Теория множеств

Доказательство. Для любой пары (a; b) 2 A B будет по определению (a; b) (a; b). Пусть теперь (c; d) другая пара из A B, и

пусть

(a; b) (c; d); (c; d) (a; b):

Тогда a A c, c A a, и потому a = c; но в этом случае наши неравенства превращаются в неравенства

(a; b) (a; d); (a; d) (a; b);

которые означают по определению, что b B d, d B b, то есть b = d. Пусть, наконец,

(a; b); (c; d); (e; f) 2 A B; (a; b) (c; d); (c; d) (e; f):

Тогда a A c; c A e; åñëè a 6= e, òî a <A e è (a; b) (e; f). Åñëè æå a = e, òî a A c, c A e = a, и потому a = c = e; в этом случае наши неравенства превращаются в неравенства

(a; b) (a; d); (a; d) (a; f);

которые означают по определению, что b B d, d B f, òî åñòü b B f, и опять (a; b) (e; f). Итак, отношение на декартовом произведении A B является отношением частичного порядка.

Предположим теперь, что оба множества A, B линейно упорядо- чены. Пусть (a; b), (c; d) две пары из A B. Тогда выполняется

одно из трех условий: a <A c; c <A a; a = c. В первом случае по определению отношения получаем, что (a; b) < (c; d), во втором что

(c; d) < (a; b). В третьем случае a = c посмотрим на вторые компоненты; поскольку B отношение линейного порядка, выполняется одно из трех условий b <B d, d <B b, b = d, которые означают соответственно, что (a; b) < (a; d) = (c; d), (a; b) = (c; b) > (c; d), (a; b) = (c; d). Таким образом, частично упорядоченное множество A B линейно

упорядочено.

Пусть теперь множества A, B вполне упорядочены, и пусть X непустое подмножество их декартова произведения A B: Обозначим через A0 множество первых компонент элементов из X:

A0 = fa 2 A j cуществует элемент b 2 B; такой что (a; b) 2 Xg :

Поскольку множество X непусто, множество A0 A первых компонент элементов из X тоже непусто; но множество A вполне упоря-

дочено, и потому в A0 есть наименьший элемент a0. Из определения следует, что существует элемент b1 2 B, такой что (a0; b1) 2 X, è ÷òî a0 A a для любого элемента (a; b) 2 X. Обозначим через B0 ìíî- жество вторых компонент тех элементов из X, первая компонента

которых равна a0:

B0 = fb 2 B j (a0; b) 2 Xg :

Подмножество B0 вполне упорядоченного множества B непусто: ему принадлежит определенный выше элемент b1. Поэтому существует наименьший элемент b0 множества B0; для этого элемента имеем:

21

(a0; b0) 2 X, è åñëè (a0; b) 2 X, òî b0 B b. Из сказанного видно, что (a0; b0) наименьший элемент множества X: если (a; b) 2 X, то или a0 <A a, èëè a0 = a, b0 2 b. Итак, любое непустое подмножество X произведения вполне упорядоченных множеств A B имеет наимень-

ший элемент, а это и означает, что A B вполне упорядоченное множество.

Тот порядок, который мы определили на A B, называется лек-

сикографическим; именно так упорядочиваются слова в словарях: сначала идут все слова, начинающиеся с буквы а, затем слова, начинающиеся с буквы б и т.д., причем внутри группы слов, начи- нающихся на одну букву, слова упорядочены по второй букве, а все слова с одинаковыми первыми двумя буквами упорядочены по третьей букве и т.д.

Допуская вольность речи, будем говорить, что частично упорядо- ченное множество, изоморфное произведению частично упорядоченных множеств A; B, равно произведению этих множеств. Но даже

при таком соглашении произведение частично упорядоченных множеств не перестановочно. Например, пусть A множество из двух

не сравнимых элементов a1,a2, а B множество из двух элементов b1 < b2. Тогда частично упорядоченные множества A B, B A не изоморфны. Действительно, первое из них A B состоит из элемен-

òîâ (a1; b1) < (a1; b2) ; (a2; b1) < (a2; b2), а во втором элементы упорядочены следующим образом: каждый из элементов (b1; a1), (b1; a2) меньше каждого из элементов (b2; a1), (b2; a2). Мы видим, таким образом, что в A B лишь две пары различных сравнимых элементов, а в B A таких пар четыре.

