Теория множеств

существует ординальное число , такое что P ( ) неверно; тогда множество X Ord +1, состоящее из тех ординальных чисел , для которых P ( ) неверно, удовлетворяет требованиям принципа транс-

финитной индукции и, вопреки этому принципу, непусто. Требования принципа трансфинитной индукции можно несколько

ослабить. Как мы знаем, для каждого ординального числа есть непосредственно следующее за ним число + 1; однако, не для всякого ординального числа есть непосредственно предваряющее его ординальное число , то есть такое ординальное число, что = +1. Мы называем ординальное число предельным, если 6= +1 ни для какого ординального числа , и мы называем непредельным, если существует 2 Ord , такое что = + 1. Примерами предельных ординальных чисел являются 0, ! (наименьшее бесконечное предельное число), !2 + ! и т.д. Мы можем ослабить требования принципа трансфинитной индукции для непредельных чисел.

Теорема 8 (другая форма принципа трансфинитной индукции). Пусть ординальное число, и пусть X подмножество

множества Ord множества ординальных чисел, меньших . Если

(1)0 2 X;

(2)åñëè 2 X, + 1 < , òî + 1 2 X;

(3)если < , 6= 0 предельное ординальное число, и все ординальные числа, меньшие , принадлежат множеству X, то 2 X.

Тогда X = Ord .

Доказательство. Если X 6= Ord , то множество Y = Ord nX, состоящее из всех элементов множества Ord , не принадлежащих X, непусто, и поэтому существует наименьшее ординальное число < , не принадлежащее X. Но это невозможно, так как или = 0, или ординальное число предельное и для всех < ординальное числопринадлежит X, или существует < (и потому 2 X), такое что = + 1; во всех случаях 2 X.

Метод трансфинитной индукции можно использовать не только для доказательства утверждений, но и для определений. Не приводя формальных конструкций, ограничимся примером. Пусть орди-

нальное число; положим 0 = 1; +1 = ; = sup< , åñëèпредельное число. Степень теперь определена для любых орди-

нальных чисел , . Отметим, что !! счетное ординальное число, которое, однако, очень трудно себе представить.

x 17. Кардинальные числа

1. Множества ординальных чисел ограниченной мощности.

Как мы уже упоминали, бессмысленно говорить о множестве всех ординальных чисел; однако множества, содержащие все ординальные числа ограниченной мощности, существуют.

71

Теорема 1. Для любого множества A существует множество Ord(jAj), элементами которого являются все ординальные числа, мощность которых не превосходит мощность множества A, и только они.

Доказательство. Пусть B какое-то множество, мощность которого строго больше мощности множества A (например, B = P (A) множество всех подмножеств A). По теореме Цермело на множестве B существует отношение, относительно которого оно является вполне

упорядоченным множеством, а по теореме 5 существует ординальное число , изоморфное этому вполне упорядоченному множеству. Все

элементы множества ординальные числа; положим

Ord(jAj) = f 2 j мощность не больше мощности Ag:

Все элементы Ord(jAj) ординальные числа, мощность которых не превосходит мощность множества A. Обратно, пусть ординаль-

ное число, мощность которого не превосходит мощность множества A. Если , то и потому мощность не меньше мощности ,

а значит, строго больше мощности A. Следовательно, < , а тогда2 и, поскольку мощность не больше мощности A, 2 Ord(jAj).

2. Кардинальные числа. Ординальное число называется кардинальным числом, если для любого ординального числа < мощность строго меньше мощности . Кардинальные числа , одинаковой мощности равны: если, например, < , то, посколькукардинальное число, мощность строго меньше мощности . По-

этому кардинальные числа могут быть использованы для измерения мощностей множеств.

Теорема 2. Для каждого множества M существует единственное кардинальное число, равномощное M.

