ФТЯР ЛЕКЦИИ

57

Dб1 L2б1. Вместе с тем известно, что квадрат длины диффузии имеет физиче-

з,б1

ский смысл 1/6 квадрата расстояния, на которое смещается нейтрон в процессе диффузии. С другой стороны в рамках модели непрерывного замедления считается, что диффузии быстрых нейтронов нет, а их движение обусловлено процессом замедления. Следовательно, смещение быстрого нейтрона происходит только в процессе замедления. Тогда L2б1 - 1/6 квадрата расстояния, на которое смещается нейтрон в процессе замедления, а это есть ничто иное, как возраст нейтронов L2б1 1. Таким образом, выражение (14) принимает вид:

1 2 1 L12 2 1 k (15)

Выражение (15) – квадратное уравнение относительно 2 , имеющее два решения 12 и 22:

при k∞=1 12 =0, при k∞>1 12 >0, k∞<1 12 <0. Значение 22 всегда отрицательно.

Согласно (16) параметр 12 определяется свойствами среды АЗ, поэтому его можно рассматривать как материальный параметр в 2-групповом приближении.

Так как 2 имеет два значения 12 и 22, то уравнение ЯР распадаются на два типа:

58

Следовательно, функции распределения потоков быстрых и тепловых нейтронов должны содержать функции, удовлетворяющие уравнениям ЯР обоих типов. Таким образом, решения для функций потоков будут иметь вид:

Свяжем между собой константы в решениях (19) и (20) следующим образом:

и подставим в него первые слагаемые полученных решений (это можно делать, т.к. этому уравнению должны удовлетворять не только общие решения, но и

По аналогии определим Y1, подставляя в (13) вторые слагаемые решений (21) и (22), полагая, что согласно (18) Фт1(r) 22Фт1(r):

Видно, что коэффициенты связи определяются свойствами среды АЗ.

59

Перейдем к рассмотрению отражателя. В отражателе нет делящихся ядер k∞ и

нет резонансного поглощения φ=1, по-прежнему полагаем, что в процессе замедления поглощение отсутствует. Тогда уравнения для быстрых и тепловых нейтронов в отражателе примут вид:

В отличии от АЗ теперь, хотя быстрые нейтроны по-прежнему являются источниками тепловых, но тепловые уже не являются источниками быстрых. Уравнение (25) является однородным дифференциальным уравнением второго порядка, и для него решение запишем следующим образом:

Фб2(r) FX 2(r) (27)

Уравнение (26) – неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение есть общее решение однородной части уравнения (26) Dт2 Фт2(r) a,т2Фт2(r) 0 и любое частное решение для функции Фб2(r).

Общее решение однородной части уравнения (26) запишем по аналогии со случаем быстрых нейтронов – KY2, а частное решение для Фб2(r) запишем как

Значение X 2 можно получить, подставляя второе слагаемое из (29) и решение (27) в уравнение (26):

Dт2 X 2F X 2(r) a,т2 X 2FX 2(r) з,б2FX 2(r) 0 (30)

Функцию X 2(r) находим из уравнения (25) путем подстановки туда решения (27):

нейтронов в отражателе (см. выводы для АЗ). Таким образом, выражение (30) примет вид:

ние – дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем корни его характеристического уравнения мнимые, тогда:

Фб1(x) Acos( 1x) K sin( 1x)

Из условия симметрии потоков имеем, что К=0. Следовательно, выражение для потока быстрых нейтронов примет вид: Фб1(x) Acos( 1x).

Второй тип (с собственным числом 22) d2Ф(2x) 22Ф(x) 0. Данное уравнение dx

– дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем корни его характеристического уравнения действительные, тогда:

Фб1(x) D e 2x e 2x Cch( 2x)

Таким образом, для быстрых нейтронов функция потока имеет вид:

61

Фб1(x) Acos( 1x) Cch( 2x)

Так как для тепловых нейтронов исходные уравнения имеют аналогичный вид, то функция потока тепловых нейтронов записывается следующим образом:

Фт1(x) A cos( 1x) C ch( 2x)

При этом А А’ и С С’.

Если бы отсутствовал отражатель, то полученные выражения для функций потоков быстрых и тепловых нейтронов сводились бы к известным решениям:

Фб1(x) Acos( 1x)

Фт1(x) A cos( 1x)

так как в этом случае согласно граничным условиям на экстраполированной границе АЗ потоки должны обращаться в ноль, а ch(x) нигде в ноль не обращается. В случае наличия отражателя потоки нейтронов на границе АЗ не должны обращаться в нуль.

Теперь рассмотрим отражатель. Для быстрых нейтронов исходное уравне-

Исходное уравнение для тепловых нейтронов записывается следующим образом:

Dт2 d2Фт2 (x) a,т2Фт2 (x) з,б2Фб2 (x) 0.

dx2

Перед нами неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение есть общее решение однородной части:

Dт2 d2Фт2 (x) a,т2Фт2 (x) 0

dx2

Плюс частное решение для функции Фб2(x).