5. Сумма частично упорядоченных множеств. Пусть (A; A),

(B; B) частично упорядоченные множества, причем пересечение множеств A и B пусто; их суммой называется объединение этих множеств A [ B, на котором определено бинарное отношение по сле-

дующему правилу: x y, если x; y 2 A и x A y, èëè x; y 2 B è x B y, или x 2 A, y 2 B. Таким образом, все элементы множества A предшествуют элементам множества B, а внутри множеств A,

B сохраняется первоначальный порядок элементов. Сумма частично упорядоченных множеств A и B обозначается A + B.

Предложение 2. Сумма частично упорядоченных множеств A, B с введенным бинарным отношением является частично упорядо- ченным множеством. Если множества A, B линейно упорядочены, то и их сумма линейно упорядочена. Если множества A, B вполне упорядочены, то и их сумма вполне упорядочена.

Доказательство. Ясно, что x x для любого x 2 A + B. Пусть теперь x; y 2 A + B, x y, y x. Если x; y 2 A, то x A y, y A x и, поскольку A частично упорядоченное множество, x = y. Точно так же, если x; y 2 B, то x B y, y B x и, поскольку B частично

22

упорядоченное множество, x = y. Случаи же x 2 A, y 2 B и x 2 B, y 2 A противоречат предположению x y, y x: в первом из них неверно, что y x, а во втором неверно½ что x y.

Предположим, что x; y; z 2 A + B, x y, y z. Если x 2 B, то, поскольку x y, элемент y тоже принадлежит B, а поскольку y z, и элемент z входит в множество B; но тогда неравенства x y,

y z означают, что x B y, y B z, и, поскольку B частично упорядоченное множество, x B z, то есть x z. Точно так же, если z 2 A, то, поскольку y z, элемент y тоже принадлежит множеству

A, а поскольку x y, и элемент x входит в множество A; но тогда

неравенства x y, y z означают, что x A y, y A z, и, поскольку A частично упорядоченное множество, x A z, то есть и в этом случае x z. Если же x 2 A, z 2 B, то x z по определению

порядка на множестве A + B. Итак, из неравенств x y, y z всегда следует, что x z. Таким образом, мы проверили, что отношение частичного порядка на множестве A + B.

Пусть теперь множества A, B линейно упорядочены и пусть x; y 2 A + B. Если x 2 A, y 2 B, то x < y, если x 2 B, y 2 A, то y < x. Если же x; y 2 A или x; y 2 B, то, поскольку A и B линейно упорядоченные множества, выполняется одно из условий x <A y, x = y, y <A x (соответственно, x <B y, x = y, y <B x), которые, по определению порядка на A + B, означают, что x < y, или x = y, или y < x. Таким образом, множество A + B линейно упорядочено.

Пусть множества A, B вполне упорядочены и пусть X непустое подмножество суммы A+B. Если пересечение X \A пусто, то X B и, поскольку множество B вполне упорядочено, существует такой

элемент x0 2 X, ÷òî x0 B x, òî åñòü x0 x, для всех элементов x 2 X B. Если же пересечение X \ A A непусто, то, поскольку

множество A вполне упорядочено, существует такой элемент x0 2 X, ÷òî x0 A x для любого элемента x 2 X \ A. Покажем, что x0 наименьший элемент множества X. Действительно, пусть x 2 X; если x 2 A, то x 2 X \ A и x0 A x, òî åñòü x0 x, à åñëè x 2= A, òî x 2 B è x0 < x, òàê êàê x0 2 A. Итак, во всех случаях непустое подмножество суммы A + B имеет наименьший элемент, а

это и значит, что множество A + B вполне упорядочено.

