Теория множеств

сконструировали, таким образом, довольно заметный кусок шкалы мощностей

0 < 1 < 2 < < @0 < 2@0 = @ < 2@ < 22@ : : : ;

отметим, что мы не утверждаем, что в промежутках между двумя элементами, стоящими в нашем списке по соседству, нет других мощностей, и что нет мощностей, не сравнимых с какими-то мощностями из этого списка.

x 14. Аксиома выбора

1. Аксиома выбора. Для дальнейшего развития теории множеств оказалось необходимым ввести еще одну аксиому.

Аксиома 8 (аксиома выбора). Пусть M некоторое множество, все элементы которого непустые множества. Тогда су-

S

ществует такое отображение ' : M ! A, что '(A) 2 A для

A2M

каждого A 2 M.

Иными словами, аксиома выбора утверждает, что мы можем в любой системе непустых множеств выбрать по одному элементу, и этот выбор осуществляется при помощи некоторой функции.

Приведем еще одну интерпретацию аксиомы выбора. Напомним, что декартово произведение двух множеств A1 è A2 представляет со- бой множество пар (a1; a2). Каждую такую пару можно рассматривать как отображение множества f1; 2g в объединение A1[A2, причем значение a1 этого отображения на элементе 1 принадлежит A1, à åãî значение a2 на элементе 2 принадлежит A2. Само декартово произ- ведение A1 A2 интерпретируется тогда как множество всех таких

отображений. Поэтому естественно назвать декартовым произведением множеств A 2 M множество всех отображений ' : M! S A,

A2M

таких что '(A) 2 A для всех A 2 M. Аксиома выбора утвержда-

ет, таким образом, что декартово произведение непустых множеств непусто.

Аксиома выбора позволяет ответить на многие важные вопросы. Из нее, в частности, получается следующее утверждение.

Предложение 1. Если : A ! B сюръективное отображение; то мощность множества B не больше мощности множества A.

Доказательство. Для каждого элемента b 2 B обозначим через Xb множество всех тех элементов a 2 A, для которых (a) = b; посколь-

ку отображение сюръективно, все множества Xb непусты. Поэтому по аксиоме выбора существует такое отображение

[

' : B ! Xb A ;

b2B

51

÷òî '(b) 2 Xb для любого b 2 B. Покажем, что отображение ' инъективно. Действительно, пусть b; c 2 B и '(b) = '(c); поскольку '(b) 2

Xb, а множество Xb состоит из элементов, которые отображает в b, получаем, что ('(b)) = b и аналогично ('(c)) = c. Таким образом, из равенства '(b) = '(c) следует, что b = ('(b)) = ('(c)) = c. Итак, существует инъективное отображение ' : B ! A, а это и означает, что мощность множества B не больше мощности множества A.

В частности, это предложение применимо к проекции множества A на его фактормножество A= по некоторому отношению эквивалентности на множестве A. Мы получаем тогда следующее утверждение.

Следствие 1. Пусть A произвольное множество, а некоторое отношение эквивалентности на A; тогда мощность фактормножества A= множества A по этому отношению эквивалентности не больше мощности множества A.

Мы уже видели, что аксиома выбора используется и при доказательстве следующего утверждения.

Предложение 2. Объединение не более чем счетного множества не более чем счетных множеств не более чем счетно.

Аксиома выбора не была безоговорочно принята всеми математиками; отчасти это объясняется тем, что полученные с ее помощью утверждения не вполне отвечают имеющемуся у нас представлению об окружающем мире. Примером такого утверждения может служить следующий факт. Трехмерный шар радиуса 1 может быть так разделен на 4 попарно не пересекающихся подмножества, что, переместив эти четыре куска в пространстве и соединив первые два из них и оставшиеся два, мы получим два шара радиуса 1. Однако, в конце концов математическое сообщество в основном приняло аксиому выбора.

2. Теорема Цермело и лемма Цорна. Аксиома выбора выглядит

очень естественно; однако, для применений, часто оказываются более удобными два других утверждения, эквивалентные ей. Приведем эти утверждения.

