Lektsii_PDF / Лекция_18
.pdfЛекция № 18
Связь между матрицами линейного преобразования в разных базисах
Матрицы B и C называются подобными, если они связаны соотношением C = Q−1BQ , где Q - невырожденная матрица. При этом говорят, что матрица C
получена трансформированием из B матрицей Q .
Теорема 18.1.
Матрицы, задающие одно и то же линейное преобразование в разных базисах, подобны между собой. При этом матрица линейного преобразования ϕ в базисе e' получается трансформированием матрицы этого линейного преобразования в базисе e матрицей перехода от e' к e .
То есть eϕ = Ae , e'ϕ = A 'e' , e' = Te и A' = (T −1 )−1 A(T −1 ) или A' = TAT −1 , где T −1 : e = T − 1e'
- матрица перехода от e' к e .
|
|
|
|
|
Характеристические корни и собственные значения |
|
|||||||||
Пусть задана матрица A = (aij ) |
, а λ - некоторое неизвестное значение, тогда |
|
|||||||||||||
|
|
|
− λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
nxn |
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
.... |
a |
|
|
||||||
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
1n |
|
|
||||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
− λ |
.... |
|
|
для |
|
A − λE = |
|
|
21 |
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
2n |
- называется характеристической матрицей |
|
|
|
... |
|
|
|
... |
.... .... |
|
|
||||||
|
|
an1 |
|
|
an2 |
... |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ann − λ |
|
||||||||||
матрицы |
|
A , а |
|
A − λE |
|
- |
характеристический многочлен матрицы A n -ой степени. |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||
Решение |
|
|
|
A − λE |
|
= 0 |
|
|
определяет корни, которые называются корнями |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
характеристической матрицы.
Теорема 18.2. Подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами и, следовательно, одинаковыми характеристическими корнями.
Линейное преобразование ϕ в разных базисах задается разными матрицами, однако согласно теореме 18.1 матрицы подобны, а, следовательно, имеют одинаковые характеристические корни. Эти корни называются характеристическими корнями линейного преобразованияϕ или спектром ϕ .
Если b ¹ 0 |
и bϕ = λ0b , где |
λ0 - |
некоторое |
число, |
то b |
называют |
собственным |
||
вектором |
преобразования |
ϕ , |
а |
число |
λ0 - |
собственное |
значение этого |
||
преобразования. Причем |
говорят, |
что |
собственный |
вектор |
b |
относится к |
|||
собственному значению λ0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример.
1.Вращение плоскости вокруг начала координат на угол, не являющимся кратным π , является линейным преобразованием ϕ , не имеющим собственных векторов.
1
2.Растяжение плоскости, при котором все векторы, выходящие из начала координат, растягиваются в 5 раз – это линейное преобразование, причем все
ненулевые векторы плоскости будут для него собственными. Все они относятся к собственному значению λ0 = 5 .
Теорема 18.3. Действительные характеристические корни линейного преобразования ϕ , если существуют и только они служат собственными значениями этого преобразования.
Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду.
Рассмотрим линейное преобразование ϕ : eϕ = Ae с матрицей A .
Теорема 18.4. Линейное преобразование ϕ в базисе e1', e2' ...en' задается диагональной матрицей тогда и только тогда, когда все векторы этого базиса являются собственными векторами преобразования ϕ .
Теорема 18.5. Любая матрица, характеристические корни которой действительны и различны, приводится к диагональному виду.
Замечание. Если корни кратные, то может и не привестись.
Методика. |
|
|
|
|
|
|
A − λE |
|
= 0 . |
|
1. |
Находятся корни характеристического многочлена матрицы Anxn : |
|
|
|||||||
|
|
|||||||||
2. |
Для каждого корня λ |
решается система |
(A − λE )X = 0 , |
где матрицы |
||||||
|
соответственно имеют размерность: |
Anxn , Enxn , X nx1 . |
Теоретически доказано, что |
|||||||
|
эта система эквивалентна равенству xϕ = λx , что означает, что x |
- собственный |
||||||||
|
вектор, соответствующий собственному числу λ . |
|
|
|
|
|
||||
|
В результате решения для каждого значения λ , полученного в пункте 1, |
|||||||||
|
получаем соответствующий собственный вектор. |
|
|
|
|
|
||||
3. |
В базисе из полученных линейно-независимых собственных векторов матрица |
|||||||||
|
|
λ |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразований имеет вид: .. ... ... |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
... |
λn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример.
Привести матрицу A линейного преобразования диагональному виду и найти
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
соответствующий базис, если A = |
0 |
2 |
0 |
. |
|
− 2 |
− 2 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
4. Характеристическое уравнение:
2
|
|
|
|
1 − λ |
|
2 |
0 |
|
= (λ − 2)(1 − λ2 )= 0 . Решая уравнение, получим: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
A − λE |
|
= |
|
0 |
|
2 − λ |
0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− 2 |
− 2 − 1 − λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. Находим собственные векторы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 2 |
0 x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) λ = 2 ; (A − 2E )X = 0 |
|
|
0 |
0 x2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 − 2 − 3 x |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это соотношение соответствует системе уравнений: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
− x1 |
+ 2x2 |
= 0 |
решение |
которой: |
x1 = 2, x2 |
= 1, x3 |
= −2 . |
Следовательно, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
2x2 − |
, |
||||||||||||||||
|
− 2x1 |
|
3x3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
собственный вектор b1 = (2,1,−2)T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
0 x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) λ = 1; (A − E )X = 0 |
1 |
0 x2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 − 2 − 2 x |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это соотношение соответствует системе уравнений: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
= 0 |
решение |
которой: |
x1 = 1, x2 |
= 0, x3 |
= −1. |
Следовательно, |
||||||||||
|
|
|
|
|
− |
2x2 − |
, |
||||||||||||||||
|
− 2x1 |
|
2x3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
собственный вектор b2 = (1,0,−1)T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
0 x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) λ = −1; (A + E )X = 0 |
|
|
3 0 x2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 − 2 0 x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это соотношение соответствует системе уравнений: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
x + x |
|
= 0 |
решение |
|
|
которой: |
|
|
x |
= 0, x |
|
= 0, x |
= 1. |
Следовательно, |
||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
, |
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
3x2 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
собственный вектор b3 = (0,0,1)T
Векторы b1 , b2 , b3 - образуют базис (есть теорема о том, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, являются линейно-
независимыми). |
В |
этом базисе линейное преобразование задается диагональной |
||
2 |
0 |
0 |
|
|
матрицей: B = |
0 |
1 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
3