Как и для произведения частично упорядоченных множеств мы, допуская вольность речи, иногда будем говорить, что частично упорядоченное множество C является суммой множеств A и B, если

существуют такие непересекающиеся подмножества A0, B0 частично упорядоченного множества C, что A и A0

упорядоченные множества, B и B0 изоморфные частично упорядо- ченные множества и C = A0 +B0; при этом пересечение множеств A и

B может и не быть пустым. Даже при таком соглашении сумма, как и

произведение частично упорядоченных множеств, не удовлетворяет закону перестановочности. Например, пусть A множество из двух

23

не сравнимых элементов a1,a2, а B множество из двух элементов b1 < b2. Тогда A + B это объединение множеств A и B, элементы которого упорядочены следующим образом: a1; a2 < b1 < b2, à в сумме B + A элементы того же объединения упорядочены иначе b1 < b2 < a1; a2; эти частично упорядоченные множества не изоморфны, так как в сумме A + B есть наибольший элемент b2, а в сумме B +A наибольшего элемента нет, а два максимальных элемента a1; a2 не сравнимы.

6. Объединение частично упорядоченных множеств. Укажем

еще одну конструкцию для построения частично упорядоченных множеств из заданных частично упорядоченных множеств.

Предложение 3. Пусть M множество, все элементы которого

частично упорядоченные множества, причем из любых двух множеств B; C 2 M одно содержится в другом, а порядок на меньшем

множестве индуцирован порядком на большем множестве. Тогда

S

на объединении A = B существует отношение частичного по-

B2M

рядка, продолжающее исходные отношения частичного порядка на множествах B 2 M.

Доказательство. Мы начнем с одного простого утверждения, которым будем неоднократно пользоваться и дальше.

Лемма 1. В условиях предложения 3 для любых тр¼х элементов a; b; c 2 A найдется множество B 2 M, такое что a; b; c 2 B.

Доказательство. Существуют такие C; D; E 2 M, что a 2 C, b 2 D, c 2 E. По нашему предположению, одно из любых двух множеств, входящих в M, содержится в другом; пусть F то из множеств C, D, которое содержит другое, а B то из множеств F , E, которое содержит другое. Ясно, что a; b; c 2 B.

Обозначим частичный порядок, заданный на множестве B 2 M,

символом B. Пусть b; c 2 A; существует такой множество B 2 M, что b; c 2 B. Положим b c тогда и только тогда, когда b B c. Это определение не зависит от выбора B: если b; c 2 C для некоторого

(C; C) 2 M, то одно из множеств B, C содержится в другом, и

порядок на меньшем множестве индуцирован порядком на большем множестве, так что всегда b C c.

Проверим, что так определенное отношение на множестве A является отношением частичного порядка. Соотношение b b очевидно для любого b 2 A. Если b; c 2 A, b c, c b, то существует такое

множество B 2 M, что b; c 2 B, и потому b B c, c B b, откуда следует, что b = c. Если a; b; c 2 A, a b, b c, то по лемме 1 существует

множество B 2 M, такое что a; b; c 2 B; тогда a B b, b B c и, поскольку множество B частично упорядочено, a B c. Следовательно, a c.

24

x 7. Сравнение множеств по мощности

1. Равномощные множества. Если мы в нашей повседневной де-

ятельности сталкиваемся с двумя конечными множествами и хотим узнать, в каком из них больше элементов, мы просто считаем, сколько элементов в каждом из множеств, а затем сравниваем эти числа. Но в нашей теории пока нет натуральных чисел, которые выражают количество элементов (они появятся позже). Однако, и без натуральных чисел можно узнать, одинаковы ли по числу элементов два множества или одно из них содержит больше элементов. Например, мы хотим узнать для каждой пары слов "конечное" и "множество", "алгоритм" и "логарифм", "считаем" и "каждый", в каком из слов пары больше букв; для этого подпишем вторые слова пар под первыми:

Написание одного слова под другим сопоставляет каждой букве первого слова стоящую под ним букву второго слова; мы видим, что в первом случае осталась одна буква, то есть это сопоставление является инъективным, но не сюръективным отображением. Во втором случае отображение оказалось биективным, а в третьем для последней буквы верхнего слова не нашлось соответствия в нижнем слове, то есть не удалось построить инъективное отображение множества букв первого слова в множество букв второго слова. Мы видим, таким образом, что если число букв в одном слове не больше числа букв во втором слове, то существует инъективное отображение множества букв первого слова в множество букв второго, а если количества букв в словах одинаковы, то существует биективное отображение первого множества на второе.

