4.2.Пример выполнения лабораторной работы
4.2.1.Задание к лабораторной работе
1.Локализуйте корни системы уравнений графически.
2.Найдите с точностью e = 10–6 все корни системы нелинейных уравнений, используя методы Ньютона и наискорейшего спуска.
|
|
|
4.2.2. Решение типового примера |
|
||||||||
1. Локализуем корни системы уравнений графически. |
||||||||||||
ìsin( x1 +1,5) - x2 + 2,9 = 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
í |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
îcos(x2 - 2) + x1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Преобразуем систему уравнений к виду |
|
|
|
|||||||||
ìx |
|
= sin(x |
+1,5) |
+ 2,9 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
í |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îx2 |
= arccos(-x1 ) + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Построим графики полученных функций (рис. 4.1). |
||||||||||||
|
|
5,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
-0,2 |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1 |
|
|
|
- |
-0,8 |
-0,6 |
-0,4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Рис. 4.1. Графическая локализация корня уравнения |
||||||||||
Система уравнений имеет один действительный корень на отрезке единичной длины x1 Î[0;1] и x2 Î[3;4].
2. Найдем с точностьюe = 10–6 корень системы нелинейных уравнений, используя метод Ньютона.
65
Построим итерационный процесс Ньютона
x( k +1) = x( k ) -[J (x( k ) )]-1 × F (x(k )
æç ¶f1
Найдем якобиан J = ç ¶x1
ç ¶f2 çè ¶x1
ì f |
|
(x , x |
) = sin( x |
+1,5) - x |
|
|
í |
1 |
1 2 |
|
1 |
|
2 |
î f2 (x1 , x2 ) = cos(x2 - 2) + x1 |
||||||
Получим |
æcos(x + 1,5) |
|||||
J = ç |
1 |
|
||||
|
|
|
|
ç |
1 |
|
|
|
|
|
è |
|
|
) .
¶f1 ö÷
¶x2 ÷ системы
¶f2 ÷ ¶x2 ÷ø
+ 2,9 .
-1 |
ö |
|
÷. |
- sin( x2 - 2) |
÷ |
ø |
æ |
0 |
ö |
||
Выберем начальное приближение: |
x |
(0) = ç |
|
÷. |
ç |
4 |
÷ |
||
è |
ø |
|||
Вычисления будем выполнять до выполнения условия
x k - x k -1 
£ e = 0,000 001.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ0 |
ö |
|
|
|
Найдем значение якобиана в точке |
x |
(0) |
= ç |
÷, получим |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è4 |
ø |
|
|
|
J ( |
x |
0 ) = |
æ0,070 737 |
|
|
-1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ç |
1 |
- 0,909 297 |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
æ- 0,971 804 |
1,068 743 ö |
|||||||
Обратная матрица к якобиану |
[J ( |
x |
0 )] |
|
= ç |
|
|
|
÷ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
0,075 600 |
÷ . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è -1,068 743 |
ø |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ - 0,102 505 |
ö |
|
|
|
|
|
|||||||
Значение функции |
F ( |
x |
0 ) = ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è- 0,416 147 |
ø |
|
|
|
|
|
|||||||
Выполним первую итерацию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
æ x |
ö |
æ |
0ö |
æ- 0,971 804 |
1,068 743 ö |
æ - 0,102 505ö |
æ0,345 139ö |
|
||||||||||||||
ç 1 |
÷ |
= ç ÷ - ç |
|
|
|
|
÷ |
· ç |
|
|
|
÷ |
= ç |
÷ . |
|
|||||||
ç |
|
÷ |
ç |
÷ |
ç |
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
÷ |
|
||||
è x2 |
ø |
è |
4ø |
è -1,068 743 |
0,075 600ø |
è- |
0,416 147ø |
è3,921 909ø |
|
|||||||||||||
x k - x k -1 
= 0,345 139 .
Занесем вычисления в таблицу.
66
|
k |
|
|
|
|
x |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
k - |
x |
k -1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ0ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è4ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
æ0,345 139ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
0,345 139 |
|
|||||||||
|
ç |
3,921 909 |
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
æ0,299 791ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
0,047 021 |
|
|||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
è3,874 888 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
æ0,298 713ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
0,001 078 |
|
|||||||||
|
ç |
3,874 140 |
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
æ0,298 712ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4 |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
0,000 001 |
|
|||||||||
|
ç |
3,874 139 |
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Поскольку |
|
|
x |
4 - |
x |
3 |
|
|
|
£ 0,000 001 , считаем, что корень системы |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
æ x* |
ö |
æ0,298 712ö |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
* |
|
|
ç |
1 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x = |
|
|
|
= ç |
÷ |
|||||||||||||||||||
уравнений |
* |
с точность e =10 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
ç |
÷ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è x2 |
ø |
è |
3,874 139 ø |
|
|||||||||||||||
Найдем |
|
с |
точностьюe |
= |
10–6 |
корень |
системы нелинейных |
||||||||||||||||
уравнений, используя метод наискорейшего спуска. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Построим итерационный процесс метода наискорейшего спуска |
|||||||||||||||||||||||
æ |
x |
k +1 |
ö |
|
æ |
x |
k |
ö |
æF¢ |
(xk |
, xk ) ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ç |
|
÷ |
= |
ç |
|
÷ |
ç |
x |
1 |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
1 |
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ç |
|
k +1 ÷ |
ç |
|
k ÷ |
-ak ç |
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
è x2 |
ø |
|
è x2 |
ø |
èF¢x2 |
(x1 |
, x2 ) ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Строим функцию Ф(x , x |
) = |
f |
2 (x , x |
) + f 2 (x , x |
2 |
) . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
Ф(x , x |
) = sin 2 (x +1,5) + cos2 (x |
2 |
- 2) + x2 + x2 |
+ 5,8sin(x +1,5) - |
. |
||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|||
- 2x2 sin( x1 |
+1,5) + 8,41 - 5,8x2 |
+ 2x2 cos(x2 - 2) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Найдем частные производные функции Ô (x1 , x2 ) : |
|
||||||||||||||||||||||
F¢x (x1 , x2 ) = 2[cos(x1 |
+1,5) × (sin(x1 |
+1,5) + 2,9 - x2 )+ x1 + cos(x2 - 2)], |
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F¢x2 (x1 , x2 ) = -2[cos(x2 |
- 2) sin(x2 - 2) - x2 |
+ sin(x1 +1,5) + 2,9 + |
|
||||||||||||||||||||
+ x1 sin(x1 +1,5)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
67
Путем перебора выбираем наилучший шаговый множительa ,
который оставим постоянным a = const = 0,3.
