Lektsii_PDF / Лекция_13

Из

F1MF2 следует, что r1 − r2 < 2c и тогда

2a < 2c или a < c . Числа r1 и r2

называются фокальными радиусами. Точка

M (x, y) принадлежит гиперболе

r1 − r2

= 2a ,

−

= 2a .

тогда и только тогда, когда

то есть

(x + c)2 + y2

(x − c)2 + y2

уравнение гиперболы.

его,

Это

Упростим

применяя стандартный прием

гиперболы:

x2

−

y2

= 1, где b2 = c2 − a2 . В каноническом уравнении может быть

a2

b2

При

x

→ ∞

ветви гиперболы в 1 и

3

координатных

четвертях

приближаются к прямой y =

b

x , а во второй и четвертой четверти –

к прямой

a

y = −

b

x . Пунктиром показана сопряженная

гипербола.

Ее каноническое

a

уравнение

x 2

−

y 2

= −1 . Гипербола с равными полуосями

a = b

называется

a 2

b2

равносторонней и ее каноническое уравнение x2 − y 2 = a2

Эксцентриситетом гиперболы называется

отношение

c

,

где c -

a

Обозначается

ε . Так как c > a ,

то

ε > 1.

Поскольку c2 = a2 + b2 ,

то

ε 2 =

c2

=

a2 + b2

= 1 +

b2

. Следовательно,

b

=

и если ε → 1, то

b

→ 0 ,

ε 2 − 1

то

a2

a2

a2

a

a

расположенные симметрично относительно центра на расстоянии

a

от него,

ε

называются директрисами гиперболы, где a - действительная полуось, ε

-

эксцентриситет гиперболы. Их уравнения: x = −

a

,

x =

a

. Так как

ε > 1,

то

ε

ε

Теорема 1

Если r

-расстояние от произвольной точки M гиперболы до какого-нибудь

фокуса,

d -

расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу

директрисы,

то

r

есть величина постоянная, равная эксцентриситету

d

p 2

2

p

Из определения следует, что

r = d , то есть x −

+ y

=

x +

.

Преобразуя

2

2

это выражение, получим каноническое уравнение параболы

у2

= 2 px, p > 0

Параметр p называется

фокальным параметром

параболы, точка с

3

координатами

p

,0

-

фокусом

параболы, а

уравнение x = -

p

является

2

2

уравнением директрисы. Точка O называется вершиной параболы. Ось

симметрии – ось OX -

осью параболы.

Число

p выражает расстояние от

фокуса до директрисы.

и M (1,−

) (при x = 1 значение y = ±

).

Рассмотрим точки M (1, 2 p)

2 p

2 p

a x2 + 2a

xy + a

22

y2 + 2a

x + 2a

y + a = 0 ,

(1)

11

12

13

23

33

где

a x2

+ 2a xy + a

22

y 2

-

называется

старшей

группой,

2a x + 2a

23

y + a

33

-

11

12

13

линейная часть уравнения.

Будем считать, что хотя бы один из коэффициентов a11 , a12 ,

a22

отличен

от нуля.

Метод упрощения уравнения второй степени

1.

Если

a11 - a22 ¹ 0

и

a12

¹ 0 ,

то

выполняем

следующее

действие:

поворачиваем оси на угол α ,

для которого

tg 2α =

2a12

. При этом

a11 − a22

формулы преобразования имеют вид:

x = x' cosα − y' sin α

y = x' sin α + y' cosα .

Подставив в (1)

, получим: a '

x'2

+ a ' y'2

+ 2a'

x + 2a

'

y + a'

= 0

(2)

11

22

13

23

33

(как видно, уничтожили слагаемое – произведение xy ).

2.

Если

a12

= 0 ,

то

фактически

исходное уравнение имеет вид (2) и

поэтому переходим ко второму этапу – пункту 5.

4

3.

Если a12 ¹ 0 , а a11 = a22 , то ctg 2α =

a11 − a22

= 0 , тогда 2α = ±90o и α = ±45o .

2a12

4.

Если a12 ¹ 0 , а a11 = 0

и

a22 = 0 ,

то есть

отсутствуют

квадраты

переменных, то в уравнении (1) делаем замену переменных x = x1 + y1 и

y = x1 - y1 , и получим уравнение,

в

котором

присутствуют

квадраты

новых переменных: x1 и

y1 . Выполняем пункт 1

с соответствующими

значениями переменных.

'

'

2

'

'

2

'

a13

'

a23

5.

Выделим полные квадраты:

a11(x

+

)

+ a22

y

+

= k

.