Перенесем эти соображения на произвольные множества. Будем говорить. что множество M равномощно множеству N, если суще-

ствует биективное отображение ' : M ! N, и что мощность множества M не больше мощности множества N, если существует инъективное отображение : M ! N. Отметим, что мы не определяем

само понятие мощности (это значительно труднее и будет сделано позже); мы лишь определяем отношение между мощностями различных множеств.

Следующее предложение очевидным образом следует из свойств инъективных и биективных отображений; оно показывает, в частности, что наши определения по смыслу не противоречат употреблению соответствующих слов в русском языке.

Предложение 1. Пусть M, N, K произвольные множества.

(1)M равномощно себе.

(2)Если M равномощно N, то N равномощно M

(3)Если M равномощно N, а N равномощно K, то M равномощ-

íî K.

25

(4)Если мощность M не больше мощности N, а мощность N не больше мощности K, то мощность M не больше мощности

K.

(5)Мощность M не больше мощности M.

Замечание. Свойства (1)-(3) наводят на мысль, что равномощ-

ность похожа на отношение эквивалентности. Однако, отношение может быть определено только на множестве, а предположение о существовании множества, элементами которого являются âñå множества, приводит, как мы знаем, к противоречию (парадокс Рассела). Однако, на любом множестве множеств равномощность является эквивалентностью.

2. Теорема Кантора Бернштейна. Предыдущее предложение не

отвечает на вопрос: а не может ли быть так, что мощность множества M не больше мощности множества N, мощность множества N

не больше мощности множества M, но множества M, N не равномощны? Ответ на него дает следующая, более глубокая теорема.

Теорема 1 (теорема Кантора Бернштейна). Если мощность множества M не больше мощности множества N, мощность мно-

жества N не больше мощности множества M, то множества M и N равномощны.

N на K, так что N и K равномощны; поэтому достаточно доказать, что M и K равномощны.

Обозначим через P разность M n K = fm 2 M j m 2= Kg. Пусть X

множество всех подмножеств X множества M, таких что:

(1)åñëè a 2 M, (a) 2 X, òî è a 2 X;

(2)X \ (M n (M)) = P .

когда элемент (r) принадлежит R.

Доказательство. Если (r) 2 R, то (r) 2 X для некоторого множества X 2 X; тогда по условию (1) r 2 X R. Пусть теперь r 2 R; тогда найдется множество X 2 X, такое что r 2 X. Покажем, что множество X0 = X [ f (r)g тоже принадлежит X. Действительно, пусть a 2 M, (a) 2 X0. Åñëè (a) 2 X, òî a 2 X X0 по условию (1) из

определения множества X; в противном случае (a) = (r) и, поскольку инъективное отображение, a = r 2 X X0. Итак, множество X0 удовлетворяет требованию (1). Далее, пересечение X0 \(M n (M)) совпадает с пересечением X \(M n (M)) = P , так как единственный

26

элемент (r) множества X0, не принадлежащий множеству X, содержится в (M); поэтому множество X0 удовлетворяет и условию (2).

и покажем, что биективное отображение M на K. Если m 2 R, то (m) = (m) 2 (M) K; если m 2= R, то

(m) = m 2 M n R M n P = K:

Итак, отображает M в K; покажем, что инъективно, то есть что(m) 6= (n) для любых m; n 2 M, m 6= n. Если m; n 2= R, то

(m) = m 6= n = (n):

Если m; n 2 R, то (m) = (m) 6= (n) = (n), потому что отображение инъективно. Если m 2= R, n 2 R, то (n) = (n) 2 R,(m) = m 2= R, так что (m) 6= (n). Точно так же доказывается неравенство (m) 6= (n) и в случае m 2 R, n 2= R.

Осталось доказать, что отображает множество M на вс¼ множество K. Пусть k 2 K; если k 2= R, то k = (k) 2 (M). Если же k 2 R, то k 2 K \ R (M), то есть существует элемент m 2 M, такой что k = (m); по условию (1) элемент m принадлежит R, и снова получаем, что k = (m) = (m) 2 (M).

3. Мощность множества подмножеств.

Теорема 2 (теорема Кантора). Мощность любого множества M

строго меньше мощности множества его подмножеств P (M).

