (R)=0. Функция Бесселя J0(rBr) представляет собой гармоническую функцию и является положительной до первого корня (точки, где функция обращается в ноль), за-

тем она принимает отрицательное значение. Тогда из соображений неотрица-

тельности потоков имеем, что RBr = ξ, где ξ - первый корень функции Бесселя первого рода нулевого порядка, ξ ≈2,405. Таким образом, получаем, что радиальная составляющая геометрического параметра равна:

2

 

2

 

2,405

 

2

Br

 

 

 

R

 

(9)

 

 

R

 

 

 

Рассмотрим уравнение (5). Помножим обе его части на g(z) и приведем его

к следующему виду:

2g(z)

2

g(z) 0

(10)

 

Bz

z 2

 

 

 

Граничные условия gH/2) =0. Кроме того, физически очевидно, что функция g(z) – симметрична относительно оси z: g(z)= g(–z)

Уравнение (6) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами y py qy 0. Корни этого уравнения комплексные, следовательно, общее решение (10) записывается как: g(z)=Аcos (Bzz) + Bsin(Bzz) (11)

Из функций, входящих в решение (11) симметричной относительно оси z явля-

ется функция косинуса. Тогда условие симметрии будет выполняться только в случае, когда константа B в решении (11) равна нулю. Таким образом, окончательное решение уравнения (5) имеет вид:

g(z)=Аcos (Bzz) (12)

Аксиальная составляющая геометрического параметра определяется с помощью

заданных граничных условий: gH/2) =0.

 

H

 

H

 

 

 

 

 

Acos Bz

2

 

0 Bz

2

 

2

Bz

 

(13)

H

 

 

 

 

 

 

Таким образом, окончательно:

 

 

 

14

 

 

 

g(z) Acos

 

z

(14)

H

 

 

 

Если положить, что в центре ЯР поток равен Ф0, то распределение потока нейтронов в критическом гомогенном цилиндрическом ЯР без отражателя в одногрупповом приближении описывается следующей функцией:

 

 

 

2,405

 

 

 

 

Ф(r,z) Ф J

 

 

 

r cos

 

z

(15)

 

R

H

0

0

 

 

 

 

 

При этом анализ выражения для геометрического параметра в рассматриваемом реакторе показывает, что геометрический параметр действительно связан с геометрическими размерами активной зоны:

 

2

 

2,405

2

 

 

2

B

 

 

R

 

 

 

 

(16)

 

 

 

 

 

 

 

H

 

Зная выражение для геометрического параметра и распределение потока

нейтронов, можно определить ряд необходимых характеристик критического ЯР.

1. Минимальный критический объем ЯР.

Эта характеристика определяется путем рассмотрения формулы для объема ци-

линдра V=πR2H. Выразив это соотношение через геометрический параметр и отношение высоты к радиусу, можно решить задачу о минимуме функции относительно параметра H/R. В результате получим, что минимальный объем будет при H/R ≈1,847. Тогда поочередно выражая высоту через радиус или наоборот, и подставляя эти выражения в формулу для геометрического параметра (16), получим соотношения для критических радиуса и высоты:

Rкр ≈ 2,945/В; Hкр ≈ 5.44/В (17)

Кроме того, что выражения (17) позволяют определить минимальный критический

объем, они еще дают возможность сделать ряд важных выводов. Для этого вспом-

ним, что в критическом реакторе геометрический параметр равен материальному:

 

 

B2 2

 

k 1

(18)

 

 

 

 

M 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим (18) в (17) и получим:

 

 

 

 

 

 

R

кр

2,945M

 

 

H

кр

5,44M

 

k 1

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

15

Как видно критические размеры зависят от двух характеристик размножа-

ющей среды: коэффициента размножения и длины миграции. При заданном

значении kопределяются длиной миграции, которая в свою очередь определяется длиной миграции нейтронов в замедлителе. Например, в ЯР с легководным замедлителем (Н2О) М2=34,7 см2, а в ЯР с тяжеловодным замедлителем (D2О) М2=11570 см2. Следовательно, при одном и то же kЯР с Н2О замедлителем будет иметь меньшие критические размеры, чем ЯР с D2О – замедлителем.

Вернемся к нахождению минимального критического объема. Для этого в соотношение для объема цилиндра подставим выражения (17):

Vmin Rкр2 Hкр 148B3

2. Коэффициент неравномерности

Анализируя распределение нейтронного потока в ЯР, можно увидеть, что в центральных областях поток выше, чем на периферии. Это происходит вследствие утечки нейтронов из периферийных областей за пределы АЗ, т.е. имеет место неравномерность нейтронного потока, а значит и энерговыделения по объему ЯР. Это приводит к тому, что в центре топливо выгорает сильнее, чем на периферии. Поэтому определение неравномерности потока нейтронов является

важной задачей. Количественно неравномерность нейтронного потока характе-

ризуется коэффициентом неравномерности по объему kv. По определению это есть отношение максимального потока нейтронов в ЯР (в центре АЗ) Ф0 к сред-

нему по объему АЗ потоку нейтронов Ф:

kv ФФ0 . (19)

Очевидно, что в ЯР, где поток равномерен, kv =1. Чем больше kv, тем более

неравномерно распределен поток. По аналогии с коэффициентом неравномерности по объему вводят в рассмотрение коэффициенты неравномерности по отдельным геоментрическим составляющим. Так, например, для цилиндрического ЯР можно рассмотреть коэффициент неравномерности по радиусу kr и по высоте kH, имеющих аналогичный kv смысл. При этом kv= kr kH.