Теорема 1 (теорема Цермело). Любое множество можно вполне упорядочить; точнее говоря, на любом множестве существует такое бинарное отношение, которое является отношением частич- ного порядка и относительно которого множество вполне упорядо- чено.

Напомним, что любое бинарное отношение на множестве A вполне определено его графиком , который является подмножеством декартова квадрата A A. Таким образом, теорема Цермело это утверждение о существовании подмножества A A, обладающего некоторыми свойствами.

52

Прежде, чем формулировать другое утверждение, равносильное аксиоме выбора, дадим несколько определений. Пусть A частич-

но упорядоченное множество и пусть X подмножество A; элемент a 2 A называется верхней границей множества X, если для любого элемента x 2 X выполняется неравенство x a. Если a верхняя граница подмножества X и a < a0, òî a0 тоже верхняя граница X. Частично упорядоченное множество A называется индуктивным,

если всякое его подмножество, которое линейно упорядочено относительно порядка, индуцированного частичным порядком множества A, имеет хотя бы одну верхнюю границу.

Лемма 1 (лемма Цорна). Во всяком непустом индуктивном ча- стично упорядоченном множестве есть хотя бы один максимальный элемент.

Остальная часть этого параграфа посвящена доказательству равносильности аксиомы выбора, теоремы Цермело и леммы Цорна.

3. Теорема Цермело влечет аксиому выбора. Это самая про-

стая часть в доказательстве равносильности наших трех утверждений. Предположим, что теорема Цермело справедлива. Пусть M

множество, все элементы которого непустые множества. Обозна- чим через U объединение всех множеств A 2 M. Согласно теореме

Цермело, можно определить бинарное отношение на множестве U, относительно которого U вполне упорядоченное множество. Для каждого A 2 M подмножество A вполне упорядоченного множества

S

U = A непусто, и поэтому в этом подмножестве есть наименьший

A2M

элемент uA 2 A (очевидно, единственный). Определим теперь отображение ' : M ! U, полагая '(A) = uA для каждого A 2 M. Это отображение обладает свойством: '(A) = uA 2 A äëÿ âñåõ A 2 M. Íî

существование именно такого отображения и утверждается аксиомой выбора.

4. Аксиома выбора влечет лемму Цорна. Пусть A индуктив-

ное частично упорядоченное множество; предположим, что в нем нет ни одного максимального элемента, и покажем, что при выполнении аксиомы выбора это предположение ведет к противоречию. Тем самым будет доказано, что лемма Цорна следует из аксиомы выбора.

Пусть M множество тех подмножеств B множества A, которые линейно упорядочены относительно порядка, индуцированного на B порядком множества A. Для каждого X 2 M обозначим через U(X)

множество всех верхних границ множества X, а через U(X) множество всех таких верхних границ множества X, которые не принадлежат множеству X.

Индуктивность частично упорядоченного множества A в точности означает, что для любого множества X 2 M множество U(X) непусто. Пусть u 2 U(X) какая-то верхняя граница множества

53

X; поскольку, по нашему предположению, в множестве A нет максимальных элементов, элемент u не максимален, и существует элемент u 2 A, такой что u < u. Элемент u тоже является верхней границей множества X и он не принадлежит X. Таким образом, для каждого

X2M

2 2

такое что u(X) U(X) для каждого X M. Зафиксируем это отоб-

ражение; таким образом, для всех линейно упорядоченных множеств X 2 M мы выбрали и зафиксировали элементы u(X) 2 A, такие что

x < u(X) для любого элемента x 2 X (в частности, это означает, что u(X) 2= X).

Подмножество B множества A будем называть u-подмножеством,

если оно вполне упорядочено и обладает следующим свойством: для каждого элемента c 2 B выполняется равенство c = u([0; c)B) (çà-

метим, что элемент u([0; c)B) определен, так как начальный отрезок [0; c)B вполне упорядоченного множества B вполне упорядочен, а потому и линейно упорядочен).

