|
Выберем |
m |
линейно |
независимых |
[x , x ] |
функций |
|||||
|
на отрезке0 n |
||||||||||
j |
(x),j |
2 |
(x),...,j |
m |
(x) |
и аппроксимируем |
f (x) |
линейной |
|||
1 |
|
|
|
|
|
функцию |
|||||
комбинацией |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ф(x) = a1j1 (x) + a2j2 (x) + ... + amjm (x) . |
|
(6.1) |
||||||||
|
Приравнивая |
|
частные |
производные |
функционалаS |
к нулю, |
|||||
получим систему нормальных уравнений |
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
n |
n |
|
|
ïìa1 åj1 (xi )j1 (xi ) + a2 åj1 (xi )j2 (xi ) + ... + am åj1 (xi )jm (xi ) = å yij1 (xi ) |
||||||||||
|
ï i =1 |
|
|
|
|
i=1 |
i =1 |
i=1 |
|
||
ï n
ïa1 åj2
íi =1
ïï...
ï n ïa1 åjm
î i =1
n |
n |
n |
|
|
(xi )j1 (xi ) + a2 åj2 (xi )j2 (xi ) + ... + am åj2 (xi )jm (xi ) = å yij2 |
(xi ) |
, |
||
i =1 |
i =1 |
i =1 |
|
|
n |
n |
n |
|
|
(xi )j1 (xi ) + a2 åjm (xi )j2 (xi ) + ... + am åjm (xi )jm (xi ) = å yijm (xi ) |
|
|||
i =1 |
i=1 |
i=1 |
|
|
решая которую, находим параметры a1 , a2 ,...,am .
6.2. Пример выполнения лабораторной работы
6.2.1. Задание к лабораторной работе
Функция y = f (x) задана в виде таблицы своих значений9 в
точках
x0 x1 |
x2 . |
. |
. x8 |
y0 y1 |
y2 . |
. |
. y8 . |
1. Нанести точки на график функции. Путем моделирования на компьютере из предложенных10 аппроксимирующих законов выбрать два закона, которые на Ваш взгляд дадут наилучшую аппроксимацию по методу наименьших квадратов.
1) y = ax2 + bx + c |
6) y = ax + be- x + c |
||||||||||
2) y = |
a |
|
+ |
b |
+ c |
7) y = |
a |
+ bex + c |
|||
x2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
x |
||||||
3) y = bxa |
+ c |
8) y = ax ln x + bex + c |
|||||||||
4) y = beax + c |
9) y = b exp(-a(x + c)2 ) + c |
||||||||||
5) y = |
b |
|
+ c |
10) y = a |
|
+ bsin x + c |
|||||
|
x |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
x + a |
|
|
|
|
|
||||
83
|
2. Для |
каждого |
из |
двух |
выбранных |
законов |
составить |
||||||||
нормальную систему уравнений, решив которую, найти параметры |
|
||||||||||||||
выбранных законов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3. Построить графики выбранных законов вместе с графиком |
||||||||||||||
исходной |
функции. Для |
каждого |
из |
аппроксимирующих законов |
|||||||||||
найти невязку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
6.2.2. Решение типового примера |
|
|
|
|
|||||||
|
Функция y = f (x) задана таблицей своих значений в 9 точках |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0,034 |
0,394 |
|
0,754 |
|
1,114 |
1,474 |
|
1,833 |
2,193 |
2,553 |
2,913 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2,156 |
2,988 |
|
3,377 |
|
3,708 |
3,802 |
|
3,900 |
4,067 |
4,129 |
4,171 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Нанесем точки на график функции (рис. 6.1).
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
Рис. 6.1. Точки графика функции y = f (x)
Из предложенных 10 аппроксимирующих законов путем подбора коэффициентов a, b, c выберем два закона, которые дадут наилучшую аппроксимацию по методу наименьших квадратов.
Моделирование на компьютере позволяет выделить два таких закона:
1)y1 = bxa + c при a = 0,15, b = 4, c = – 0,4 (рис. 6.2);
2)y2 = ax + be- x + c при a = 0,15, b = – 1,65, c = 4 (рис. 6.3).
