7. Лабораторная работа №7. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

F (±h / 2) = F (0) ±

h

¢

+

h 2

1

¢¢

h3

1

¢¢¢

2

F (0)

4

2!

F (0) ±

8

3!

F (0) + ... =

,

h

h2

1

¢

h3

1

¢¢

= ±

f (0) +

f

2

4

2!

(0) ±

8

3!

f (0) + ...

h / 2

h3

¢¢

ò f (x)dx = F (h / 2) - F (-h / 2) = hf (0) +

f

24

(0) .

-h / 2

Таким

образом,

локальное

представление

формулы

прямоугольников

h / 2

æ

h

3

ö

ò f (x)dx = hf (0) + Î

ç

÷

(7.1)

ç

÷ .

-h / 2

è 24

ø

Пусть отрезок [a,b] разбит на n частей, тогда

b

n

h

3

n

h

3

n

ò f (x)dx » å(hf (xi-1 ) +

f ¢¢(x)) = åhf (xi-1 ) +

å f ¢¢(x ) =

a

i=1

24

i=1

24 i=1

.

n

h

3

n

b - a

n

h

2

b

- a

= hå f (xi

-1 ) +

f ¢¢(x)å1 =

å f (xi-1 ) +

f ¢¢(x)n

i=1

24

i=1

n

i=1

24 n

Таким

образом,

если

f ÎC[2a,b ,]

x Î[a,b],

получаем

глобальную

формулу прямоугольников

b

b

- a

n

b - a

2

¢¢

ò f (x)dx @

å f (xi-1 ) +

h

f

(7.2)

n

24

(x) .

a

i=1

7.1.2. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса

Идея:

b

подставляют

в

интеграл ò f (x)dx

вместо f (x)

Функция

f (x) ÎC[na+,b1

]

может

быть

единственным

образом

представлена в виде

f (x) = Ln (x) + Rn (x) ,

n

, pi

где Ln (x) = å pi (x) fi

(x)

– базисные многочлены,

i=0

Rn (x) =

f (n+1)

(x)

Wn (x) –

отклонение,

(n +

1)!

Wn (x) = (x - x0 )(x - x1 )...(x - xn ) .

Пусть

последовательность {xi }in=0 совпадает

с точками разбиения

отрезка [a,b] с шагом h

xk

= x0

+ kh , тогда

n

(-1)

n-i

k(k -1)...(k - n)

Ln (x0 + kh) = å

fi .

i=0

i!(n - i)!

k -i

Изменим границы интегрирования:

x = a ® k = 0; x = b ® k = n ;

dx = hdk , получим квадратурную формулу Ньютона – Котеса

b

n n

(-1)

n-i

k(k

-1)...(k - n)

ò f (x)dx @ hòå

fi dk .

(7.3)

a

0 i=0 i!(n - i)!

k - i

формулы Ньютона – Котеса.

Применим

полином

Ньютона(эквивалентный

многочлену

Лагранжа в силу единственности):

P (x

+ kh) = y

+ kDy

+

k (k -1)

D2 y

+ ... +

k (k -1)...(k - n +1)

Dn y

.

0

0

0

0

n

2!

n!

0

I. Формула трапеций

Пусть

n = 1, т. е.

имеем две точки x0 и

x1 = x0 + h , и известны

значения

функции y0

= f (x0 ), y1

= f (x1 ) . Этим

точкам

соответствуют

k = 0, k = 1 ,

тогда

получим

простейшую

квадратурную формулу

трапеций

x1

1

é

k 2

ù1

æ

y - y

0

ö

ò f (x)dx »ò( y0

+ kDy0 )hdk = hêy0k +

Dy0 ú

= hç y0 +

1

÷

=

2

2

x0

0

ë

û0

è

ø

,

(7.4)

y0 + y1

=

h

2

где h =

b - a

.

n

Остаточный член формулы трапеций r1 = -

f ¢¢(x1 )

h3 ,x1 Î(x0 , x1 ).

12

II. Формула Симпсона

Пусть n = 2 ,

т. е. интерполируем функцию f (x) по трем точкам

x0 , x1 = x0

+ h ,

x2

= x0 + 2h , тогда

получим

простейшую

формулу

Симпсона

x2

2

é

k(k -1)

2

ù

ò f (x)dx » ò

êy0

+ kDy0

+

D y0

úhdk

=

2

x0

0

ë

û

.

(7.5)

é

1

ù

h

= hê2 y0 + 2( y1 - y0 ) +

(y2 - 2 y1

+ y0 )ú

=

( y0

+ 4 y1 + y2 )

3

3

ë

û

Остаточный член формулы Симпсона r2

= -

h5

f IV (x ),x Î(x0 , x2 ).

90

Для

применения

простейшей

формулы

Симпсона интервал

должен быть симметричен относительно точки x1 : (x1

- h; x1

+ h) .

Распространим формулы трапеций и Симпсона на все отрезки

разбиения [a,b].

Глобальная формула трапеций

b

y0

yn

) .

(7.6)

ò f (x)dx =h(

+ y1 + y2

+ ... +

a

2

2

Оценка погрешности

| Rn |£ M

| b - a | h2

¢¢

(7.7)

12

, M = max | f (x) |; x Î[a, b .]

Глобальная формула Симпсона

b

2h

y0 + y2m

+ 2 y1 + y2 +... + 2 y2m-1 ) .

(7.8)

ò f (x)dx =

(

3

2

a