Лемма 2. Из любых двух u-подмножеств множества A одно содержится в другом в качестве начального отрезка.

Доказательство. Пусть B, C u-подмножества множества A; обозначим через D множество всех элементов d 2 B \ C, таких что

[0; d]B = [0; d]C. Если d 2 D, b 2 B, b d, то, поскольку [0; d]B íà- чальный отрезок B и d 2 [0; d]B, b 2 B, b d, элемент b принадлежит [0; d]B. Íî [0; d]B = [0; d]C, и потому b 2 [0; d]C C. Учитывая, что [0; d]B, [0; d]C начальные отрезки вполне упорядоченных множеств B, C, получаем:

[0; b]B = fx 2 B j x bg = fx 2 [0; d]B j x bg = fx 2 [0; d]C j x bg = fx 2 C j x bg = [0; b]C ;

то есть b 2 D. Таким образом, D начальный отрезок множества B; точно так же доказывается, что D начальный отрезок множества C. Если D =B или D =C, то B =D является начальным отрезком C (соответственно, C =D является начальным отрезком B). Таким об-

разом, для завершения доказательства леммы достаточно показать, что предположение D 6= B, D 6= C приводит к противоречию. Но в

этом случае D является начальным отрезком вполне упорядоченных множеств B и C, не совпадающим с этими множествами, и потому по лемме 2 из x 8 существуют такие элементы b 2 B, c 2 C, что D = [0; b)B = [0; c)C. По определению u-подмножества мы имеем: b = u(D), c = u(D). Следовательно, элемент b = c принадлежит пересечению B \ C; кроме того,

[0; b]B = [0; b)B[fbg = D[fbg = D[fcg = [0; c)C[fcg = [0; c]C = [0; b]C;

54

то есть элемент b = c принадлежит множеству D. С другой стороны,

элемент b не принадлежит множеству [0; b)B, которое совпадает с D. Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Лемма 3. Объединение любого множества u-подмножеств множества A u-подмножество множества A.

Доказательство. Пусть L некоторое множество u-подмножеств множества A; обозначим объединение всех этих подмножеств через V . По предыдущей лемме, из любых двух u-подмножеств B, C множества A одно содержится в другом в качестве начального отрез-

чальным отрезком множества V . Для того, чтобы доказать, что Vu-подмножество множества A, осталось проверить, что для каж-

дого элемента c 2 V выполняется равенство c = u([0; c)V ). Существует множество B 2 L, такое что c 2 B; поскольку B началь-

ный отрезок множества V и c 2 B, из леммы 4 из x 8 следует, что [0; c)B = [0; c)V . Но B u-подмножество множества A, и потому c = u([0; c)B = u([0; c)V ).

Лемма 4. Если B u-подмножество A, то B [ fu(B)g тоже u-подмножество A.

Доказательство. Множество B вполне упорядочено, и b < u(B) для любого элемента b 2 B; поэтому частично упорядоченное множество

[ f g является суммой вполне упорядоченного множества

B = B u(B)

B и одноэлементного множества fu(B)g, которое тоже вполне упорядочено как и всякое одноэлементное частично упорядоченное мно-

жество. Но мы знаем, что сумма вполне упорядоченных множестввполне упорядоченное множество. Итак, множество

B вполне упорядочено. Осталось проверить, что для любого элемента c из этого

множества выполняется равенство u([0; c) ) = c. Если c = u(B), то

B

подмножество множества A.

Поскольку u(B) 2= B, лемма 4 показывает, что не может быть u- подмножества множества A, содержащего все u-подмножества. В то же время, по лемме 3 объединение всех u-подмножеств множества Au-подмножество множества A, и очевидно, что оно содержит все u-подмножества множества A. Это и есть то противоречие, которое мы стремились получить.

5. Из леммы Цорна следует теорема Цермело. Пусть A произвольное множество; докажем, что множество A можно вполне упорядочить, то есть что на множестве A можно определить бинарное

55

отношение, которое является отношением частичного порядка и относительно которого A вполне упорядоченное множество.