Доказательство. Подмножество

f(m; fmg) 2 M P (M) j m 2 Mg

декартова произведения M P (M) является графиком инъективного отображения, которое каждому элементу m 2 M сопоставляет одноэлементное подмножество fmg множества M. Таким образом, мощность множества M не больше мощности множества P (M). Остается

убедиться в том, что эти множества не равномощны. Пусть это не так; тогда существует биективное отображение ' : M ! P (M). Для

каждого элемента m 2 M его образ '(m) подмножество M, и мы можем проверить, принадлежит элемент m множеству '(m) или нет. Обозначим через A множество всех элементов m 2 M, не принадлежащих '(m):

A = fm 2 M j m 2= '(m)g

(быть может, множество A пусто). Поскольку отображение ' сюръективно, существует элемент s 2 M, такой что A = '(s). Если s 2 A, то s 2 '(s), но это значит, что s 2= A, так как A состоит только из тех

27

элементов m 2 M, которые не принадлежат '(m). Следовательно, s 2= A; но тогда s 2= '(s), и потому s 2 A. Во всех случаях мы при-

ходим к противоречию, которое и доказывает, что предположение о равномощности M и P (M) было неверно.

Отметим еще одно тривиальное свойство мощности множества подмножеств, которым в дальнейшем будем часто пользоваться. Если множества A; B равномощны, то и множества их подмножеств P (A),

P (B) тоже равномощны. Действительно, если : A ! B биектив-

ное отображение, то отображение !

: P (A) P (B), ставящее в соответствие подмножеству X множества A подмножество f (x) j x 2 Xg множества B, очевидно, биективно.

x 8. Сравнение вполне упорядоченных множеств

1. Начальные отрезки вполне упорядоченных множеств. Выше мы видели, что если мощность множества A меньше мощности множества B, а мощность множества B меньше мощности множества A, то множества A и B равномощны; однако, мы не можем ответить

на вопрос: верно ли, что для любых двух множеств мощность одного из них не больше, чем мощность другого? Можно доказать, что без дополнительных предположений о множествах это сделать невозможно. Однако, оказывается, что вполне упорядоченные множества можно сравнивать друг с другом: одно из них всегда оказывается "не больше" или "не меньше" другого. Доказательству этого результата и посвящена эта глава. Прежде, чем точно сформулировать соответствующую теорему, нам надо изучить свойства важного класса подмножеств вполне упорядоченных множеств их начальных отрезков.

Пусть A вполне упорядоченное множество; подмножество B A называется начальным отрезком A, если для всякого элемента b 2 B любой элемент a 2 A, такой что a b, тоже принадлежит B. До-

кажем несколько неоднократно используемых в дальнейшем утверждений о начальных отрезках. Первое из них касается более общей ситуации.

Лемма 1. Пусть A частично упорядоченное множество, M

некоторое множество вполне упорядоченных подмножеств множества A, причем для любых подмножеств B; C 2 M одно из мно-

жеств B, C содержится в другом в качестве начального отрезка. Тогда объединение U всех этих подмножеств вполне упорядочено, причем любое подмножество B 2 M является начальным отрезком множества U.

Доказательство. Если D непустое подмножество множества U =

S

B, то найдется множество B 2 M, такое что пересечение D \ B

B2M

непусто; поскольку B вполне упорядоченное множество, существует наименьший элемент d непустого подмножества D \ B множества

28

B. Покажем, что d наименьший элемент множества D. Действительно, пусть d0 2 D; åñëè d0 2 B, òî d0 2 D \ B, и потому d0 d. Предположим теперь, что d0 2= B; найдется такое множество C 2 M, что d0 2 C. По предположению леммы, одно из множеств B, C является начальным отрезком другого; поскольку есть элемент d0, содер-

жащийся в B, но не содержащийся в C, множество B не может быть

начальным отрезком множества C, и потому C начальный отрезок B. Но тогда d0 элемент из B, не принадлежащий начальному отрезку C, откуда следует, что d0 больше любого элемента из C; в частности, d 2 C, и поэтому d0 d. Итак, всякое непустое подмноже-

ство D множества U имеет наименьший элемент, то есть U является

вполне упорядоченным множеством.

Покажем теперь, что любое множество B 2 M начальный отрезок U. Пусть b 2 B, b0 2 U, b0 b. Существует множество C 2 M, такое что b0 2 C. Если C * B, то по предположению леммы множество B является начальным отрезком C, и потому элемент b0 2 C, который меньше или равен элементу b 2 B, сам принадлежит B; если же C B, то снова b0 2 C B. Итак, B начальный отрезок множества U.

