Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_PDF / Лекция_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2016

Размер:

101.11 Кб

Скачать

☆

Лекция № 1

Матрицы.

Понятие, обозначения, определения.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк иn столбцов.

	1	0	3		a11		a12		a13
Обозначения для матриц:				,	a		a		a		.
						21		22		23
		5	6
	4				a		a		a
						31		32		33

Числа m и n называются порядками матрицы. Если m = n, то матрицу называют квадратной, число n порядком квадратной матрицы.

Для краткого обозначения матриц будем использовать заглавные буквы латинского

A = (a

)

, B =

(i =

; j =

алфавита:

1, m

1, n

mxn

Числа aij матрицы A,

стоящие на пересечении i-ой строки и j-го столбца матрицы

называются ее элементами:

...

A =

2 n

am 2

...

am1

amn

Главной диагональю квадратной матрицы A называется диагональ из элементов:

a11

a22

a33

...

ann .

Побочной

диагональю

называются

элементы:

an1

a( n −1) 2

a( n − 2)3 ...

a1n . Матрицу, состоящую из одного столбца (порядков m× 1),

называют матрицей-столбцом:

A =

...

Матрицу, состоящую из одной строки (порядков 1× n), называют матрицей-строкой:

A = (c1

c2 ...

cn ).

Основные операции над матрицами.

Две

матрицы

и B равны,

если

они имеют одинаковые

порядки и

их

соответствующие элементы совпадают, то есть aij

= bij ,i =

, j =

1, m

1, n

Сложение.

A = (a

)

Суммой

двух

прямоугольных

матриц

одинаковых

порядков

B = (b )

матрицу C = (c

)

ij mxn

называют

элементы

которой

равны

суммам

mxn

ij mxn

соответствующих элементов матриц: cij							= aij	+ bij ,i =		, j =		. Обозначается сумма
соответствующих элементов матриц: cij							= aij	+ bij ,i =	1, m	, j =	1, n	. Обозначается сумма
как: C = A + B .
Пример.					−1 − 2 1
0	1	2		1	−1 − 2 1		0	0
			+			=		.
3	4	5		0	1 3	3	5	8

Свойства:

1.A + B = B + A

2.( A + B) + C = A + (B + C)

Введенной понятие суммы двух матриц можно распространить на любое конечное число матриц: 3, 4 и т.д.

Умножение на число.						A = (a		) на действительное число λ называется
Произведением			матрицы			A = (a	ij	) на действительное число λ называется
							ij	mxn
матрица C , элементы которой cij						определяются по формуле: cij = λaij ,i =				, j =		.
матрица C , элементы которой cij						определяются по формуле: cij = λaij ,i =			1, m	, j =	1, n	.
Обозначается как: C = λA .
Пример.
0	1	2	0	2	4
2×		=				.
3	4	5	6	8	10

Свойства:

1.λ( A + B) = λA + λB

2.(λ + μ) A = λA + μA

3.(λμ ) A = λ(μA)

Вычитание.

Разностью прямоугольных матриц одинаковых порядков A = (a

)

и B = (b )

ij mxn

mxn

называют матрицу C = (c

) , которая будучи сложена с матрицей B дает матрицу

A :

mxn

Обозначается как: A − B = C .

Умножение матриц.

A = (a

)

на матрицу B = (b )

Произведением

матрицы

называется такая

C = (cij )

mxn

kj nxp

матрица

элементы

которой

определяются

по

формуле:

mxp

cij = ∑aik bkj ,i =

1, m

, j =

1, p

, то

есть

сумма произведения

элементов

i- ой строки

k =1

матрицы A на элементы j-ой столбца матрицы B .

Обозначается как: C = AB .

Для умножения матриц необходимо, чтобы число столбцов матрицы

A равнялось числу

строк матрицы B .

Если матрицы

A и

B квадратные, то в общем случае выполняется

неравенство: AB ¹ BA .

Пример.

0 1

0 0

1 0

0 0

1. Пусть A =

B =

, тогда AB =

BA =

0 0

1 0

0 0

0 1

	a			a b	...	a b
	1	B = (b1 ... bn ),		1 1		1	n
2. Пусть	A = ... ,	B = (b1 ... bn ),	тогда	AB = ...	...	...	,
	an			anb1	...	anbn

BA = ∑bi ai .

i =1

Однако в частном случае может выполняться равенство: AB = BA . Тогда матрицы называются перестановочными (коммутирующими).

Пример.

	1 2	− 3	2	, тогда		− 7 − 6		− 7 − 6
A =		, B =		, тогда	AB =		, BA =	.
	− 2 0	− 2	− 4			6 − 4		6 − 4

Квадратная матрица называется диагональной, если у нее все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю:

d				0	0 ...		0
			1
0				d2	0 ...		0	= diag(d		... d ),
D =		0		0	d ...		0	= diag(d		... d ),	d -	любые			числа,		в		том числе	и
					3				1	n	i
					3				1	n	i
.				.	. ...		.
0				0	0 ...		dn
нулевые.				= d2 = ... = dn			= d ,
Если		d1		= d2 = ... = dn			= d ,	то такая		матрица	называется			скалярной.					Если D	-
скалярная матрица, то AD = DA .
												1		0	...	0
														1	....
Если d = 1, то матрица называется единичной: E = I =												0		1	....	0		и справедливо
Если d = 1, то матрица называется единичной: E = I =													. . ... .					и справедливо
													. . ... .

