Теория множеств

x 1. Предмет теории множеств

1. Необходимость изучения теории множеств. Широко извест-

но высказывание Л.Д.Ландау о классификации наук: науки бывают естественные (физика, химия, биология,...), неестественные (то есть не изучающие природу, например, история, философия) и сверхъестественные. К последним, по мнению Ландау, относится единственная наука математика, которая возвышается над всеми остальными, объединяя их и создавая универсальный инструмент для науч- ных исследований.

Как математик, автор всей душой стремится согласиться с этим высказыванием. но оно верно только в первом приближении. Как и во всяком проявлении человеческой культуры, в математике много неестественных и даже противоестественных разделов. Но мне хотелось бы обратить здесь внимание на другое. Вне всякого сомнения, математика в значительной своей части естественная наука, и даже, быть может, старейшая естественная наука. Для того чтобы обосновать этот тезис, попытаемся понять, в чем состоит суть любой естественной науки. Хотя предметом их изучения служат реально существующие объекты, ни об одном конкретном объекте на самом деле ничего не говорится. Обычно исследуется некий идеализированный объект, никогда не встречающийся в природе; например, физики говорят о материальных точках, идеальных газах, химики изучают вещества без всяких примесей, а лягушку, абсолютно удовлетворяющую всем параметрам из трудов биолога, вряд ли кому-то удастся встретить. Таким образом, естественные науки изучают не реально существующие предметы, а их идеализации, которые более или менее точно отражают основные свойства объектов и в то же время абстрагируются от несущественных в данный момент подробностей. Критерием того, что какая-то конкретная идеализация достаточно адекватно отражает природу вещей, является практика. Без механики Галилея и Ньютона, а позже квантовой механики и теории относительности, вся наша жизнь была бы совершенно иной; в то же время, многие другие модели (например, кеплеровское соответствие между планетами солнечной системы и правильными многогранниками) оказались несостоятельными и вступили в коренное противоречие с жизнью. Нельзя не увидеть, что весьма значительная часть математики вполне удовлетворяет этому описанию естественной науки. Ее древнейшие разделы геометрия и арифметика непосредственно описывают окружающий нас мир. Но вместе с тем ни прямые, ни точки, ни натуральные числа в природе не встречаются или, по крайней мере, наши органы чувств не в состоянии их воспринять. В самом деле, прямая бесконечна, а то, с чем мы сталкиваемся, напоминает лишь отрезки прямых. Но даже и отрезка прямой мы никогда не видели: ведь отрезок должен иметь нулевую "толщину", и, кроме того, прямизна того, что мы называем прямым, при

1

ближайшем рассмотрении вызывает сомнения. Таким образом, часто употребляемое в математике выражение "очевидно" в применении к геометрии, строго говоря, бессмысленно: мы ничего не можем здесь увидеть очами, потому что этого нет в природе.

Точно так же, в природе нет натуральных чисел: есть пять верблюдов, пять книг, пять звездочек, цифра 5, но число 5 в окружающем нас мире не встречается оно является изобретением человеческого разума. Итак, и классическая геометрия, и арифметика представляют собой модели, отражающие некоторые свойства окружающей нас Вселенной, да и то не всей Вселенной, а очень малой окрестности той точки в пространстве и во времени, в которой оказались мы. Для того, чтобы такая модель была хорошей, необходимо, чтобы в ней не было внутренних противоречий и чтобы она адекватно отражала действительность. Многовековой опыт человечества позволяет нам считать, что и евклидова геометрия, и арифметика удовлетворяют обоим этим требованиям.

То же самое можно сказать и о теории множеств. Нас окружают многочисленные и разнообразные множества; однако они все до одного конечны, хотя многие из них очень велики. Рассмотрение сколь угодно больших конечных множеств естественно приводит к появлению понятия бесконечного множества и к развитию теории бесконечных множеств, которая стала основой для построения почти всех математических теорий. Как и для других основных математических понятий, невозможно дать строгое определение множества. Мы представляем себе множество как совокупность объектов, обладающих некоторыми свойствами; при этом эти свойства должны быть описаны при помощи математически корректных высказываний. Однако, чересчур буквальное следование этому принципу почти немедленно приводит к противоречиям.