16

Определим kv для ЯР цилиндрической формы без отражателя. Максималь-

ный поток нейтронов имеет место в этом случае равен Ф0. Найдем Ф. По тео-

реме о среднем имеем:

Ф(V)dV

 

 

 

v

 

(20)

Ф

 

 

 

V

 

 

 

 

 

Рассмотрим интеграл в числителе выражения (20). Распределение потока нейтронов в цилиндрическом ЯР описывается выражением (15) и в цилиндрической системе координат dV=rdrdφdz, тогда:

 

 

 

2,405

 

 

 

 

 

 

Ф(V)dV Ф0J0

 

 

 

r cos

 

 

z rdrd dz

R

 

H

 

v

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

H /2

 

 

 

 

 

R

 

 

2,405

 

Ф0 d

cos

 

z

dz rJ0

 

 

r dr

H

 

R

0

H /2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Рассмотрим отдельно интегралы, входящие в полученное выражение.

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

d 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

H /2

 

 

 

 

H

 

H

 

 

H

 

H

 

 

 

H

 

cos

 

z dz

sin

 

 

sin

 

 

 

2

 

sin

 

2

 

 

 

 

 

H /2

 

H

 

 

 

H

2

 

 

H 2

 

2

 

 

3.

R

 

2,405

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rJ0

R

 

r dr . Интеграл определяется методом подстановки Brr=y. Тогда

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r=y/Br, а dr=dy/Br. Напомним, что Br=2,405/R. Тогда рассматриваемый интеграл

приобретает вид:

R

 

2,405

 

R

y

 

 

y

 

 

R

 

2 R

 

rJ0

 

 

r dr

 

J0

y d

 

 

 

 

 

yJ0

y dy

R

2,405/ R

 

2,405

0

 

 

0

 

 

2,405/ R

 

 

0

 

Согласно справочным данным: yn J y dy yn J 1 y (n 1) yn 1J 1 y dy . Тогда рассматриваемый интеграл принимает вид:

 

R

2

 

 

 

R

0

 

R

 

 

 

yJ1

y (1

0

1) y

 

J1

y dy

. Возвращаясь к старым переменным,

2,405

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

R

2

2,405

 

2,405

R

 

 

 

 

R

 

 

 

2,405

 

0J1

 

2,405

0

 

 

 

 

 

 

 

 

rJ1

 

r

 

 

 

 

 

 

 

RJ1

 

 

 

R

 

 

 

 

2,405

R

R

 

2,405

R

 

R

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2J1(2,405)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,405

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда величина среднего потока равна:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф(V)dV

 

 

H R

2

J

 

(2,405)

 

 

1

 

 

4J

 

(2,405)

 

 

 

 

Ф

v

 

 

Ф 2 2

 

 

1

 

 

Ф

1

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

2,405

 

0

2,405

 

 

 

Таким образом, коэффициент неравномерности в цилиндрическом ЯР равен:

k

v

 

Ф0

 

Ф0 2,405

3,63

 

 

 

 

Ф 4J

(2,405)

Ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

Изложенная методика для критического гомогенного цилиндрического ЯР без отражатель в полной мере применима для реакторов других геометрий и форм. Без выводов запишем результаты анализа ЯР по изложенной методике.

1. Форма – бесконечная пластина

Геометрия – одномерная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Экстраполированные размеры: ширина – H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Распределение потока нейтронов : Ф(x) Ф cos

 

 

x

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрический параметр: B

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Минимальный критический объем: не определяется

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициент неравномерности: kx =π/2≈ 1,57

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Форма – прямоугольный параллелепипед

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрия – трехмерная (декартова система координат)

 

 

 

 

 

Экстраполированные размеры: ширина – a; длина – b; высота – c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Распределение потока нейтронов : Ф(x, y,z) Ф cos

 

x cos

y cos

z

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

a

 

b

 

c

 

Геометрический параметр: B

2

 

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

b

 

c

 

 

 

 

 

 

 

18

Минимальный критический объем: Vminпарал 161B3

Коэффициент неравномерности по объему: kV =π3/8≈3,87

3. Форма – цилиндр

 

 

 

 

 

 

 

Геометрия – цилиндрическая

 

 

 

 

 

 

 

Экстраполированные размеры: радиус – R; высота – H

 

 