62

Общее решение однородной части получаем по аналогии со случаем быстрых нейтронов:

В таблице приведены решения для простейших геометрий АЗ и отражателя. Получив выражения для потоков быстрых и тепловых нейтронов в актив-

ной зоне и отражателе. Для этого необходимо знать постоянные A, C, F, K, входящие в уравнения:

Фб1(r) AX1(r) CY1(r)

Фт1(r) X 1AX1(r) Y1CY1(r)

Фб2(r) FX 2(r)

Фт2(r) KY2(r) X 2FX 2(r)

При решении такого рода задач в математической физике одна из констант задается произвольно, а остальные выражаются через нее. В нашем случае известно, что величины потоков зависят от мощности ЯР, следовательно, одна из констант должна определяться как раз мощностью ЯР. Однако для анализа закономерностей в распределении потоков нейтронов важны не абсолютные значения потоков, а форма распределения. Поэтому одну из констант выбираем произвольно. Пусть A 1 X 1 , т.е. поток тепловых нейтронов в центре АЗ

стремится к 1. Тогда исходные полученные решения примут вид:

Фб1(r) (1 X 1)X1(r) CY1(r)

Фт1(r) X1(r) Y1CY1(r)

Фб2(r) FX 2(r)

Фт2(r) KY2(r) X 2FX 2(r)

65

Функция (1 X 1)X1(x) описывает асимптотическое распределение быстрых нейтронов (область I), которое определяется только свойствами материала активной зоны. Эта функция описывает распределение потока нейтронов в эквивалентном ЯР без отражателя. Функция CY1(x)учитывает влияние отражателя на распределение потоков быстрых нейтронов в пограничной области активной зоны (область II), т.е. определяет переходное распределение. При этом необходимо отметить, что на границе «активная зона – отражатель» сильного возмущения в распределении быстрых нейтронов не возникает. Физически это объясняется тем, что диффузионные характеристики активной зоны и отражателя для быстрых нейтронов отличаются друг от друга незначительно.

Для тепловых нейтронов отклонение от асимптотической функции X1(x) наблюдается только в переходной области (область II) – области, близкой отражателю. Там влияние отражателя учитывается наличием коэффициента Y1. В то же время в самом отражателе наблюдается всплеск в распределении тепловых нейтронов. Формально он объясним наличием функции Y2(x). С физической точки зрения этот всплеск объясняется тем, что скорость появления тепловых нейтронов в АЗ и отражателе примерно одинакова, а вот скорость поглощения тепловых нейтронов в АЗ значительно выше, чем в отражателе. Поэтому в отражателе происходит «накопление» тепловых нейтронов при замедлении быстрых (тепловые рождаются, но практически не поглощаются). Максимум потока тепловых нейтронов в отражателе расположен от АЗ на расстоянии, примерно равном длине замедления в отражателе – 2 . Этот эффект тем выше, чем меньше сечение поглощения материала отражателя. Например, в уран-водных ЯР малых размеров с Be или D2О отражателем максимум потока тепловых нейтронов в отражателе даже значительно выше максимального их потока в центре АЗ.

Анализируя полученный график, видно, что функции (1 X 1)X1(x) и X1(x) представляют собой асимптотическое, т.е. без влияния границ и отражателя, распределение потоков тепловых и быстрых нейтронов, и отсюда вытекает физический смысл эффективной добавки – это расстояние от АЗ, на котором аналитическое продолжение асимптотического распределения обращается в ноль.

66

С другой стороны, коэффициент связи X 1 есть коэффициент пропорциональности между потоками тепловых и быстрых нейтронов в эквивалентном ЯР

Фт1(x) X 1Фб1(x). Этот коэффициент называют жесткостью спектра в ЯР. Величина коэффициента X 1 , как известно, зависит от свойств материалов АЗ и в первую очередь от сечения поглощения тепловых нейтронов. Чем выше сечение поглощения тепловых нейтронов, тем меньше X 1 , тем жестче (т.е. в ЯР более высокие значения потоков быстрых нейтронов по сравнению с тепловыми) спектр в АЗ. Так, например, для легководных ЯР сечение поглощения значительно выше, чем для тяжеловодных ЯР. Отсюда для типичные значения X 1 для легководных ЯР составляют 0,1 0,4, а для тяжеловодных ЯР – примерно 1. Другими словами, в легководном реакторе уровень потока быстрых нейтронов значительно выше потока тепловых, тогда как в другом случае эти потоки примерно равны.

4.3.Условие критичности ЯР с отражателем

вдвухгрупповом приближении

Для получения условия критичности воспользуемся полученными решениями для потоков нейтронов:

Фб1(r) AX1(r) CY1(r)

Фт1(r) X 1AX1(r) Y1CY1(r)

Фб2(r) FX 2(r)

Фт2(r) KY2(r) X 2FX 2(r)

Применим к записанным выражениям граничные условия на границе «АЗотражатель»:

A[X1 (r)] C[Y1(r)] F[X 2 ]

X 1 A[X1(r)] Y 1C[Y1(r)] X 2 F[X 2 (r)] K[Y2 (r)]

Dб1 A[ X1(r)] Dб1C[ Y1(r)] Dб2 F[ X 2 ]

X 1Dт1 A[ X1(r)] Y1Dт1C[Y1(r)] Dт2 X 2 F[ X 2 (r)] Dт2 K[ Y2 (r)]