Доказательство. Единственность следует из того, что равномощные кардинальные числа равны; докажем существование. В множестве Ord(jMj) всех ординальных чисел, мощность которых не превосхо-

дит мощности множества M, выделим подмножество P, состоящее из всех ординальных чисел, равномощных множеству M. Множество P непусто; действительно, по теореме Цермело множество M можно вполне упорядочить, и мощность ординального числа , изоморфно-

го этому вполне упорядоченному множеству, равна мощности множества M, так что 2 P. По теореме 3 из x 16 в множестве P есть

наименьшее ординальное число . Мощность равна мощности множества M, но если ординальное число таково, что < , то 2= P и мощность строго меньше мощностей множеств M и . Поэтомукардинальное число, равномощное M.

Мощностью множества M назовем единственное кардинальное чи- сло, мощность которого равна мощности множества M. Таким образом, мощностью конечного множества, состоящего из n элементов,

72

является кардинальное число n, а мощностью счетного множества является кардинальное число !. Впрочем, для бесконечных карди-

нальных чисел приняты другие обозначения. Как мы знаем, мощность счетного множества обозначается через @0; пользуясь транс-

финитной индукцией, определим кардинальное число @ для любого ординального числа . Пусть уже определены кардинальные числа

@ для всех ординальных чисел < ; определим @ как наименьшее

кардинальное число, строго большее, чем все кардинальные числа @ , < . Тем самым, по принципу трансфинитной индукции, кар-

динальное число @ определено для любого ординального числа .

Таким образом, начальная часть шкалы мощностей выглядит следующим образом:

0 ; 1 ; 2 ; : : : ; n ; : : : ; @0; @1; @2; : : : ; @!; @!+1; : : :

Мощность континуума @ совпадает с одной из мощностей, входящих

в эту шкалу. Однако, мы не знаем, какому кардинальному числу @ равна мощность континуума. Более того, весьма трудным ока-

зался вопрос: верно ли, что @ = @1? Этот вопрос известен как "ги-

потеза континуума" и долгое время оставался открытым. В начале 60-х годов прошлого века П.Коэн показал, что эта проблема и не может иметь хорошего решения: тех представлений о множествах, которые имеют математики, недостаточно для того, чтобы доказать или опровергнуть гипотезу континуума, и можно присоединить к общепринятым аксиомам теории множеств как гипотезу континуума, так и ее отрицание, не нарушив при этом непротиворечивость теории множеств (если, конечно, эта теория без гипотезы континуума непротиворечива, во что мы все свято верим). Этот факт становится менее парадоксальным, если вспомнить, что в природе нет бесконеч- ных множеств, и они существуют лишь в воображении математиков, каждый из которых может иметь представление о бесконечных множествах, несколько отличающееся от представлений его коллег. Результат Коэна показывает, что принимать гипотезу континуума или не принимать ее дело вкуса каждого математика. Впрочем, в последнее время получено много результатов в различных областях математики, которые зависят от того, какую из теорий множеств принять с гипотезой континуума или без нее.

3. Набросок другого подхода к понятию ординального чис-

ла. Хотя понятие ординального числа введено строгим математиче- ским определением, оно не очень наглядно и представляется искусственным. Тот факт, что нам удалось из всех вполне упорядоченных множеств, изоморфных данному множеству, выбрать каноническим образом какое-то одно ординальное число, может показаться слу- чайным и не отражающим существа дела.

73

Другой подход к понятию ординального числа состоит в том, что мы не определяем сразу все ординальные числа, а лишь те, которые представляются вполне упорядоченными множествами, которые инъективно вложимы в какое-то фиксированное множество A. Сна-

чала построим вспомогательное множество MA. Напомним, что би- нарное отношение на множестве C это то же самое, что подмножество декартова квадрата; таким образом, множество P (A A) всех подмножеств декартова квадрата A A является в то же время множеством O(C) всех бинарных отношений на C. Отношение полного порядка на C это бинарное отношение, обладающее некоторым свойством ( ); именно, бинарное отношение с графиком A A является отношением полного порядка, если

(1)(c; c) 2 для всякого c 2 C;

(2)åñëè c; d 2 C è (c; d) 2 , (d; c) 2 , òî c = d;

(3)åñëè c; d; e 2 C è (c; d) 2 , (d; e) 2 , òî (c; e) 2 ;

(4)для всякого непустого подмножества C0 множества C существует такой элемент c 2 C0, что (c; d) 2 для всякого d 2 C0.

