2. Лабораторная работа №2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ìa

x

+ a

x

+ ... + a

x

= b

ï 11

1

12

2

1n

n

1

ïa21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn

= b2

í

,

(2.1)

ï...

ïa

x

+ a

n 2

x

2

+ ... + a

n1n

x

n

= b

n

î

n1 1

=

,

(2.2)

Ax

b

= (b1,b2 ,...,bn )T

– вектор

свободных

членов,

x

= (x1, x2 ,..., xn )T

–

b

вектор

неизвестных

с

вещественными

, координ

A = (aij ),

i =

,

j =

–

вещественная

матрица

размераn ´ n ,

1, n

1, n

между

числом

нулевых

и

ненулевых

элементов), специфики

расположения ненулевых элементов матрицы.

Теорема

Кронекера–Капелли:

Необходимым

условием

существования единственного решения системы (2.1) является:

Определение.

Если в

пространстве

x

= (x , x

2

,..., x

n

)T

векторов

1

введена норма ||x||,

то согласованной с ней

нормой в

пространстве

матриц А называется норма

A

= sup

Ax

, x ¹ 0.

x

Таблица 2.1

Виды норм векторов и матриц

В пространстве векторов

В пространстве матриц

1. Кубическая норма

x

1 = max

x j

æ

n

ö

1£ j£n

A

1 = maxç

å

aij

÷

1£i£n è

j =1

ø

2. Октаэдрическая норма

n

æ

n

ö

x

2 = å

xj

A

2 = maxç

å

aij

÷

j =1

1£ j£n è i=1

ø

3. Сферическая норма

n

n n

x

3 = å

xj

2 = (x, x)

A

3 = ååaij2

j =1

i =1 j =1

a11

a11

a11

Результатом этого этапа преобразований

будет эквивалентная

ìa11 x1

+ a12 x2

+ a13 x3

+ ... + a1n xn

= b1

ï

a

(1) x

2

+ a(1) x

3

+ ... + a

(1) x

n

= b

(1)

ï

22

23

2n

2

ï

a32(1) x2

+ a33(1) x3

+ ... + a3(1)n xn

= b3(1)

,

(2.3)

í

ï

...

ï

a(1) x

+ a(1) x

+ ... + a(1) x

= b(1)

ï

2

3

n

î

n2

n3

nn

n

коэффициенты которой (с верхним индексом 1) подсчитываются по

формулам

a(1) = a

-

ai1

× a

,

b(1)

= b -

ai1

× b , i, j = 2,3,...,n .

a11

a11

ij

ij

1 j

i

i

1

При этом можно считать, что a11 ¹ 0 , так как по предположению

система (2.1) однозначно разрешима, значит, все коэффициенты при

х1 не могут одновременно равняться нулю и на первое место всегда

можно

поставить

уравнение

с

отличным

от

нуля

перв

коэффициентом.

На втором этапе проделываем такие же операции, как

и на

первом, с

подсистемой (2.3). Эквивалентный (2.3) результат

будет

иметь вид

ìa11 x1

+ a12 x2

+ a13 x3

+ ... + a1n xn

= b1

ï

a

(1) x

2

+ a(1) x

3

+ ... + a

(1) x

n

= b

(1)

ï

22

23

2n

2

ï

a33( 2) x3

+ ... + a3( 2)n xn

= b3(2)

,

(2.4)

í

ï

...

ï

a( 2) x

+ ... + a( 2) x

= b(2)

ï

3

n

î

n3

nn

n

где a( 2) = a(1)

-

ai(1)2

× a(1)

,

b( 2) = b(1)

-

ai(1)2

× b(1)

, i, j = 3,...,n .

a22(1)

a22(1)

ij

ij

2 j

i

i

2

Продолжая

этот

процесс, на

(n–1)-м шаге так называемого

x

=

b( n-1)

,

n

n

ann(n-1)

…,

x

=

b(1)

- a(1) x

3

-

... - a(1) x

n

,

2

23

2n

2

a22(1)

.

x

=

b1

- a12 x2 - ... - a1n xn

a11

1

Этот процесс можно определить одной формулой

1 æ ( k -1)

n

(k -1)

ö

xk

=

çbk

-

åakj

x j

÷

,

(2.7)

( k -1)

akk

è

j =k +1

ø