Теория множеств

какой-то начальный отрезок множества B или строго монотонное отображение множества B на какой-то начальный отрезок множества A; если существуют оба этих отображения, то вполне упорядоченные множества A, B изоморфны. Если строго монотон-

ное отображение одного вполне упорядоченного множества на на- чальный отрезок другого вполне упорядоченного множества существует, то оно единственно.

Доказательство будет дано в следующих пунктах.

3. Свойства строго монотонных отображений на начальные

отрезки. Сначала более внимательно изучим строго монотонные отображения на начальные отрезки.

Лемма 5. Пусть ' строго монотонное отображение вполне упорядоченного множества A на начальный отрезок вполне упорядо- ченного множества B. Тогда для любого c 2 A

'([0; c)A) = [0; '(c))B:

Доказательство. Пусть a 2 A и a 2 [0; c)A; тогда a <A c и, поскольку ' строго монотонное отображение, '(a) <B '(c), òî åñòü '(a) 2 [0; '(c))B. Обратно, пусть b 2 B, b 2 [0; '(c))B. Тогда b <B '(c); поскольку по условию '(A) начальный отрезок B и '(c) 2 '(A),

мы заключаем, что и элемент b <B '(c) принадлежит '(A), то есть b = '(a) для некоторого a 2 A. Если c A a, òî '(c) B '(a) = b, что противоречит предположению. Следовательно, a <A c, òî åñòü a 2 [0; c)A è b = '(a) 2 '([0; c)A).

Лемма 6. Пусть A0, A00 два начальных отрезка вполне упорядо- ченного множества A, и пусть '0 : A0 ! B, '00 : A00 ! B ñòðî-

го монотонные отображения этих отрезков на начальные отрезки вполне упорядоченного множества B. Тогда '0(a) = '00(a) äëÿ âñåõ

a 2 A0 \ A00.

Доказательство. Если утверждение леммы не выполняется, то множество тех элементов a 2 A0 \A00, для которых '0(a) 6= '00(a) íåïó-

стое подмножество вполне упорядоченного множества A, и значит, в нем есть наименьший элемент, то есть такой элемент c 2 A0 \A00, ÷òî '0(c) 6= '00(c), íî '0(a) = '00(a) для всякого элемента a < c, принадлежащего обоим отрезкам A0; A00.

Пусть a 2 A, a < c; поскольку c 2 A0 \A00, à A0; A00 начальные от- резки A, элемент a принадлежит обоим множествам A0; A00, à òàê êàê a < c, элементы '0(a) è '00(a) равны. Значит, '0([0; c)A) = '00([0; c)A). Теперь из леммы 5 следует, что

[0; '0(c))B = '0([0; c)A) = '00([0; c)A) = [0; '00(c))B:

Åñëè '0(c) < '00(c)), òî '0(c) 2 [0; '00(c))B = [0; '0(c))B, что неверно; поэтому '0(c) 6< '00(c)), и точно так же '00(c) 6< '0(c)). Следовательно,

'0(c) = '00(c)), а это противоречит выбору c.

31

Лемма 7. Пусть A и B вполне упорядоченные множества, M какое-то множество начальных отрезков множества A, и пусть для всех C 2 M существуют строго монотонные отображения 'C отрезков C на начальные отрезки множества B. Тогда существу-

ет строго монотонное отображение ' объединения A0 = SC2M C на начальный отрезок множества B.

Доказательство. Пусть a 2 A0 = SC2M C; тогда существует начальный отрезок C 2 I, такой что a 2 C. Положим '(a) = 'C(a). Ýòî

определение не зависит от выбора C: если a 2 D, где D другой начальный отрезок из M, то 'C(a) = 'D(a) по лемме 6. Множество

является объединением множеств 'C(C), каждое из которых, по условию леммы, является начальным отрезком множества B; по лемме 3 множество '(A0) тоже является начальным отрезком множества

B. Осталось проверить, что отображение ' строго монотонно. Пусть a1; a2 2 A0, a1 < a2. Существует такой начальный отрезок C 2 M, что a2 2 C; поскольку C начальный отрезок множества A и a1 < a2, элемент a1 тоже принадлежит C, и '(a1) = 'C(a1) < 'C(a2) = '(a2).