Следующее ниже доказательство является типичным примером того, как обычно применяется лемма Цорна. Схема рассуждений такова: строится вспомогательное частично упорядоченное множество, элементы которого тем или иным образом связаны с подмножествами множества A, доказывается, что это множество индуктивно и пото-

му в нем есть максимальный элемент, а затем проверяется, что этот максимальный элемент вспомогательного множества связан со всем множеством A, а не с его собственным подмножеством.

1. Частично упорядоченное множество M. Начнем с построения вспомогательного множества M. Его элементами являются всевозможные пары (B; 4), где B подмножество множества A, а 4 отношение частичного порядка на B, относительно которого B является вполне упорядоченным множеством. Отметим, что множество M непусто: ему принадлежит, например, пара (?; 4?), ãäå 4? åäèí- ственное бинарное отношение на пустом множестве ? (напомним, что

бинарное отношение это почти тоже самое, что удовлетворяющее некоторым условиям подмножество декартова квадрата, который в данном случае является пустым множеством и потому имеет единственное подмножество).

Для элементов (B; 4B); (C; 4C) множества M положим

(B; 4B) (C; 4C);

если B начальный отрезок вполне упорядоченного множества C

(в частности, B C), а порядок 4B на B индуцирован порядком 4C на C. Покажем, что отношение частичного порядка на M. Выполнение соотношения (B; 4B) (B; 4B) для любого элемента (B; 4B) 2 M очевидно. Если (B; 4B); (C; 4C) 2 M è

(B; 4B) (C; 4C); (C; 4C) (B; 4B);

то B C B и потому B = C, а порядки 4B, 4C совпадают, потому что каждый из них индуцирован другим.

Пусть, наконец, (B; 4B), (C; 4C), (D; 4D) три элемента из M, такие что (B; 4B) (C; 4C), (C; 4C) (D; 4D). Тогда B C, C D, порядок на C индуцирован порядком на D, а порядок на B инду-

цирован порядком на C, а значит, и порядком на D. При этом C начальный отрезок D, B начальный отрезок C, поэтому по лемме 4 из x 8 B начальный отрезок D. Таким образом, (B; 4B) (D; 4D).

2. Множество M индуктивно. Покажем, что у каждого линейно упорядоченного подмножества L множества M в M есть верхняя граница. Пусть

L0 = fB A j на B есть отношение 4B, такое что (B; 4B) 2 Lg

56

множество всех первых компонент элементов из L. Линейная упорядоченность L означает, что для любых пар (B; 4B), (C; 4C) из множества L выполняется хотя бы одно из неравенств

(B; 4B) (C; 4C) ; (C; 4C) (B; 4B):

Поэтому одно из любых двух множеств B; C 2 L0 содержится в дру-

гом, причем порядок на меньшем множестве индуцируется порядком на большем. Тогда по предложению 3 из x 6 на объединении

скольку каждое из множеств B вполне упорядочено и из любых двух

множеств B; C 2 L0 одно начальный отрезок другого, по лемме 1 из x 8 получаем, что относительно порядка 4 множество U вполне

упорядочено, причем все множества B 2 L0 являются его начальны- ми отрезками. Таким образом, (U; 4) 2 M и (B; 4B) (U; 4) для любого (B; 4B) 2 L, то есть (U; 4) верхняя граница линейно упорядоченного подмножества L множества M.

3. Максимальные элементы множества M. Теорема Цермело. Из леммы Цорна следует, что в индуктивном множестве M есть мак-

симальный элемент (M; 4M ) . Покажем, что M = A. Если это не так, то существует элемент x 2 A, x 2= M. На одноэлементном мно-

жестве fxg существует единственное отношение частичного поряд-

ка, относительно которого это множество вполне упорядочено. Пусть M0 = M +fxg сумма вполне упорядоченных множеств M, fxg; как

мы видели ранее, такая сумма вполне упорядоченное множество. Обозначим порядок на M0 через 40; ïàðà (M0; 40) является элемен-

том множества M. Из построения следует, что M = [0; x)M0 ( M0 собственный начальный отрезок M0, причем порядок 40 íà M0 èíäó-