Пусть теперь A вполне упорядоченное множество; если оно непу-

сто, в нем есть наименьший элемент, который мы будем обозначать 0A или просто 0, когда ясно, о каком множестве идет речь. Для элемента c 2 A обозначаем через [0; c)A множество всех элементов a 2 A, для которых a < c, а через [0; c]A множество всех элементов a 2 A, для которых a c. И здесь обычно, когда не возникает недоразуме-

ний, мы будем опускать упоминание о множестве A. Ясно, что множество [0; c] строго больше множества [0; c); оно получается из [0; c) добавлением единственного элемента c.

Лемма 2. Для любого элемента c вполне упорядоченного множества A множества [0; c), [0; c] являются начальными отрезками множества A. Если D A начальный отрезок вполне упорядо- ченного множества A, то или D = A, или существует элемент c 2 A, такой что D = [0; c).

Доказательство. Если a 2 [0; c) (соответственно, a 2 [0; c]), b 2 A и b a, то b a < c и b 2 [0; c) (соответственно, b a c и b 2 [0; c]); таким образом, [0; c) и [0; c] начальные отрезки A. Обратно, пусть Dначальный отрезок A; если D 6= A, то множество A n D непусто, и, поскольку множество A вполне упорядочено, в AnD есть наименьший элемент c. Из определения видно, что все элементы a 2 A, такие что a < c, не принадлежат AnD и потому принадлежат D; следовательно, [0; c) D. Если же a 2 A, a 2= [0; c), то a c и a 2= D, так как иначе элемент c a тоже принадлежал бы начальному отрезку D, а это противоречит определению элемента c. Итак, выполняется и обратное включение D [0; c).

29

Лемма 3. Для любого множества начальных отрезков вполне упорядоченного множества A их объединение само является началь-

ным отрезком A.

S

Доказательство. Пусть U = B, причем каждое из множеств

B2M

B 2 M начальный отрезок A. Пусть b 2 U и пусть a 2 A, a b.

S

Поскольку b 2 U = B, существует такое множество B 2 M, что

B2M

начальный отрезок A.

Лемма 4. Пусть B начальный отрезок вполне упорядоченного множества A. Если C начальный отрезок B, то C начальный отрезок A. В частности, если c 2 B, то [0; c)A = [0; c)B,

[0; c]A = [0; c]B.

Доказательство. При C = B первое утверждение бессодержатель-

но; иначе C = [0; c)B для некоторого c 2 B. Если x 2 A и x c, то, поскольку B начальный отрезок множества A и c 2 B, элемент x

принадлежит множеству B; поэтому

[0; c)A = fx 2 A j x < cg = fx 2 B j x < cg = [0; c)B = C; [0; c]A = fx 2 A j x cg = fx 2 B j x cg = [0; c]B :

2. Теорема о сравнении вполне упорядоченных множеств.

Пусть A и B вполне упорядоченные множества; мы хотим пока-

зать, что эти множества можно сравнить друг с другом по "вели- чине". Точнее говоря, мы покажем, что одно из этих множеств можно так вложить в другое, чтобы это вложение сохраняло порядок элементов и чтобы образ первого множества заполнял бы начальный кусок второго множества A без пропусков.

Сначала дадим одно определение. Отображение ' : A !B одного

вполне упорядоченного множества в другое называется строго монотонным, если для элементов a1; a2 2 A из неравенства a1 < a2 следует

неравенство '(a1) < '(a2). Для элементов a1, a2

ного множества A есть только три возможности: a1 < a2; a1 = a2; a1 > a2; из строгой монотонности ' для каждого из этих случаев получаем соответственно '(a1) < '(a2), '(a1) = '(a2), '(a1) > '(a2). Следовательно, неравенство '(a1) < '(a2) возможно лишь при a1 < a2, а равенство '(a1) = '(a2) возможно лишь при a1 = a2; последнее

утверждение означает, что строго монотонное отображение инъективно.

Теперь мы можем сформулировать основной результат этого параграфа.

Теорема 1. Пусть A, B вполне упорядоченные множества. Тогда существует строго монотонное отображение множества A на

30