84
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,5 |
|
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
Рис. 6.2. График функции |
y |
= bxa + c с нанесенными точками функции y = f (x) |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,5 |
|
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
Рис. 6.3. График функции y2 |
= ax + be- x + c с нанесенными точками функции |
|||||||
y= f (x)
2.Для каждого из двух выбранных законов составим нормальную систему уравнений, решив которую, найдем параметры выбранных законов.
1) В первый закон параметр a входит нелинейно, поэтому мы не можем сразу составить нормальную систему. Выберем c = c0 = – 0,4. Преобразуем закон так:
y - c0 = bxa ,
ln(y - c0 ) = a ln x + ln b .
85
Делаем замену: |
ln x = t , |
ln( y - c0 ) = z , |
приведем исходный закон |
||||
к виду: |
z = at + ln b . |
|
|
|
|
|
|
Теперь нормальная система параметров a и ln b будет состоять из |
|||||||
двух уравнений и иметь вид: |
|
|
|
||||
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
ïìaå(ln xi )2 + ln båln xi |
= åln xi ln( yi - c0 ) |
||||||
ï |
i=1 |
|
i=1 |
i=1 |
|
. |
|
í |
n |
|
n |
|
|
|
|
ïïaåln xi |
+ (ln b)n = åln( yi |
- c0 ) |
|
||||
î |
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
å(ln xi )2 |
= 15,5487 , åln xi |
= -0,7015 , åln xi ln( yi - c0 ) =1,1243 , |
|||||
i=1 |
|
|
i =1 |
|
|
i=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
åln( yi - c0 ) =12,3217 . |
|
|
|
|
|||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
ì15,5487a - 0,7015ln b =1,1243 |
. |
|
|||||
í |
- 0,7015a + 9 ln b =12,3217 |
|
|||||
î |
|
|
|||||
Решая данную |
систему, получаем a |
= 0,1345, ln b = 1,3796, |
|||||
b = 3,9733. |
|
|
|
|
|
|
|
y = 3,9733x0,1345 - 0,4 .
Найдем невязку δ = 0,1641.
Варьируя далее параметромс, получим с = 0,5, a = 0,1838, b = 3,0535,
y = 3,0535x0,1838 + 0,5 .
Невязка при этом равна δ = 0,1449.
Построим график найденного закона вместе с графиком исходной функции (рис. 6.4).
86
4,5 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
Рис. 6.4. График функции y = 3,0535x0,1838 + 0,5 с нанесенными
точками функции y = f (x)
2) Для второго закона имеем m = 3, φ1(х) = x, φ2(х) = e-x, φ3(х) = 1. Тогда система нормальных уравнений имеет вид
|
n |
n |
n |
n |
|
|
|
ïìaåxi2 + båxi e -xi + cåxi = åxi yi |
|
|
|
||||
ï i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
ï |
n |
n |
n |
n |
|
|
|
íaåxi e-xi + båe -2 xi + cåe-xi = åe -xi yi |
. |
|
|||||
ï i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
|
||
ï |
n |
n |
n |
|
|
|
|
ïaåxi + båe-xi + cn = å yi |
|
|
|
|
|||
î |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
n |
|
å xi |
= 13,2620 , å yi |
= 32,2980 , å xi2 |
= 27,3111 , å xi e-xi |
= 2,2513 , |
|||
i=1 |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
n |
|
n |
|
n |
|
n |
|
åe-xi |
= 3,0723 , åe-2 xi |
= 1,8176 , å xi yi |
= 52,2908 , å yi e-xi |
= 9,4010 . |
|||
i=1 |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
ì27,3111a + 2,2513b +13,2620c = 52,2908 |
|
|
|
||||
ï |
|
|
|
|
. |
|
|
í2,2513a +1,8176b + 3,0723c = 9,4010 |
|
|
|||||
ï |
|
|
= 32,2980 |
|
|
|
|
î13,262a + 3,0723b + 9c |
|
|
|
||||
Решая систему, получим a = – 0,1075, b = – 2,4313, с = 4,5771,
y = -0,1075x - 2,4313e- x + 4,5771 .
Найдем невязку δ = 0,1727.
87