 

 

Распределение потока нейтронов : Ф(r,z) Ф J

 

 

2,405

 

 

 

 

 

 

r cos

 

z

 

R

H

0

0

 

 

 

 

Геометрический параметр: B

2

 

2,405

2

 

2

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

Минимальный критический объем: Vminцил 148B3

Коэффициент неравномерности по объему: kV ≈3,63 4. Форма – сфера

Геометрия – сферическая Экстраполированные размеры: радиус – R

Распределение потока нейтронов : Ф(r) Ф

R

 

 

 

sin

R

r

 

0 r

 

 

Геометрический параметр: B

2

 

2

 

 

 

 

 

 

R

Минимальный критический объем: Vminсф 130B3

Коэффициент неравномерности по объему: kV=π2/3≈3,29

Выражая найденные минимальные объемы через объем сферического реактора, получаем: Vminсф :Vminцил :Vminпарал 1:1,14:1,24. Таким образом, при заданном значении геометрического параметра минимальный критический объем (а значит и минимальную критическую массу) имеет сферический ЯР. Это объясняется тем, что утечка нейтронов происходит через поверхность ЯР. Поэтому при заданном составе минимальный объем будет иметь реактор, в котором утечка

19

меньшая, т.е. реактор с наименьшей площадью поверхности. Из рассмотренных реакторов таким является сферический ЯР. По этой же причине (меньшая утечка нейтронов) сферический ЯР имеет наименьший kV, т.е. в таком ЯР поток нейтронов наиболее равномерно распределен по объему.

1.5.Принципиальные подходы к проектированию реакторов

Впредыдущем параграфе было установлено, что геометрический параметр действительно связан с формой и размерами ЯР. Таким образом, условие критичности χ2= B2 имеет очевидный физический смысл: в критическом гомогенном ЯР без отражателя в одногрупповом приближении условие критичности связывает материальные и геометрические характеристики ЯР. В дальнейшем, рассматривая другие приближения, другие компоновки ЯР, будут получены условия критичности, имеющие другой вид. Однако в любом случае физический смысл условий критичности любого вида остается неизменным: связь в критическом реакторе материальных и геометрических характеристик ЯР.

Условие критичности χ2= B2 позволяет применить два подхода к проектированию реакторов. В первом случае на основе подобранных состава материалов, их соотношения в ЯР (найденных kи χ2) можно определить критические размеры активной зоны, что в дальнейшем позволяет решить задачу о мощности ЯР, исходя из условий отвода мощности из АЗ.

На практике обычно используют другой подход. По заданной мощности ЯР, исходя из условий теплоотвода, находят размеры АЗ (геометрический параметр)

иопределяют загрузку топлива, необходимую как для выполнения условия критичности, так и для обеспечения заданной продолжительности работы ЯР.

20

2. ГОМОГЕННЫЙ РЕАКТОР С ОТРАЖАТЕЛЕМ В ОДНОГРУППОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Как было установлено ранее, единственной причиной неравномерного распределения потока нейтронов в ЯР без отражателя является утечка нейтронов через поверхность. Это обстоятельство нежелательно, т.к. приводит к неэффективному использованию ТВЭЛ. В центральных областях АЗ, где потоки близки к максимальным, топливо выгорает сильнее, чем на периферии, где поток меньше. Т.о., на периферии ТВЭЛы работают с технической недогрузкой, а значит изменяются режимы теплоотвода и уменьшается экономическая эффективность.

В связи с этим становится важным добиться более равномерного распределения потока нейтронов, т.е. добиться, чтобы коэффициент неравномерности был как можно ближе к 1 (kv →1). Для этого используют отражатель. Отражатель вводится добавлением к внешней поверхности АЗ слоя отражающего нейтроны материала. Основное назначение отражателя – уменьшить утечку нейтронов из АЗ путем отражения обратно в АЗ некоторой части нейтронов, вышедших за ее пределы.

2.1. Влияние отражателя на нейтронно-физические свойства АЗ

Для реакторов на тепловых нейтронах введение отражателя приводит к тому, что хотя бы незначительная часть нейтронов, попадающих в него из АЗ, возвращается обратно, повышая поток нейтронов в приграничных с отражателем областях АЗ. Это связано с тем, что как родившиеся вблизи отражателя быстрые нейтроны, так и находящиеся там тепловые нейтроны, вследствие своего движения могут перейти в отражатель. В отражателе быстрые нейтроны будут эффективно замедляться и вместе с тепловыми диффундировать в отражателе. В результате этого имеется ненулевая вероятность для нейтрона вернуться обратно в АЗ. При этом отражение нейтронов происходит не от поверхности отражателя (не путать с оптическим отражением), а от всего объема вещества отражателя. Поэтому в этом случае речь идет о диффузионном отражении тепловых нейтронов.

Нейтронно-физические свойства АЗ и отражателя существенно отличаются друг от друга. При этом распределение нейтронов вблизи границы