Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_PDF / Лекция_11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2016

Размер:

68.6 Кб

Скачать

☆

Лекция № 11

Отклонение точки от плоскости

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат задана некоторая

плоскость π своим уравнением: x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0 ,			p > 0	(11.1)
и задана точка	M (x0 , y0 , z0 ) . Обозначим d - расстояние		от точки	M до
плоскости π .
Z	Q
Z
		M
P	π	Y
n	π
n

Зная нормированное уравнение плоскости можно записать координаты орта нормали плоскости: n = {cosα , cos β , cosγ }; n = cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 , а также расстояние от начала координат до плоскости π : OP = p .

Отклонением δ точки M от плоскости π называется число + d , если точка

M и начало координат лежат по разные стороны от плоскости π и число − d , если они лежат по одну сторону от плоскости.

Если начало координат принадлежит плоскости π , то δ = +d , если точка M расположена по ту сторону от π , куда направлен вектор n , и δ = −d - в противном случае.

Теорема 11.1. Отклонение точки M от плоскости π равно левой части уравнения (11.1) при подстановке в него координат точки:

δ = x0 cosα + y0 cos β + z0 cosγ − p

Доказательство. Спроецируем точку M на прямую, определенную вектором n . Обозначим проекцию через Q .

δ= PQ - длина направленного отрезка PQ .

δ= OQ − OP ;

где, OQ = прn OM = n прn OM = (n,OM ) = x0 cosα + y0 cos β + z0 cosγ , а OP = p

Таким образом: δ = x0 cosα + y0 cos β + z0 cosγ − p .

Пучки и связки плоскостей

Совокупность всех плоскостей, проходящих через некоторую прямую L в пространстве, называется пучком плоскостей с центром на L .

Теорема 11.2.

Если A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 - есть уравнения двух различных и не параллельных плоскостей, пересекающихся по некоторой прямой L , а α ¹ 0 и β ¹ 0 - произвольные числа, то уравнение

α (A1x + B1 y + C1z + D1 )+ β (A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0	(11.2)
будет определять плоскость, проходящую через прямую L .
Обратно. Каждая плоскость, проходящая через прямую L , будет описываться
уравнением (11.2), где α и β - произвольные числа,	не равные нулю
одновременно.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку M (x0 , y0 , z0 ) ,

называется связкой плоскостей с центром в точке M .

Уравнение связки плоскостей имеет следующий вид:

A(x - x0 ) + B(y - y0 ) + C(z - z0 ) = 0 ,

(11.3)

где A2 + B2 + C 2 ¹ 0

Уравнение прямой в пространстве

1. Каноническое уравнение прямой

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется

направляющим вектором прямой.

Получим уравнение прямой , проходящей через заданную точку M1 (x1, y1, z1 ) и имеющий заданный направляющий вектор q = {l, m, n}.

M1 (x1, y1, z1 )

M (x, y, z)

= {x − x1, y − y1, z − z1}.

M1M

Точка M принадлежит искомой прямой тогда и только тогда, когда

M1M

и q коллинеарные.

В этом случае выполняется условие коллинеарности

векторов – пропорциональность координат этих векторов:

x − x1

y − y1

z − z1

(11.4)

В уравнении (11.4) одно или два числа из l, m, n могут быть равны 0. Если равен нулю некоторый знаменатель, то будем понимать, что равен нулю и числитель:

Примеры.

q = {0,0,2}.

x - 5

y - 0

z -1

Выражение

x - 5

условно

означает, что x − 5 = 0 .

z -1

Другими словами эта запись означает: x − 5 ,

Каноническое уравнение прямой,

проходящей через точки A(2,4,3) и

B(2,4,5)

имеет следующий вид:

x - 2

y - 4

z - 3

. Эта запись означает:

x = 2 , y = 4 , z принимает любые значения для различных точек AB . Это уравнение описывает прямую, параллельную оси OZ , направляющий вектор имеет координаты

Пусть прямая задана пересечением двух плоскостей:

A1x + B1 y + C1z + D1 = 0A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

прямой так как

(11.5)

Поскольку плоскости различные и не параллельные, то будет нарушаться

какое-нибудь из

соотношений:

. Допустим:

Тогда

D = A1B2 - A2 B1 ¹ 0 .

Определим точку

на

прямой (11.5).

Для

этого,

взяв

произвольным z1 , найдем x1, y1 , как решение системы (11.5). найденная точка M1 принадлежит обоим плоскостям.

Очевидно, что если нормали плоскостей n1 и n2 ортогональны плоскостям, то они ортогональны и направляющему вектору прямой.