Лемма 8. Пусть A и B вполне упорядоченные множества, A0

начальный отрезок A, и пусть существует строго монотонное отображение вполне упорядоченного множества A0 на все множе-

ство B. Тогда существует строго монотонное отображение множества B на начальный отрезок множества A.

Доказательство. Пусть ' : A0 ! B строго монотонное отображение начального отрезка A0 на множество B. Отображение ' сюръек-

тивно и, поскольку оно строго монотонное, инъективно. Таким образом, отображение ' биективно и поэтому существует обратное отоб- ражение ' 1 : B !A0, композицию которого с вложением подмноже-

монотонно, мы имели бы: b1 = '( (b1)) '( (b2)) = b2, что проти- воречит нашему предположению; следовательно, (b1) < (b2).

4. Завершение доказательства теоремы 1. Пусть A и B впол-

не упорядоченные множества; обозначим через M множество всех начальных отрезков A0 множества A, для которых существуют их строго монотонные отображения на начальные отрезки множества

32

B, а через A объединение всех начальных отрезков из этого множества M. По лемме 3 множество A само является начальным от-

резком множества A, а из леммы 7 следует, что существует строго монотонное отображение ' множества A на начальный отрезок множества B. Если A = A, то ' строго монотонное отображение множества A = A на начальный отрезок ' (A ) множества B; если ' (A ) = B, то по лемме 8 существует строго монотонное отобра-

жение множества B на начальный отрезок множества A. Случай же A 6= A и ' (A ) 6= B, как мы покажем ниже, невозможен.

Действительно, пусть начальные отрезки A , ' (A ) множеств A и

B не совпадают с этими множествами; тогда по лемме 2 существуют элементы c 2 A, d 2 B, такие что A = [0; c)A, ' (A ) = [0; d)B. Определим отображение ' начального отрезка [0; c] = [0; c) [ fcg = A [ fcg множества A в множество B, положив

Образ этого отображения

'(A [ fcg) = '(A ) [ '(fcg) = [0; d)) [ fdg = [0; d]

является начальным отрезком множества B. Таким образом, существует строго монотонное отображение ' начального отрезка [0; c]

множества A на начальный отрезок множества B, и потому [0; c] принадлежит множеству M, а значит, он содержится в объединении A

всех начальных отрезков, принадлежащих множеству M. В частности, элемент c 2 [0; c] принадлежит множеству A = [0; c), но это

невозможно, потому что все элементы множества [0; c) по определению строго меньше c.

Единственность строго монотонного отображения множества A на

начальный отрезок множества B получается как частный случай леммы 6, в которой надо положить A0 = A00 = A. Если существуют

строго монотонное отображение ' множества A на начальный отре-

и ' : B ! B строго монотонные отображения множеств A и B на свои начальные отрезки; из единственности строго монотонных

отображений на начальные отрезки следует, что обе эти композиции совпадают с тождественными отображениями соответствующих множеств (тождественное отображение, очевидно, строго монотонное). Поскольку отображения ' и строго монотонны, они являются вза-

имно обратными изоморфизмами упорядоченных множеств.

33

x 9. Конечные множества

1. Конечные вполне упорядоченные множества. Вполне упо-

рядоченное множество называется конечным, если каждое его непустое подмножество имеет не только начало наименьший элемент, но и конец наибольший элемент. Пусть B подмножество конеч-

ного вполне упорядоченного множества A; если C непустое подмножество B, то C непустое подмножество A, и поэтому в нем есть

наибольший и наименьший элемент. Таким образом, всякое подмножество конечного вполне упорядоченного множества само является конечным вполне упорядоченным множеством.

Следующее утверждение показывает, что для установления конеч- ности вполне упорядоченного множества достаточно проверять наличие наибольшего элемента не для всех подмножеств, а только для начальных отрезков.

Предложение 1. Для того чтобы вполне упорядоченное множество было конечным необходимо и достаточно, что бы любой его непустой начальный отрезок содержал наибольший элемент.