цирует на M порядок 4, так что

(M; 4M ) (M0; 40); (M; 4M ) 6= (M0; 40);

а это противоречит максимальности элемента (M; 4M ). Èòàê, M = A è 4M отношение частичного порядка на A, относительно которого множество A вполне упорядочено. Таким образом, используя лемму Цорна, мы показали, что любое множество A можно вполне упорядочить, то есть доказали теорему Цермело.

x 15. Сравнимость множеств по мощности. Мощность декартова квадрата

1. Теорема о сравнении мощностей. Выше мы видели, что если мощность множества A не больше мощности множества B, а мощность множества B не больше мощности множества A, то множества A и B равномощны; однако, мы не могли ответить на вопрос: верно

ли, что для любых двух множеств мощность одного из них не больше, чем мощность другого? Аксиома выбора позволяет сделать это.

57

Теорема 1. Каковы бы ни были множества A, B, мощность хотя бы одного из них не больше, чем мощность другого.

Доказательство. По теореме Цермело, вытекающей из аксиомы выбора, множества A и B можно вполне упорядочить. Теорема о срав-

нении вполне упорядоченных множеств утверждает, что существует строго монотонное отображение вполне упорядоченного множества A на начальный отрезок вполне упорядоченного множества B, или

существует строго монотонное отображение вполне упорядоченного множества B на начальный отрезок вполне упорядоченного множе-

ства A. Но строго монотонное отображение вполне упорядоченных

множеств инъективно, поэтому в первом случае мощность множества A не больше мощности множества B, а во втором мощность

множества B не больше мощности множества A.

Сопоставляя эту теорему с теоремой Кантора-Бернштейна, мы замечаем, что мощности множеств ведут себя как элементы линейно упорядоченных множеств. Однако, мы не можем переформулировать эти теоремы, например, так: множество мощностей множеств вполне упорядочено, и не только потому, что мы еще не определили, что такое мощность множества. Главная причина в том, что сам термин "множество всех мощностей" внутренне противоречив и приводит к противоречиям, аналогичным парадоксу Рассела. Мы не можем включить все множества в "множество всех множеств", и точно так же мы не можем говорить о "множестве всех мощностей".

2. Конечные и бесконечные множества. Множество называется бесконечным, если оно не является конечным.

Теорема 2. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство. Пусть A бесконечное множество; его, по теореме

Цермело, можно вполне упорядочить. Далее, по теореме о сравнении вполне упорядоченных множеств существует строго монотонное отображение ' вполне упорядоченного множества N0 на начальный

отрезок вполне упорядоченного множества A, или строго монотонное, и потому инъективное, отображение A на собственный началь- ный отрезок множества N0. Но второй вариант невозможен, так как множество A бесконечно, а все собственные начальные отрезки мно-

жества N0 конечны. Следовательно, существует инъективное вложение ' : N0 ! A, и подмножество '(N0) множества A счетно.

Теорема 3. Множество A конечно тогда и только тогда, когда

выполнено любое из двух условий: всякое его инъективное отображение в себя сюръективно; всякое его сюръективное отображение на себя инъективно.

58

Доказательство. Если A конечно, то выполнение обоих условий следует из принципа Дирихле. Пусть теперь A бесконечное множество; по теореме 2 у него есть счетное подмножество N, а по предложению 2 из x 12 существуют инъективное, но не сюръективное отображение и сюръективное, но не инъективное отображение множества N в себя. Тогда отображение A в себя, тождественное на дополнении N и совпадающее с или на N, инъективно или сюръективно, но не биективно.

3. Теорема о мощности декартова квадрата множества. Мы

видели выше, что декартов квадрат счетного множества счетен, и что декартов квадрат множества мощности @ имеет мощность @. Оказы-

вается, это не случайно, и подобное утверждение справедливо для произвольного бесконечного множества.

Теорема 4. Если множество A бесконечно, то его декартов квадрат A A равномощен множеству A.

