Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_PDF / Лекция_12

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2016

Размер:

68.68 Кб

Скачать

☆

Лекция № 12
Прямые на плоскости
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b	(12.1)

определяет прямую, которая имеет угловой коэффициент k и отсекает на оси OY отрезок, величина которого равна b .

Величина k равна tgα , где α - угол, который образует прямая с осью OX . Если k = 0 , то прямая y = b параллельна оси OX .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку M (x1, y1 ) с заданным угловым коэффициентом k .

Запишем уравнение прямой y = kx + b , величина b - неизвестна. Так как точка лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению и

справедливо равенство: y1 = kx1 + b	(12.2)
Вычитая из (12.1) выражение (12.2) получим: ( y - y1 ) = k(x - x1 )	(12.3)

Если прямая проходит через точку M (x1, y1 ) перпендикулярно оси OX , то есть угловой коэффициент обращается в ∞ , то уравнение прямой имеет

вид:

x - x1 = 0 .

Формально это уравнение можно получить из (12.3), если

разделить его обе части на k

и устремить его к ∞ .

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть заданы две точки: M1(x1, y1) и M 2 (x2 , y2 ) . Подставляя координаты

второй

точки

уравнение

(12.3)

получим:

( y2 - y1 ) = k(x2 - x1 ) ,

откуда

k =

y 2

−

y 1

Подставляя

полученное

значение

в (12.3)

получим:

x 2

−

x 1

( y - y ) =

y2 - y1

(x - x ) . Если y

¹ y , то справедливо:

( y - y1 )

(x - x1 )

(12.4)

x2 - x1

y2 - y1

x2 - x1

Если

y2 = y1 , то справедливо равенство:

( y - y1 ) = 0

- это уравнение описывает

прямую,

параллельную оси

OX . Очевидно,

что если

x1 = x2 ,

то

прямая,

проходящая через точки M1 и M 2 ,	параллельна оси	OY .	Ее уравнение
x - x1 = 0 .
Общее уравнение прямой на плоскости
Теорема 12.1. В прямоугольной системе координат		Oxy любая прямая
задается уравнением первой степени:	Ax + By + C = 0 , где A2 + B2		¹ 0

(12.5)

Обратно, уравнение (12.5) при произвольных A, B,C , таких, что: A2 + B2 ¹ 0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат. Линиями первого порядка называют линии, определяемые в прямоугольной системе координат уравнением первой степени. Каждая прямая является линией первого порядка. Каждая линия первого порядка – прямой.

Неполное уравнение первой степени.

Если A ¹ 0, B ¹ 0,C ¹ 0 , то уравнение Ax + By + C = 0 называется полным уравнением. В противном случае, если хотя бы один из коэффициентов равен 0 – неполным:

1.	C = 0 , тогда Ax + By = 0 описывает прямую, проходящую через начало
	координат.
2.	B = 0, A ¹ 0 , тогда Ax + C = 0 описывает прямую, параллельную оси OY .
3.	. A = 0, B ¹ 0 , тогда By + C = 0 описывает прямую, параллельную оси OX .

Уравнение прямой в отрезках. Рассмотрим полное уравнение:

Ax + By + C = 0 и A ¹ 0, B ¹ 0,C ¹ 0 .

Преобразовывая это уравнение, запишем:

= 1.

Введя обозначение:

a = -

,b = -

, получим уравнение прямой в отрезках:

= 1, где a,b -

a b

величины отрезков, которые отсекаются на осях координат.

Угол между прямыми.

Пусть заданы уравнения двух прямых: L1 : y = k1x + b1 , где k1 = tgα1


	L2 : y = k2 x + b2 , где k2 = tgα2
Угол α2	как внешний угол треугольника равен:	α2 = α1 + ϕ .		Следовательно
ϕ = α 2	− α 1 . Тогда справедливо: tgϕ = tg(α2 - α1 ) =		tgα2 - tgα1		=	k2 - k1	.

		1 + tgα1tgα2 1 + k2k1
Если прямые L1 и L2 параллельны, то ϕ = 0		и tgϕ = 0 .		Следовательно

k2 - k1 = 0 и k2 = k1 . Таким образом, условие параллельности двух прямых - это равенство нулю их угловых коэффициентов.

2c = F1F2

α1 α2

Если прямые			L	и L перпендикулярные, то уголϕ = π .				Тогда
		1		2	2
	1 + tgα1tgα2		1 + k2k1
ctgϕ =		=		= 0 . Следовательно k2	= −	1	. Таким образом,	условие
	tgα2 − tgα1		k2 − k1
						k1

перпендикулярности двух прямых: угловые коэффициенты являются обратными по величине и противоположными по знаку.