Доказательство. Необходимость очевидна; докажем достаточность. Пусть A вполне упорядоченное множество, каждый начальный от-

резок которого содержит максимальный элемент, и пусть B непустое подмножество A. Объединение U начальных отрезков [0; b], b 2 B начальный отрезок множества A; по условию, существует наибольший элемент m множества U. Все элементы множества B при-

b2B

S

2

b2B

отрезку [0; c] для некоторого c 2 B и, очевидно, является наибольшим элементом этого отрезка; таким образом, m = c 2 B. Итак, в подмножестве B есть наибольший элемент m.

2. Конечные множества. Множество X называется конечным, ес-

ли оно равномощно какому-то конечному вполне упорядоченному множеству A. Всякое подмножество этого конечного множества X

равномощно некоторому подмножеству A, которое, как и любое под-

множество вполне упорядоченного конечного множества, само является конечным вполне упорядоченным множеством. Таким образом, любое подмножество конечного множества конечно.

Одним из основных свойств конечных множеств является следующая теорема.

Теорема 1 (принцип Дирихле). Пусть X, Y равномощные конечные множества, и пусть отображение множества X в множество Y . Следующие утверждения равносильны: (i) инъективно; (ii) сюръективно; (iii) биективно.

34

Доказательство. Множества X, Y равномощны, а множество Y ко-

нечно; поэтому существуют биективные отображения X ! Y ! A,

где A некоторое конечное вполне упорядоченное множество. Отображение ' = 1 1 : A ! A инъективно, сюръективно или биек-

тивно вместе с , поэтому достаточно доказать равносильность условий: (i) ' инъективно; (ii) ' сюръективно; (iii) ' биективно.

Биективное отображение по определению инъективно и сюръективно, поэтому остается доказать, что (i) ) (iii), (ii) ) (iii).

(i) ) (iii). Пусть ' : A ! A инъективное отображение; покажем, что оно биективно. Обозначим через B A множество всех элементов b 2 A, для которых существует биективное отображение

взять тождественное отображение A на себя, а если отрезок [0; m) не пуст, то в нем есть наибольший элемент k < m, так что [0; m) = [0; k] и k 2 B, и можно положить = k.

Элемент l = '(m) не принадлежит [0; m) = '([0; m)). Обозна- чим через отображение множества A в себя, переставляющее l и m и не двигающее остальные элементы множества A. Отображение биективно, и ( )'(x) = x не только для всех x 2 [0; m), но и для x = m, а это значит, что m 2 B вопреки предположению. Итак, B = A; в частности, наибольший элемент n множества A принадлежит B и

биективное отображение.

(ii) ) (iii). Пусть ' : A ! A инъективное отображение; покажем, что оно биективно. Обозначим через B A множество всех элементов b 2 A, для которых существует биективное отображение

взять тождественное отображение A на себя, а если отрезок [0; m) не пуст, то в нем есть наибольший элемент k < m, так что [0; m) = [0; k]

и k 2 B, и можно положить = k.

В силу сюръективности ' существует такой элемент l 2 A, что m = ' (l); ясно, что l 2= [0; m) = ' ([0; m)). Обозначим через отображение множества A в себя, переставляющее l и m и не двигающее остальные элементы множества A. Отображение биективно, и '( )(x) = x не только для всех x 2 [0; m), но и для x = m, а это значит, что m 2 B вопреки предположению. Итак, B = A; в частности, наибольший элемент n множества A принадлежит B и

35

биективное отображение.

x 10. Множество натуральных чисел

1. Аксиома бесконечного множества. Все до сих пор встречав-

шиеся свойства множеств выполняются и для конечных множеств. Поэтому они не позволяют, исходя из конечных множеств, построить новые множества, не входящие в класс конечных множеств. Приходится совершить "акт творения" и ввести бесконечные множества насильно.

Аксиома 7. Существует бесконечное (то есть не конечное) вполне упорядоченное множество, все начальные отрезки которого конечные вполне упорядоченные множества.