Доказательство. Мы введем вспомогательное множество M, опре-

делим на нем отношение частичного порядка, относительно которого множество M индуктивно, а затем докажем, что существующий по

лемме Цорна максимальный элемент связан с подмножеством той же мощности, что и множество A.

1. Вспомогательное множество M. Элементами множества M являются пары (B; ), состоящие из бесконечного подмножества B множества A и биективного отображения : B !B B множества B на его декартов квадрат. Таким образом, если пара (B; ) принадлежит множеству M, то множество B равномощно своему декартову квадрату B B. Множество M непусто. Действительно, поскольку множество A бесконечно, по теореме 2 в нем есть счетное подмножество N; но счетное множество равномощно своему декартову квадрату N N, поэтому существует биективное отображение : N !N N и, следовательно, пара (N; ) принадлежит множеству M.

2. Бинарное отношение на множестве M. Заметим, что если B

подмножество множества C, то декартов квадрат B B является подмножеством декартова квадрата C C: он состоит из тех пар (c1; c2) 2 C C, у которых обе компоненты c1; c2 2 C принадлежат подмножеству B множества C. Определим на множестве M бинарное отношение . Пусть (B; ), (C; ) два элемента из M; мы считаем, что (B; ) (C; ) тогда и только тогда, когда

(1)B C;

(2)(b) = (b) äëÿ âñåõ b 2 B.

Покажем, что отношение частичного порядка на множестве M. Действительно, очевидно, что (B; ) (B; ) для любой пары

(B; ) 2 M. Если (B; ); (C; ) 2 M, и (B; ) (C; ), (C; ) (B; ), то из условия (1) определения отношения следует, что B C,

59

C B, то есть B = C; кроме того, (b) = (b) для любого элемента b 2 B по условию (2) определения отношения , так что = и потому (B; ) = (C; ). Пусть, наконец, (B; ); (C; ); (D; ) 2 M и (B; ) (C; ), (C; ) (D; ). Тогда из (1) следует, что B C, C D, и потому B D, а из (2) следует, что (b) = (b) = (b) для любого элемента b 2 B C; таким образом, (B; ) (D; ).

3. Частично упорядоченное множество M индуктивно. Покажем, что у каждого линейно упорядоченного подмножества L множества M в M есть верхняя граница. Пусть

L0 = fC A j есть отображение :C ! C C, такое что (C; ) 2 Lg

множество всех первых компонент элементов из L, и пусть B

объединение всех множеств C 2 L0. Если b 2 B, то существует элемент (C; ) 2 L, такой что b 2 C; положим (b) = (b) 2 C C

B B. Этот элемент не зависит от выбора элемента (C; ). Действительно, если (D; ) другой элемент из L, такой что b 2 D, то, поскольку L линейно упорядоченное множество, выполняется одно из соотношений

(C; ) (D; ); (D; ) (C; );

из пункта (2) определения отношения в обоих случаях следует, что

(b) = (b).

Множество L0 вместе с множеством L линейно упорядочено, по-

то (a) = (a) = (b) = (b), откуда из-за инъективности следует, что a = b. Далее, для произвольного элемента (a; b) 2 B B и такого элемента (D; ) 2 L, что a; b 2 D, существует, благодаря сюръективности , такой элемент d 2 D B, что (a; b) = (d) = (d). Таким образом, отображение : B ! B B инъективно и сюръективно, и

ся равенство (d) = (d). Эти два условия в точности означают, что (D; ) (B; ). Следовательно, пара (B; ) 2 M является верхней границей линейно упорядоченного множества L.

4. Свойства множеств, равномощных своему декартову квадрату.

Прежде, чем исследовать максимальные элементы множества M,

докажем несколько утверждений о множествах, мощности которых равны мощностям их декартовых квадратов.

Лемма 1. Пусть X бесконечное множество, равномощное своему декартову квадрату, и пусть M некоторое множество множеств. Если мощность множества M и мощность каждого из множеств A 2 M не больше мощности множества X, то мощ- ность объединения SA2M A не больше мощности множества X.

60