Расстояние от точки до прямой.
Теорема 12.2. Расстояние d			от	точки M (x0 , y0 ) до прямой	L , заданной
уравнением Ax + By + C = 0			на	плоскости определяется	формулой:
d =	Ax0 + By0 + C
	Ax0 + By0 + C


		A2 + B2
		A2 + B2

Линии второго порядка

Теорема 12.3. Всякая линия второго порядка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих).

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух заданных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная, обозначаемая 2a .

Если F1 = F2 , то эллипс вырождается в окружность.

Эллипс – это центрально симметричная фигура. Оси координат являются осями симметрии. Точки, в которых эллипс пересекает оси, называются

вершинами.

Введем обозначение . Расстояние от точки эллипса до фокусов назовем фокальными радиусами и обозначим соответственно r1 и r2 . Тогда согласно определению эллипса: точка M принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда r1 + r2 = 2a .

Рассмотрим систему координат на плоскости. Разместим эллипс в ней таким образом, что вершины лежат на осях координат, фокусы лежат на оси

OX , а начало координат делит расстояние между фокусами пополам. Выведем уравнение эллипса в системе координат.

		r1


			r2

	− c
F1

					F
				2
				2

x, y : r1 =

Заменим r1 и r2

их

выражениями

через

координаты

(x + c)2 + y2

r2 =

как r1 + r2 = 2a ,

= 2a

(x − c)2 + y2

Так

то

(x + c)2 + y2

(x − c)2 + y2

это

уравнение эллипса, приведем его к более удобному виду. ДЛ яэтого обе

части уравнения возведем в квадрат:

+ y

(x + c) + y

= 2a −

(x − c)

получим (x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a		+ (x − c)2 + y2 или a2 − xc = a		.
	(x − c)2 + y2		(x − c)2 + y2
Возведя в квадрат, получим: a4 − 2a2 xc + x2c2 = a2 x2 − 2a2 xc + a2c2 + a2 y2			или

x2 (a2 − c2 ) + a2 y2 = a2 (a2 − c2 ). Так как в треугольнике F MF : 2a > 2c , то есть a > c ,

то a2 − c2 > 0 .

b2 = a2 − c2 .

Поэтому

обозначим

эту

величину как:

Следовательно:

x2b2 + a2 y2

= a2b2 и

= 1 .

Данное уравнение называется

каноническим уравнением эллипса, причем a ³ b > 0 ,

a называется большой

полуосью эллипса, b - малой полуосью.

Эксцентриситетом

эллипса

называется отношение

где c -

половина расстояния между фокусами, a - большая полуось эллипса.

Обозначим

его ε =

Так

как a > c ,

то

0 £ ε < 1 . Так как c2 = a2 − b2 , то

− b2

b 2

= 1 − ε

1 −

Если эксцентриситет ε

мал,

то b ≈ a , то есть эллипс близок к окружности.

Если

ε → 1,

то b

значительно меньше

и эллипс сильно вытянут вдоль

большой оси. таким образом, эксцентриситет является мерой вытянутости эллипса.

Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и

расположенные симметрично относительно центра на расстоянии ε от него,

называются директрисами эллипса, где a - большая полуось, ε -

эксцентриситет эллипса. Уравнения директрис: x = −

x =

. Так как ε < 1 ,

то

> a . ТО есть правая директриса расположена правее правой вершины, а

левая – левее левой.

M (x, y)

−

Теорема 12.4. Если r - расстояние от произвольной точки M эллипса до какого-нибудь фокуса; d - расстояние от той же точки до соответствующей

этому фокусу директрисы, то	r	- есть величина постоянная, равная
	d

экцентриситету.

Доказательство. Очевидно, что d = εa − x ; r = r2 = (c − x)2 + y2 . Вспомним, что

r1 + r2 = 2a

= 2a .

или

(x + c)2 + y2

(x − c)2 + y2

Избавляясь

от

корня,

a2 − xc = a

r = r

= a −

x = a − εx и

a − εx

= ε .

(x − c)2 + y2

. Тогда

(c − x)2

+ y2

− x

Доказательство завершено.

Расстояние

от

фокуса

до

директрисы

равно:

(1 − ε 2 )

p =

− c =

− aε = a

− ε = a

Соседние файлы в папке Lektsii_PDF

#
22.03.2016101.11 Кб35Лекция_1.pdf
#
22.03.201669.18 Кб33Лекция_10.pdf
#
22.03.201668.6 Кб32Лекция_11.pdf
#
22.03.201668.68 Кб32Лекция_12.pdf
#
22.03.2016264.18 Кб32Лекция_13.pdf
#
22.03.2016320.39 Кб31Лекция_14.pdf
#
22.03.2016563.08 Кб31Лекция_15.pdf
#
22.03.201629.38 Кб31Лекция_16.pdf
#
22.03.201678.35 Кб35Лекция_17.pdf