Примером такого противоречия является известный парадокс Рассела. Мы пока ничего не сказали о том, какими могут быть множества, и потому не вправе исключить никакие диковины; в частности, могло бы оказаться, что какое-то множество содержит себя в каче- стве одного из элементов (хотя это и трудно себе представить). Поэтому естественно определить нормальное множество как множество, не содержащее себя в качестве элемента. Будет ли множество M всех

нормальных множеств нормальным? Если да, то оно является элементом M, M 2 M, и потому M не нормальное множество; если

нет, то M содержит себя в качестве элемента, и, поскольку M состоит только из нормальных множеств, M нормальное множество.

Для того чтобы разобраться в этом парадоксе, рассмотрим еще один парадокс, не относящийся к теории множеств. Один брадобрей, живущий в маленьком городке, бреет всех тех и только тех мужчин городка, которые не бреются сами; бреет ли он себя? Если нет, то он не бреется сам, и потому должен брить себя. В то же время, он не может брить себя, так как он бреет только тех, кто не бреется сам. В

2

обоих случаях получается противоречие. В чем разгадка парадокса? Все дело в том, что мы на веру приняли возможность описанной ситуации. На самом деле брадобрей с такими свойствами существовать не может, и наши рассуждения именно это и доказывают.

То же самое относится и к парадоксу Рассела: такого объекта, как множество всех нормальных множеств, ни в какой осмысленной теории существовать не может. Отсюда следует, что на правила, определяющие множества, следует наложить какие-то ограничения. Этим и занимается теория множеств.

Мы поступим следующим образом: примем некоторые правила обращения с понятием множества, и уже из этих правил будем выводить все остальные факты. Подобный способ построения математиче- ских теорий известен с древности. Уже Евклид понимал, что геометрию можно развивать, только постулировав несколько утверждений о прямых, точках, плоскостях, представляющихся "очевидными" (на самом деле они не являются таковыми, ибо точки и прямые не существуют в природе и их нельзя увидеть), и уже на основе этих аксиом и постулатов доказывать более сложные утверждения при помощи строгих рассуждений.

2. Аксиомы теории множеств. Все объекты, встречающиеся в

нашей теории, мы называем множествами. Связи между ними осуществляются при помощи отношения принадлежности 2: если X, Y

два множества, то или X элемент множества Y , X 2 Y , или X

не элемент множества Y , X 2= Y .

Аксиома 1. Если X, Y два множества, и если Z тогда и только является элементом X, когда Z является элементом Y , то множества X и Y совпадают.

Эта аксиома утверждает, что множество вполне определяется своими элементами: если два множества содержат одни и те же элементы, то они совпадают.

Аксиома 2. Существует множество ?, не содержащее ни одного элемента (то есть такое, что X 2= ? ни для какого X).

По аксиоме 1 такое множество единственно; оно называется пустым множеством. Следующие несколько аксиом позволяют конструировать новые множества из уже существующих.

Аксиома 3. Для любых X, Y существует множество, единственными элементами которого являются X, Y .

Это множество единственно по аксиоме 1; оно называется неупорядоченной парой и обозначается fX; Y g. Заметим, что элементы X,

Y не обязательно различны; в случае их совпадения мы упростим обозначения и будем писать fXg вместо fX; Xg. Множество fXg состоит из единственного элемента X; отметим, что объекты fXg и X различны: X является элементом fXg, но не наоборот.

3

Аксиома 4. Пусть M множество, причем каждый элемент M 2 M сам является множеством. Тогда существует такое множество N, что элемент X принадлежит N тогда и только тогда, когда существует множество M 2 M, такое что X 2 M.