Поэтому определено и множество O0(C) отношений полного порядка на C: это множество тех бинарных отношений из множества O(C), которые обладают свойством ( ). Теперь мы можем определить и

множество MA; его элементами являются всевозможные пары (B; R), где B 2 P (A) подмножество A, а R 2 O0(B) отношение полного

порядка на B.

Введем на множестве MA бинарное отношение , полагая (B; R) (C; Q), если вполне упорядоченное множество B c отношением порядка R изоморфно вполне упорядоченному множеству C с отношением порядка Q. Легко проверяется, что отношение является эквива- лентностью на MA; через OrdA обозначим фактормножество множе- ñòâà MA по этому отношению эквивалентности.

Следующая теорема показывает, что OrdA это почти то же са- мое, что множество Ord(jAj) всех ординальных чисел, мощность ко-

торых не превосходит мощности множества A.

Теорема 3. Пусть A произвольное множество. Отображение ,

сопоставляющее каждому классу эквивалентности из OrdA åäèí-

ственное ординальное число, изоморфное всем вполне упорядоченным множествам, составляющим этот класс, является биективным отображением множества OrdA на множество Ord(jAj) всех

ординальных чисел, мощность которых не превосходит мощности множества A.

такие элементы из OrdA, что (B) = (C) = , то любые вполне

74

упорядоченные множества (B; R), (C; Q) из классов эквивалентности

B, C изоморфны ординальному числу , и потому изоморфны друг

другу, а это значит, что их классы эквивалентности

B, C совпадают. Остается доказать, что сюръективное отображение. Пусть 2 Ord(jAj); тогда мощность не больше мощности множества A, и существует инъективное отображение ' : ! A. Образ B = '( ) = f'(x) j x 2 g является подмножеством множества A. Введем на B бинарное отношение R, считая, что для элементов b; c 2 B соотношение bRc выполняется тогда и только тогда, когда ' 1(b) ' 1(c) во вполне упорядоченном множестве . Ясно, что ' является изоморфизмом вполне упорядоченного множества на множество B с отношением R; отсюда, в частности, следует, что R отношение полного порядка на B, так что пара (B; R) элемент множества MA.

Пусть 2

B OrdA класс эквивалентности пары (B; R); из построения

видно, что = (B). Итак, сюръективное отображение.

Если A C, то каждое подмножество D множества A является также подмножеством множества C; если Q отношение полного порядка на D, то пара (D; Q) представляет собой как элемент мно-

жества MA, так и элемент множества MC. Ïðè ýòîì ïàðû (C; Q), (C0; Q0) из множества MA эквивалентны в MA тогда и только то-

гда, когда они эквивалентны в MC. Поэтому множество классов эк- вивалентности OrdA отождествляется с подмножеством множества классов эквивалентности OrdC. Это позволяет сравнивать элементы множеств OrdA, OrdB, построенные для различных множеств A, B: достаточно погрузить оба множества A, B в одно и то же множество

C (например, в A [ B) и сравнить их в OrdC.

Для того, чтобы лучше понять, как связаны между собой мно- жества Ord(jAj) è OrdA, укажем на аналогичную ситуацию из на-

шей повседневной жизни. Для измерения длин отрезков мы обычно пользуемся метрической системой, основой которой является единица измерения метр. Понятие "метр" существует объективно: 1 метр (по крайней мере, по первоначальному определению) это одна сорокамиллионная часть длины Парижского меридиана. Но в реальной жизни мы весьма редко вспоминаем о Парижском меридиане, а пользуемся эталонами метра, нанесенными на платиново-иридиевый брусок, хранящийся в Севре, или на деревянную или пластмассовую дощечку, или на ленту из пропитанной чем-то ткани... То же самое имеет место и для ординальных чисел: множество ординальных чисел ограниченной мощности существует независимо от выбора какого-то специального множества, параметризующего его; однако, гораздо удобнее представлять ординальные числа как элементы из OrdA. При этом в разных ситуациях для одного и того же ординаль-

ного числа мы можем использовать различные множества, так же, как при измерении отрезков мы используем разнообразные измерительные инструменты.

75