æ x |
ö |
æ |
0,254 039 |
ö |
|
После первой итерации получаем вектор: ç |
1 |
÷ |
ç |
|
÷ |
|
= ç |
|
÷ . |
||
ç |
|
÷ |
è |
3,711 456 |
ø |
è x2 |
ø |
||||
И |
только |
|
на25 итерации достигается необходимая точность |
||||
e =10-6 , и мы получаем решение: |
|||||||
|
|
æ x1* ö |
|
|
|
|
|
x |
* |
|
æ |
0,298 711ö |
. |
||
|
= ç * |
÷ |
= |
ç |
÷ |
||
|
|
ç |
÷ |
|
ç |
÷ |
|
|
|
è x2 |
ø |
|
è |
3,8741 39 ø |
|
4.2.3. Варианты заданий
№Система уравнений
1 |
sin(x1 + x2 ) - x2 -1.2 = 0 |
|
2x1 + cos x2 - 2 = 0 |
2 |
cos(x1 -1) + x2 - 0.5 = 0 |
|
sin x1 + 2x2 - 2 = 0 |
|
|
3 |
sin x1 + 2x2 - 2 = 0 |
|
cos x1 + x2 -1.5 = 0 |
4 |
cos x1 + x2 -1.5 = 0 |
|
2x1 - sin(x2 - 0.5) -1 = 0 |
5 |
sin(x1 +1.5) - x2 + 2.9 = 0 |
|
cos(x2 - 2) + x1 = 0 |
6 |
cos(x1 + 0.5) + x2 - 0.8 = 0 |
|
sin x2 - 2x1 -1.6 = 0 |
|
|
7 |
sin(x1 -1) + x2 - 0.1 = 0 |
|
x1 - sin(x2 +1) - 0.8 = 0 |
8 |
cos(x1 + x2 ) + 2x2 = 0 |
|
x1 + sin x2 - 0.6 = 0 |
9cos(x1 + 0.5) - x2 - 2 = 0 sin x2 - 2x1 -1 = 0
№ Система уравнений
10sin(0.5x1 + x2 ) -1.2x1 -1 = 0
x12 + x22 -1 = 0
11tan(x1x2 + 0.3) - x12 = 0
0.9x12 + 2x22 -1 = 0
12sin(x1 + x2 ) -1.3x1 -1 = 0 x12 + 0.2x22 -1 = 0
13tan(x1x2 ) - x12 = 0
0.8x12 + 2x22 -1 = 0
14sin(x1 + x2 ) -1.5x1 - 0.1 = 0
3x12 + x22 -1 = 0
15tan(x1x2 ) - x12 = 0
0.7x12 + 2x22 -1 = 0
16sin(x1 + x2 ) -1.2x1 - 0.1 = 0
x12 + x22 -1 = 0
17tan(x1x2 + 0.2) - x12 = 0
0.6x12 + 2x22 -1 = 0
18sin(x1 + x2 ) - x1 + 0.1 = 0 x2 - cos(3x1) + 0.1 = 0
68
Окончание
№Система уравнений
19 |
sin(x1 + x2 ) - x2 -1.5 = 0 |
|||
|
x1 + cos(x2 - 0.5) - 0.5 = 0 |
|||
20 |
sin(x2 +1) - x1 -1.2 = 0 |
|||
|
2x2 |
+ x |
2 |
- 2 = 0 |
|
1 |
|
|
|
21 |
cos(x2 -1) + x1 - 0.5 = 0 |
|||
|
x2 - cos x1 - 3 = 0 |
|||
22 |
tan(x1x2 + 0.4) - x12 = 0 |
|||
|
0.6x2 + 2x2 -1 = 0 |
|||
|
|
1 |
|
2 |
23 |
sin(x1 + x2 ) -1.6x1 -1 = 0 |
|||
|
x2 + x2 |
-1 = 0 |
||
|
1 |
2 |
|
|
24tan(x1x2 + 0.1) - x12 = 0
x12 + 2x22 -1 = 0
№Система уравнений
25cos(x1 + 0.5) + x2 -1 = 0 sin x2 - 2x1 - 2 = 0
26cos(x2 - 2) + x1 = 0
sin(x1 + 0.5) - x2 + 2.9 = 0
27sin(x1 -1) + x2 -1.5 = 0 x1 - sin(x2 -1) -1 = 0
28sin(x2 +1) - x1 -1 = 0 2x2 + cos x1 - 0.5 = 0
29cos(x2 -1) + x1 - 0.8 = 0 x2 - cos x1 - 2 = 0
30cos(x1 -1) + x2 -1 = 0 sin x2 + 2x1 -1.6 = 0
69