														0	...
равенство: AI = IA = A .												0		0	...	1
Если в скалярной матрице элементы d = 0 , то получаем нулевую матрицу:
0				0 ...	0
				0 ....
0				0 ....	0	и справедливо равенство: A0 = 0 A = 0 .
0 =	. . ... .					и справедливо равенство: A0 = 0 A = 0 .
	. . ... .

				0 ...
0				0 ...	0

Свойства:
1. Пусть A = (a	ij	)	, B = (b	)	, C = (c	kp	) . Тогда ( AB)C = A(BC) .
	ij	mxn		jk nxr		kp	rxq

Для доказательства достаточно доказать равенство соответствующих элементов результирующих произведений. Рассмотрим элемент dip , стоящий в i-ой строке и p-ом

столбце этих произведений.

Как элемент матрицы ( AB)C он вычисляется следующим образом:

	r	n		r n
dip	= ∑(∑aij bjk )ckp		=	∑∑aij bjk ckp .		(1.1)
	k =1 j =1			k =1 j =1
Как элемент матрицы A(BC) он вычисляется как:
	n	r	n	r
dip'	= ∑aij ∑bjk ckp = ∑∑aij bjk ckp					(1.2)
	j =1	k =1	j =1 k =1
Формулы (1.1) и (1.2) отличаются только порядком следования знаков суммы, что
не влияет на окончательный результат. Поэтому d					ip	= d ' .
					ip	ip

2.Пусть A = (aij )mxn , B = (bij )mxn , C = (c jp )nxq . Тогда ( A + B)C = AC + BC .

Рассмотрим элемент dip , стоящий в i-ой строке и p-ом столбце результирующих

матриц.

Как элемент матрицы ( A + B)C он вычисляется следующим образом:

+ bij )c jp

dip

= ∑(aij

= ∑aij c jp

+ ∑bij c jp

(1.3)

j =1

Как элемент матрицы AC + BC он вычисляется как:

d '

= ∑a c

∑b c

(1.4)

j=1

= d ' .

Формулы (1.3) и (1.4) показывают, что d

A(B + C) = AB + AC . Доказательство аналогично свойству 2.

Транспонирование.

A = (a

)

Пусть

имеется матрица

. Матрица

B называется транспонированной

ij mxn

матрицей по отношению к матрице

A , если строки матрицы A являются столбцами

матрицы B , а столбцы матрицы A - строками матрицы B .

Транспонированная матрица обозначается как: AT

или A' .

Пример. Пусть A =

, тогда

AT = 5

2 .

Свойства:

1.(AT )T = A.

2.(A + B)T = AT + BT .

3.(λA)T = λAT .

4.(AB)T = BT AT .

	Блочные матрицы
Исходную матрицу A = (a	) можно рассмотреть в виде матрицы A = (A		), где
	ij mxn	αβ
элементами Aαβ являются матрицы меньших размеров –		блоки.
Пример.

a21

a22

a23

a24

a25

a26

A = a a

a a a a

a51

a52

a53

a54

a55

a56

где элементами являются блоки:

A =

и так далее.

a22

a23

a26

a21

a24

a25

Основные операции с блочными матрицами:

1.Если A = (Aαβ ), то λA = (λAαβ ).

2.Если A = (Aαβ ), B = (Bαβ ), то A + B = (Aαβ + Bαβ ).

3.Если A = (Aαβ ), B = (Bβγ ) и причем число блоков в строке матрицы A

равно числу блоков в столбце матрицы B , число столбцов матрицы Aαβ

равно числу строк матрицы Bβγ , то AB = C , где Cαγ = ∑Aαβ Bβγ .

Пример применения блочных матриц.

Прямой суммой двух квадратных матриц Amxm , Bnxn называется блочная матрица

A	0	. Обозначается: C = A Å B .
C =		. Обозначается: C = A Å B .

0	B

Свойства операции прямого сложения:

1.(A Å B)Å C = A Å (B Å C ).

2.(Am Å Fn ) + (Bm Å Dn ) = (Am + Bm )Å (Fn + Dn ).

3.(Am Å Fn )(Bm Å Dn ) = (Am Bm )Å (Fn Dn ).

Соседние файлы в папке Lektsii_PDF

#
22.03.2016101.11 Кб35Лекция_1.pdf
#
22.03.201669.18 Кб33Лекция_10.pdf
#
22.03.201668.6 Кб32Лекция_11.pdf
#
22.03.201668.68 Кб32Лекция_12.pdf
#
22.03.2016264.18 Кб32Лекция_13.pdf
#
22.03.2016320.39 Кб31Лекция_14.pdf