Это множество единственно (опять по аксиоме 1); оно называется

что объединение пустого множества множеств пусто. Объединение конечного числа множеств M1; : : : ; Mn

элемент множества M является также и элементом множества N; отметим, что по аксиоме 1 из того, что M подмножество N, а Nподмножество M, следует, что M = N.

Следующую аксиому, утверждающую существование некоторых множеств, нам пока трудно сформулировать точно; мы дадим лишь представление о ней.

Аксиома 5. Пусть M некоторое множество, и пусть R та-

кое свойство элементов этого множества, формулируемое в терминах уже введенных понятий теории множеств, что для любого элемента X 2 M свойство R(X) либо выполняется, либо не выпол-

няется. Тогда существует множество N, такое что X 2 N тогда и только тогда, когда X 2 M и свойство R(X) выполняется.

Таким образом, аксиома 5 позволяет вырезать в уже имеющемся множестве подмножество всех элементов, обладающих некоторым свойством. В принципе можно уточнить понятие свойства, но это сильно усложнило бы изложение. Все свойства, которые будут встре- чаться нам, будут математически корректно определены. Тот факт, что множество N получено из множества M при помощи свойства

R, будет часто записываться следующим образом:

N= fX 2 M j R(X)g:

Âкачестве примера использования аксиомы 5 дадим определения

пересечения T M семейства множеств M и теоретико-множествен-

M2M

ной разности M n N множеств M и N:

M n N = fX 2 M j X 2= Ng:

В отличие от объединения, нам не надо постулировать существование пересечения, так как пересечение представляет собой часть уже определенного множества, характеризуемую хорошо формулируемым свойством.

4

Отметим, что при нашем определении пересечение пустого множества множеств пусто. Для семейства подмножеств M некоторого

множества U можно определить пересечение чуть иначе:

\

M = fX 2 U j X 2 M äëÿ âñåõ M 2 Mg;

M2M

при таком определении пересечение пустого множества подмножеств множества U это само множество U. Если N подмножество M, то

теоретико-множественная разность M n N называется дополнением подмножества N в множестве M и обозначается {M N.

Аксиома 6. Для всякого множества M существует множество P (M), такое что X 2 P (M) тогда и только тогда, когда X подмножество M.

Множество P (M) по аксиоме 1 однозначно определено множеством M; оно называется множеством подмножеств множества M.

Мы пока остановимся на этом и опишем некоторые следствия из уже сформулированных аксиом. Ниже мы приведем еще несколько используемых в математических рассуждениях свойств множеств.

3. Декартово произведение. В неупорядоченной паре fX; Y g оба

элемента равноправны; мы хотим выделить один из них, и назвать его первым элементом пары, а другой элемент считать вторым элементом пары. Это можно сделать, например, следующим образом. Для любых X, Y положим U = fXg, V = fX; Y g и назовем упорядо-

ченной парой (X; Y ) неупорядоченную пару fU; V g = ffXg; fX; Y gg. Тогда первый элемент X упорядоченной пары (X; Y ) это единственный элемент пересечения U \ V ; если множество (U [ V ) n U непусто, то вторым элементом Y пары (X; Y ) будет его единственный элемент, а если оно пусто, то Y = X. Из этих рассмотрений сразу следует, что упорядоченная пара (Z; W ) совпадает с упорядоченной парой (X; Y ) тогда и только тогда, когда Z = X, W = Y .

Пусть K некоторое множество. Для любых элементов x; y 2 K неупорядоченная пара fx; yg является множеством; ясно, что эта неупорядоченная пара подмножество K, то есть элемент множества P (K) подмножеств множества K. Покажем, что существует множество U(K) P (K), элементами которого являются все неупорядоченные пары элементов из K, и только они. Действительно, все неупорядоченные пары элементы множества P (K); элемент X 2 P (K) является неупорядоченной парой тогда и только тогда, когда он обладает следующим свойством R: X 6= ? и существуют элементы x; y 2 K, такие что любой элемент z 2 X совпадает с x или с y. Согласно аксиоме 5, существует множество

U(K) = fX 2 P (K) j R(X) g;

состоящее из всех неупорядоченных пар элементов из K.

