Lektsii_PDF / Лекция_16

Лекция № 16

Бинарные операции в множествах

Пусть A = {a,b, c....} - конечное или бесконечное.

Бинарной операцией называется отображение ϕ : A → A множества A в себя, которое каждой упорядоченной паре (a,b) из A ставит в соответствие третий элемент из того же множества A (образ пары элементов).

Например. Бинарная операция – сложение: a,b A ↔ a + b A ; умножение -

a,b A ↔ ab A .

Говорят, что бинарная операция обладает свойством:

1.коммутативности, если a + b = b + a для операции сложения и ab = ba для операции умножения;

2. ассоциативности, если (a + b) + c = a + (b + c) для операции сложения и (ab)c = a(bc) для операции умножения.

Элемент e A : ea = ae = a называется единичным элементом A относительно выбранной операции. Когда бинарная операция сложение, то единичный элемент обозначается 0 и называется нулевым элементом

Пример изоморфизма множеств. A - четные числа, A' - числа, кратные 5.

В этих множествах введены операции сложения соответственно: сумма двух четных чисел есть четное число, сумма двух чисел, кратных 5, равно числу, кратному 5.

Введем отображение: каждому четному числу 2n поставим в соответствие число, кратное 5 - 5n .

Изоморфные множества с бинарными операциями могут отличаться как природой своих элементов, так и называнием бинарной операции. Пример. R - действительные числа, R+ - положительные действительные числа. Введем отображение f : a R+ → ln a R . Известно: ln(ab) = ln a + ln b , где a,b R+ . Следовательно, множество положительных действительных чисел с операцией умножения изоморфно множеству всех действительных чисел с операцией сложения.

Таким образом, изоморфные множества неразличимы с точки зрения свойств операции: все, что можно доказать для одного множества с некоторой бинарной операцией, переносится на все изоморфные множества.

1