Lektsii_PDF / Лекция_2

Лекция № 2

Определители.

Основные понятия и определения.

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу n-го порядка:

Для любой квадратной матрицы вводится в рассмотрение некоторая числовая характеристика, которая называется определителем или детерминантом.

Обозначается определитель следующим образом:

Введем понятие определителя n-го порядка через понятие определителя n-1 порядка (то есть по индукции).

Минором элемента aij квадратной матрицы n-го порядка (2.1) называется определитель n-1 порядка, соответствующей матрице, получаемой из (2.1) вычеркиванием

1

образом алгебраическое дополнение может отличаться от минора только знаком. С учетом введенного определения формулы (2.3) и (2.4) упрощаются соответственно:

Пусть k - фиксированное число 1 ≤ k < n и дана матрица (2.1). Зафиксируем номера i1 ,

j1 j2 ... jk

Задание. Записать разложение определителя по формуле Лапласа, выбрав k = 2 :

Свойства определителя

1. Равноценность строк и столбцов определителя.

2

Определитель матрицы не меняется при ее транспонировании: A = AT . Это вытекает

из теорем 2.1 и 2.2.

2. Свойство асимметричности при перестановке строк и столбцов.

Если в определителе поменять местам две строки (два столбца), то по абсолютной величине определитель не меняется, но меняется знак на противоположный. Доказательство: по индукции.

Для определителя второго порядка свойство очевидно, так как:

Предположим, что свойство справедливо для определителя n-1 – го порядка. Докажем, что свойство справедливо для определителя n-го порядка. Для этого разложим определитель

противоположный. Следовательно, и все выражение, стоящее в правой части, поменяет знак на противоположный.

Говорят, что строка a1 , a2 ,...an есть линейная комбинация строк b1,b2 ,...bn и c1,c2 ,...cn

Если некоторая i -ая строка определителя ai1 , ai 2 ,...ain есть линейная комбинация двух

числами b1,b2 ,...bn , а остальные строки совпадают со строками исходного определителя,

2 - определитель n-го порядка, у которого элементы i -ой строки являются числами c1,c2 ,...cn , а остальные строки совпадают со строками исходного определителя.

Из этих трех свойств вытекают следующие свойства определителей:

С1. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю. Доказательство. С одной стороны, при перестановке этих двух строк определитель

должен сменить знак на противоположный. С другой стороны, поскольку строки

равны, то определитель должен остаться прежним, то есть = − . Тогда 2 = 0 и

= 0 .

С2. Умножение элементов строки (столбца) определителя на некоторое число λ равносильно умножению на это число самого определителя.

3

Доказательство вытекает из линейного свойства 3 при μ = 0 .

С3. Если в определителе все элементы строки (столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

С4. Если в определителе имеются две пропорциональные строки (или два столбца), то такой определитель равен 0.

С5. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответственно элементы другой строки (столбца), умноженное на некоторое число λ , то определитель не изменится.

Доказательство. На основании линейного свойства определитель, полученный прибавлением к элементом некоторой строки исходного определителя элементов другой его строки, можно представить в виде двух определителей, один из которых совпадает с исходным, а другой равен 0 в силу свойств С4.

4.Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. Разложим определить n-го порядка по элементам i -ой строки:

Получим определитель, у которого будут одинаковые две строки. Поэтому новый

4

6. Если Cn = An + Bn , то определитель Cn равен сумме всех различных

определителей порядка n, которые могут получаться, если часть строк (или столбцов) брать совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы A , а остальную часть – совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы B .

5