5

Применяя это рассуждение еще раз, построим множество U(U(K)) неупорядоченных пар элементов из U(K). Рассмотрим теперь множество V (K) всех элементов Z 2 U(U(K)), обладающих свойством: существуют x; y 2 K, такие что Z = ffxg; fx; ygg = (x; y); аксиома 5 показывает, что множество V (K) корректно определено. Таким

образом, существует множество, элементами которого являются упорядоченные пары элементов из K и только они. Это множество на-

зывается декартовым квадратом множества K и обозначается K K (иногда K2).

Пусть теперь M, N два любых множества, K = M [N их объ-

единение, существующее по аксиоме 4. Декартовым произведением M N называется множество всех упорядоченных пар (x; y) 2 K K,

обладающих свойством: x 2 M, y 2 N (мы вновь воспользовались ак-

сиомой 5). Понятие декартова произведения одно из важнейших понятий теории множеств. При его помощи определяются другие фундаментальные понятия: соответствие множеств, отображение, отношение и др.

x 2. Соответствия, отображения

1. Соответствия. Пусть M, N два множества; будем говорить, что между этими множествами установлено соответствие R, если за-

дано подмножество = R декартова произведения M N, называемое графиком соответствия R. Если x 2 M, y 2 N, (x; y) 2 ,

то мы пишем: xRy. В случае, когда второе множество N совпадает с первым множеством M, мы будем называть соответствие множества M с самим собой бинарным отношением на множестве M.

2. Отображения. Соответствие R между множествами M и N будем называть отображением из M в N, если выполняются следующие два свойства:

(1)для всякого элемента x 2 M существует элемент y 2 N, такой что xRy;

(2)åñëè x 2 M, y1; y2 2 N è xRy1, xRy2, òî y1 = y2.

Иначе эти же свойства можно сформулировать на языке графика соответствия R:

(1)для всякого элемента x 2 M существует элемент y 2 N, такой что (x; y) 2 ;

(2)åñëè x 2 M, y1; y2 2 N è (x; y1) 2 , (x; y2) 2 , òî y1 = y2.

Удобнее пользоваться для отображений другими, более привыч- ными обозначениями. Из свойств (1), (2) следует, что для каждого элемента x 2 M существует, и притом единственный, элемент y 2 N,

такой что xRy; будем обозначать этот элемент через f(x) = fR(x). Таким образом, для отображения R утверждения (x; y) 2 R, xRy è y = fR(x) равносильны. Тот факт, что R отображение из M в N,

6

мы будем часто записывать, используя стрелку: f : M !N :

Отображение f : M !N называется инъективным, если из равенства f(x1) = f(x2), в котором x1 è x2 элементы из M, следует, что x1 = x2. Отображение f называется сюръективным, если для всякого элемента y 2 N существует хотя бы один элемент x 2 M, такой что y = f(x). Если отображение f одновременно инъективно и сюръективно, то оно называется биективным.

3. Тождественное отображение; каноническое вложение подмножества в множество. Для всякого множества M есть тожде-

ственное отображение idM множества M на себя; оно определяется формулой: idM (x) = x для всякого x 2 M. График тождественного отображения M на себя состоит из точек (x; x), x 2 M.

Пусть теперь N подмножество множества M. По аксиоме 5 существует подмножество

f(n; n) 2 N M j n 2 Ng

множества N M. Очевидно, это подмножество удовлетворяет усло-

виям (1), (2) определения отображения, так что оно является графиком некоторого отображения iNM : N ! M. Это отображение назы-

вается каноническим вложением подмножества N в множество M; оно сопоставляет каждому элементу n 2 N тот же элемент, рассматриваемый как элемент множества M. Из самого определения видно,

что каноническое вложение всегда является инъективным отображением.

Как правило, для канонического вложения используется буква i (иногда j); при этом верхний и нижний индексы обычно опускаются, потому что из контекста бывает ясно, о каких множествах идет речь.

