Lektsii_PDF / Лекция_14

Лекция №14

Поверхности второго порядка.

Поверхностью S второго порядка называют геометрическое место точек в пространстве, удовлетворяющих следующему общему уравнению второй степени:

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a23yz+2a13xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0 (1),

где a11,a22,a33,a12,a23,a13 не равны нулю одновременно.

Преобразование декартовых координат не меняют типа поверхности и существуют инварианты уравнения поверхности второго порядка относительно преобразований декартовых координат.

Теорема 1.Величины:

являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы координат.

Материалы лекции: Бахвалов С.В. Аналитическая геометрия. §44 Определение коэффициентов приведенных уравнений и вида поверхности второго порядка при помощи инвариантов. Приведена таблица для определения вида поверхности второго порядка по инвариантам ( стр.322).

Существует специальная методика классификации поверхностей второго порядка по инвариантам (стр.302).

Классификация поверхностей второго порядка.

I3≠0 (центральные поверхности).

Общее уравнение (1) путем преобразования декартовой системы координат (параллельный перенос и поворот координатных осей) можно привести к виду:

1.1.Пусть коэффициент а'44≠0.

Если коэф фициенты a'11,а'22, a'33 имеют одина ковый знак, то из (2) можно после преобразований получить следующее уравнение:

Если коэффициенты a'11 ,а'22 , a'33 , а'44 одного знака, то в этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.

Если знак коэф фициентов a'11 ,а'22 , a'33 прот ивоположен знаку коэффициента а'44, то поверхность S называется вещественным эллипсоидом.

После несложных преобразований уравнение (2) можно записать в следующей форме:

1

(4)

Уравнение (4) наз ывается каноническим уравнени ем однополостного гиперболоида.

1.3. Один из коэффициентов a'11,а'22, a'33, а'44 имеет противоположный знак по отношению к оставшимся. Например: a'33>0, a'11< 0, а'22< 0, а'44< 0. Тогда

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

При другом распределении знака путем преобразований координат уравнения указанных центральных поверхностей можно привести к виду(4),

(5).

1.4. Коэффициент а'44=0

1) Если a'11,а'22, a'33, одного знака, то существует единственная точка, удовлетворяющая уравнению: = = = 0.

В этом случае поверхность S называется (вырожденным) мнимым конусом второго порядка.

2) Если один из коэффициентов другого знака, например a'33<0, a'11> 0, а'22>0. Тогда

порядка.

I3=0 (нецентральные поверхности).

А) Можно показать, что в этом случае путем преобразования декартовой системы координат общее уравнение поверхности второго порядка приводится к виду:

Если с одного знака, то мы имеем уравнения двух мнимых плоскостей. Если a´11 и а´22 различных знаков, то это уравнение двух вещественных плоскостей.

2.2. Пусть р = 0, q ≠ 0. Уравнение (7) принимает вид:

a´11х´2+ а´22у´2+ q= 0

Это уравнение цилиндра с образующей, параллельной оси Oz.

При этом если a´11, а´22, q имеют одинаковый знак, то цилиндр будет мнимым. Если q имеет другой знак по отношению к a´11 и а´22, то цилиндр будет вещественным.

a) Пусть a´11, а´22 имеют знак, противоположный знаку q. Тогда получаем

2.3. p≠0

Путем параллельного переноса начала координат в уравнении (7) можно избавиться от q (нача ло координат перенести в точку (0,0, )).

параболоида.

является каноническим уравнением гиперболического параболоида.

В) При I3=0 путем преобразования декартовой системы координат общее алгебраическое уравнение поверхности второго порядка можно привести к виду:

В теории доказано, что в данном уравнении либо p либо q равны 0, либо оба одновременно.

2.4. p=q=0. Тогда уравнение (11) имеет вид: a´33z´2+ r = 0.

Если a´33 и r одного знака, то это уравнение мнимых плоскостей. В противном случае – вещественных плоскостей.

z´=± − , если r=0, то плоскости сливаются в одну плоскость.

2.5. p≠0 или q≠0

Допустим p=0, а q≠0. Тогда уравнение (11) имеет вид:

a´33z´2+2qx´ +r = 0

Путем переноса начала координат в уравнении можно избавиться от r и тогда получим уравнение = 2# , которое представляет собой каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси OY.

Если p≠0, а q=0, то уравнение (11) имеет вид

a´33z´2+ 2py´ +r = 0

Избавляясь от r с помощью преобразования координат, получим уравнение= 2# , которое представляет собой каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси OX.

Перечень поверхностей второго порядка.