Следовательно: q ^ n1

и q ^ n2 . Тогда с одной стороны q = li + mj + nk , с другой

стороны q = [n1, n2 ] =

и можно записать:

q = [n , n ] = li + mj + nk =

Отсюда следует, что l =

, m =

n =

виде будет:

и тогда

уравнение

прямой в каноническом

x - x1

y - y1

z - z1

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки

Пусть заданы две различные точки M1 (x1, y1, z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) . Определяем вектор M1M 2 = {x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1} - он будет направляющим.

. M1 (x1, y1, z1 )

M 2 (x2 , y2 , z2 )

В этом случае уравнение прямой запишется следующим образом:

x − x1

y − y1

z − z1

(11.6)

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

Параметрическое уравнение прямой.

Соотношение (11.4) запишем следующим образом:

x − x1

= t

;

y − y1

= t ;

z − z1

= t .

(11.7)

Так

как

числа

l, m, n

одновременно не равно нулю, а

числитель может

принимать любые значения, то очевидно, что областью изменения параметра t является интервал от − ∞ до ∞ . Из соотношений (11.7) следует:

x = x1 + lt ; y = y1 + mt ; z = z1 + nt

(11.8)

Угол между прямыми в пространстве

Пусть L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:

L :

x − x1

y − y1

z − z1

L :

x − x2

y − y2

z − z2

(11.9)

Тогда угол между этими прямыми определяется углом между их

направляющими векторами:

q1 = {l1, m1, n1}, q2 = {l2 , m2 , n2 }, который вычисляется

как обратная тригонометрическая функция к значению:

cosϕ =

(

q1, q2 )

l1l1 + m1m2 + n1n2

(11.10)

l 2

+ m2

+ n2

l 2 + m2

+ n2

Прямые параллельны, если векторы q1 и q2 коллинеарные, и следовательно выполняется условие пропорциональности их координат:

l1	=	m1	=	n1	(11.11)
l2		m2		n2

Прямые перпендикулярны друг другу, если векторы q1 и q2 ортогональные, и следовательно выполняется условие равенства нулю их скалярного произведения:

l1l1 + m1m2 + n1n2 = 0

(11.12)

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

Пусть заданы две произвольные прямые L1 и L2 своими каноническими уравнениями (11.9). Указанные уравнения могут: пересекаться, быть параллельными, скрещиваться. Очевидно, что в первых двух случаях они

лежат в одной плоскости.

Прямые находятся в одной плоскости тогда и только тогда, когда

векторы

= {x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1},

q1, q2 - компланарные, то есть их

M1M 2

смешанное произведение равно 0:

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

= 0

(11.13)

Прямые пересекаются, когда выполняется (11.13) и не выполняется

хотя бы одно из соотношений:

Прямые скрещиваются, если не выполняется условие (11.13).

Угол между прямой и плоскостью.

Пусть заданы прямая и плоскость:

π : Ax + By + Cz + D = 0
L :	x − x1		=	y − y1	=	z − z1	.

	l			m		n
		Из уравнений видно,						что нормалью плоскости является вектор n с
координатами:						n = {A, B,C},		а направляющим вектором прямой - вектор
q = {l, m, n}.
							ψ	q
						n

Тогда угол между прямой и плоскостью определяется через угол между их направляющим вектором q = {l, m, n} и нормалью n = {A, B,C} следующим образом:

cos(π − ϕ) =

(

n, q)

Al + Bm + Cn

или

A2 + B2 + C 2 l 2 + m2 + n2

sinϕ =

Al + Bm + Cn

+ B2 + C 2

l 2 + m2 + n2

Условие параллельности прямой и плоскости совпадает с условием ортогональности векторов n и q :

Al + Bm + Cn = 0 .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с условием коллинеарности векторов n и q :

A = B = C .

l	m n
Условие принадлежности прямой L к плоскости π определяется
следующим соотношением:
Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0
	Al + Bm + Cn = 0

Соседние файлы в папке Lektsii_PDF

#
22.03.2016101.11 Кб35Лекция_1.pdf
#
22.03.201669.18 Кб33Лекция_10.pdf
#
22.03.201668.6 Кб32Лекция_11.pdf
#
22.03.201668.68 Кб32Лекция_12.pdf
#
22.03.2016264.18 Кб32Лекция_13.pdf
#
22.03.2016320.39 Кб31Лекция_14.pdf
#
22.03.2016563.08 Кб31Лекция_15.pdf
#
22.03.201629.38 Кб31Лекция_16.pdf