4. Композиция отображений. Пусть f : M ! N, g : N ! K

два отображения; их композицией, или произведением, называется отображение g f : M !K, определенное формулой:

(g f)(x) = g(f(x)) äëÿ âñåõ x 2 M:

Если , графики отображений f, g, то график отображения g f состоит из всех точек (x; z) 2 M K, для которых существует элемент y 2 N, такой что (x; y) 2 , (y; z) 2 .

Теорема 1. Пусть f : M ! N, g : N ! K, h : K ! L три отображения. Тогда (h g) f = h (g f). Для любого отображения f : M !N отображения f idM è idN f совпадают с f.

Доказательство. Для любого x 2 M

((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x))) =

= h((g f)(x)) = (h (g f))(x);

7

(f idM )(x) = f(idM (x)) = f(x); (idN f)(x)) = idN (f(x)) = f(x):

5. Обратное отображение. Пусть f : M ! N, g : N ! M два отображения; мы говорим, что отображение g является обратным к отображению f, если g f = idM , f g = idN . Это определение сим- метрично: если отображение g является обратным к отображению f, то отображение f является обратным к отображению g. Посмотрим,

как выглядит это определение на языке графиков. Сначала введем одно обозначение. Пусть X подмножество декартова произведения M N; пользуясь аксиомой 5, определим подмножество X> множе-

ства N M следующим образом:

X> = f(y; x) 2 N M j существуют x 2 M; y 2 N;

такие что (x; y) 2 Xg:

Пусть теперь M N, N M графики отображений f, g, так что (x; y) 2 тогда и только тогда, когда y = f(x), а (y; x) 2 тогда и только тогда, когда x = g(y); поэтому отображения f, g обратны друг к другу тогда и только тогда, когда = >.

Теорема 2 (об обратном отображении). Пусть f отображение множества M в множество N. Для того, чтобы существовало обратное к f отображение, необходимо и достаточно, чтобы отображение f было биективным. Если обратное отображение существует, то оно единственно.

Доказательство. Пусть M N график отображения f :M !N; если существует обратное отображение g : N ! M, то его графиком будет множество > N M (в частности, обратное отображение,

если оно существует, единственно). И наоборот, отображение с графиком > обратно к f. Таким образом, для существования обрат-

ного к f отображения необходимо и достаточно, чтобы соответствие между N и M с графиком >

выполнялись условия:

(1)для всякого элемента y 2 N существует элемент x 2 M, такой что (y; x) 2 >, (òî åñòü (x; y) 2 );

(2)åñëè x1; x2 2 M, y 2 N è (y; x1) 2 >, (y; x2) 2 > (èëè, ÷òî равносильно, (x1; y) 2 , (x2; y) 2 ), òî x1 = x2.

Но первое из них равносильно сюръективности отображения f, а второе его инъективности.

Теорема 2 показывает, что если существует отображение, обратное к отображению f, то оно единственно; мы будем обозначать это единственное обратное отображение через f 1. Если для отображения f

есть обратное, то будем говорить, что отображение f обратимо.

Теорема 3. (1) Если отображения f : M ! N, g : N ! K обратимы, то отображение g f : M ! K обратимо, и

(g f) 1 = f 1 g 1.

8

(2)Отображение idM : M !M обратимо, и idM1 = idM .

(3)Если отображение f : M !N обратимо, то и отображение f 1 : N !M обратимо, причем (f 1) 1 = f.

Доказательство. (1) Достаточно доказать, что отображение f 1 g 1 действительно является обратным к отображению g f. Но это так:

(g f) (f 1 g 1) = g (f (f 1 g 1)) =

=g ((f f 1) g 1) = g (idM g 1) = g g 1 = idN ;

èаналогично

(f 1 g 1) (g f) = f 1 (g 1 (g f)) =

=f 1 ((g 1 g) f) = f 1 (idN f) = f 1 f = idM :

(2)Поскольку idM idM = idM , отображение idM обратно самому

ñåáå.