(3)

'

'

a11

a22

6. Получив

преобразованное уравнение

и сделав замену переменных:

x ' = x' +

a13'

и y ' = y' +

a23'

, получим: a (x ')2

+ a'

(y ')2 = k '.

a'

a'

11

22

11

22

Теорема 13.2. Величины I1 = a11 + a22 , I2

=

a11

a12

, I3 =

a11

a12

a13

(2)

a12

a22

a23

a12

a22

a13

a23

a33

виду: a '

x'2

+ a '

y'2

+

I

3

= 0

(3)

11

22

I

2

a)

I2 > 0 ; I2 = a11a22 - a122

> 0 . Следовательно, sign(a11 ) = sign(a22 ) = signI1 .

Не нарушая общности рассуждений,

будем

считать

a11 > 0 , a22 > 0 .

Очевидно, что I1 > 0 . Поскольку в противном случае, умножая исходное

уравнение на -1 можно добиться, что I1

будет положительным, а при

этом I2

знака менять не будет.

Теорема 3. Пусть уравнение (1) эллиптического

типа

( I2 > 0)

преобразовано так,

что I1 > 0 . Тогда при I3 < 0 мы получаем уравнение

эллипса, при I3 = 0

-

уравнение вырожденного в точку эллипса, при

I3 > 0

уравнение

мнимого

эллипса

(нет

ни одной

точки,

удовлетворяющей (13.1)).

Схема теоремы:

I3 < 0 − эллипс

I2

> 0 и I1 > 0 , тогда

I3 = 0 − точка

.

> 0 − минимый эллипс

I3

b)

I2 < 0 . Следовательно,

a

a

=

a'

0

= a11' a22' < 0 .

11

12

11

a'

a

a

0

12

22

22

Теорема 4. Пусть(1) – уравнение гиперболического типа ( I2 < 0 и для

определенности считаем, что a11'

> 0, а a22'

< 0 ), тогда при I3

= 0 получаем

при I3 ¹ 0

получаем

уравнение гиперболы, причем,

если

I3 > 0 ,

то

действительная ось –

есть ось OX . Если I3 < 0 , то действительная ось –

ось OY .

Схема теоремы:

< 0 − гипербола, действительнаяосьOY

I2 < 0,

I

3

I3 = 0 − пересекающиеся прямые

.

a11' > 0, a22' < 0

, тогда

> 0 − гипербола, действительнаяосьOX

I3

2. I2 = 0 .

Покажем, что I1 ¹ 0 .

Доказательство:

Предположим,

что I1 = 0 .

Тогда

I1 = a11 + a22

= 0 .

Возведем в квадрат:

a2 + 2a a

+ a2

= 0 .Тогда a a

= -

a2

-

a2

. Но I

= 0

22

22

11

22

2

11

11

22

11

2

2

- a 2

= 0

= a 2 .

Следовательно: a2

= -

a2

-

a

2

. Это

то есть a

a

22

и

a a

22

11

22

11

12

11

12

12

2

2

справедливо только в одном случае, если a11 = a22

= a12 = 0 . Но этого быть

не может. Следовательно I1 ¹ 0 .

6

I

y'2 + 2a '

x' + a'

= 0

(4)

1

13

33

Схема теоремы:

I3 ¹ 0 - парабола

I3 = 0 − пара параллельных

.

I2 = 0 ( I1 ¹ 0 ), тогда

или сливающихся или мнимых прямых

Примеры.

1.

4x2 − 9 y2 = 0 распадается на

два уравнения: 2x − 3 y = 0 ,

2x + 3y = 0

,

описывающие пересекающиеся прямые в точке (0,0).

2.

x2 − 2xy + y 2 − 9 = 0 распадается

на два уравнения:

x − y + 3 = 0

,

x − y − 3 = 0 - параллельные прямые.

8

3.

x2 − 2xy + y2 = 0 распадается на два уравнения: x − y = 0 ,

x − y = 0 - две

сливающиеся прямые.

4.

x2 +

1

y2

= 0 распадается на два уравнения: x +

1

iy = 0 , x −

1

iy = 0 - пара

4

2

2

мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке (0,0).

5.

x2

+

y2

= 1 - нет точек, удовлетворяющих этому уравнению, это

− 9

− 16

уравнение описывает мнимый эллипс.

6.

x2 − 2xy + y2 + 9 = 0 распадается на два уравнения:

x − y + 3i = 0 ,

x − y − 3i = 0 - пара мнимых параллельных прямых.