(3) Отображение f 1 обратно к отображению f; поэтому f 1 f = idM ; f f 1 = idN :

Но эти равенства означают, что отображение f является обратным к отображению f 1.

x 3. Отношения эквивалентности и фактормножества

1. Отношение эквивалентности. Как было отмечено в предыдущем параграфе, бинарным отношением на множестве M называется соответствие множества M с самим собой. Пусть R отношение на множестве M и M M его график. Тот факт, что пара (x; y) принадлежит графику отношения R, будем записывать так: xRy. Отношение R на множестве M называется отношением эквивалентности, если выполняются следующие свойства:

(1)рефлексивность: xRx для всякого x 2 M;

(2)симметричность: если x; y 2 M и xRy, то yRx;

(3)транзитивность : если x; y; z 2 M и xRy, yRz, то xRz.

Отношение эквивалентности играет в науке важнейшую роль. Собственно говоря, оно лежит в основе всей научной деятельности человека. Невозможно было бы изучать каждый предмет в отдельности; поэтому приходится изучать классы в чем то подобных предметов. Но подобие предметов это и есть эквивалентность.

2. Фактормножество по отношению эквивалентности. Основ-

ное значение отношения эквивалентности состоит в том, что оно позволяет разбить множество в объединение классов эквивалентности. Пусть R отношение эквивалентности на множестве A. Для эле-

мента a 2 A будем обозначать через [a] подмножество множества A, состоящее из всех таких элементов x 2 A, что xRa.

9

Лемма 1. Элемент b 2 A тогда и только тогда принадлежит [a], когда [b] = [a].

Доказательство. Если b 2 [a], то bRa, и для всякого y 2 [b] будет yRb, bRa; тогда по транзитивности yRa, то есть y 2 [a]. Итак, [a] [b]. Из того, что bRa, следует, что aRb; если x 2 [a], то xRa, aRb, и потому xRb, x 2 [b]. Таким образом, [a] [b] и [a] = [b]. Обратно, если [a] = [b], то, поскольку bRb, b 2 [b] = [a].

Подмножество X множества A называется классом эквивалентности относительно отношения эквивалентности R, если существует элемент a 2 A, такой что X = [a]. Из леммы следует, что любые два

класса эквивалентности либо совпадают, либо не пересекаются: если пересечение классов X, Y непусто и a 2 X \ Y , то X = [a] = Y .

С другой стороны, каждый элемент a 2 A принадлежит какому-то классу, а именно, классу [a]. Таким образом, все множество A оказы-

вается разбитым в объединение попарно не пересекающихся классов эквивалентности.

Пусть P (A) множество подмножеств множества A. Подмножество множества P (A), состоящее из всех классов эквивалентности,

называется множеством классов эквивалентности для отношения эквивалентности R или фактормножеством множества A по отношению

эквивалентности R, и обозначается A=R. Таким образом,

A=R = fX 2 P (A) j X класс эквивалентности для Rg :

Отображение p : A!A=R, сопоставляющее каждому элементу a 2 A содержащий его класс [a], очевидно, сюръективно; оно называется канонической проекцией множества A на фактормножество A=R.

3. Образ и ядро отображения. Каноническая биекция. Пусть f : A ! B отображение множеств. По аксиоме 5 определено подмножество

fb 2 B j существует элемент a 2 A, такой что f(a) = bg

множества B. Это подмножество называется образом отображения f и обозначается Im f.

Снова по аксиоме 5 существует подмножество

= f(a1; a2) 2 A A j f(a1) = f(a2)g

декартова квадрата множества A. Отношение на множестве A с графиком называется ядром отображения f и обозначается Ker f. Таким образом, a1(Ker f)a2 тогда и только тогда, когда f(a1) = f(a2), то есть когда f(a1) è f(a2) один и тот же элемент множества B. Отсюда сразу следует, что Ker f отношение эквивалентности на A

(мы опускаем подробности), и потому определено фактормножество

A= Ker f.

10