Аксиома не утверждает, что это множество единственно (и это, конечно, не так). Однако, все такие множества изоморфны. Действительно, пусть N, M бесконечные вполне упорядоченные множе-

ства, все начальные отрезки которых конечны. По теореме о сравнении вполне упорядоченных множеств существует строго монотонное отображение N на начальный отрезок M или строго монотонное

отображение M на начальный отрезок N. Но этот начальный отрезок, изоморфный N (соответственно, M) бесконечен, и потому совпадает с M (соответственно, N); следовательно, то из отображений, кото-

рое существует, не только инъективно, как всякое строго монотонное отображение, но и сюръективно. Поскольку оно сохраняет порядок, оно является изоморфизмом вполне упорядоченных множеств N, M.

2. Множество N0. Выберем и зафиксируем какое-то множество N0,

удовлетворяющее требованиям аксиомы 7. Элементы этого множества называются натуральными числами; наименьший его элемент обозначается цифрой 0, следующий за ним 1, последующие 2, 3,. . . . Это очень существенный момент построения теории множеств. Хотя отдельные натуральные числа постоянно встречаются и используются в практической деятельности человека, и отсутствие противоречий в работе с ними подтверждается многовековым опытом человечества, существование нового объекта множества N0

всех натуральных чисел ниоткуда не следует. Вводя его, мы рискуем: может оказаться, что термин "множество всех натуральных чисел" столь же противоречив, как и термин "множество всех множеств", и в принципе не исключено, что его использование приведет к ситуации типа парадокса Рассела. До сих пор не доказано и не опровергнуто, что аксиома 7 не противоречит остальным аксиомам теории множеств; математикам остается только верить в это. Даже убежденные атеисты-математики на самом деле глубоко верующие люди: они беспрекословно верят в непротиворечивость теории множеств, допускающей существование бесконечных множеств.

36

Множество N0 может рассматриваться как шкала для измерения мощностей конечных множеств.

Теорема 1. Для любого конечного множества X существует единственный начальный отрезок [0; n) множества N0, равномощный

X.

Натуральное число n, упомянутое в теореме, называется порядком конечного множества X; мы будем обозначать его через jXj. Если X, Y равномощные конечные множества, то они равномощны одному

и тому же начальному отрезку множества N0, и значит, их порядки jXj, jY j равны. Таким образом, равномощные конечные множества

это то же самое, что конечные множества одинакового порядка.

Доказательство. Единственность следует из принципа Дирихле: если множество X равномощно отрезкам [0; n), [0; m), и m n, то

[0; m) [0; n), и каноническое вложение [0; m) в равномощное ему конечное множество [0; n) инъективно; по принципу Дирихле оно сюръективно, то есть [0; m) = [0; n). Докажем существование такого

отрезка. По определению конечного множества существует биективное отображение ' множества X на конечное вполне упорядоченное

множество A. Далее, по теореме о сравнении вполне упорядоченных множеств существует строго монотонное отображение множества N0 на начальный отрезок множества A или строго монотонное отобра- жение A на начальный отрезок N0; но первое невозможно, так как все начальные отрезки A конечны, а множество N0 бесконечно. Следо-

элемент n 2 N0, такой что (A) = [0; n). Отображение ' является биективным отображением множества X на начальный отрезок [0; n) множества N0, а это и значит, что множество X равномощно [0; n).

Конечно, выбор какого-то одного из изоморфных вполне упорядо- ченных множеств в качестве шкалы для измерения порядков конеч- ных множеств является произвольным. Но это обычная в нашей жизни ситуация. Так, в основе шкалы измерения длин лежит достаточно произвольно выбранный кусок металла севрский эталон метра, а мы при необходимости измерить что-то пользуемся своими эталонами. То же самое с измерением времени: у каждого из нас своя шкала измерения времени собственные часы, и лишь изредка мы сравниваем ее с принятой совершенно произвольно за основную шкалой отсчета времени, связанной с Гринвичским меридианом. Истори- чески точно так же было и со шкалой измерения конечных множеств: у каждого был свой эталон по крайней мере для первых десяти чиселпальцы его рук. Следы этого сохранились во многих языках; так, по английски digit означает одновременно и палец, и цифру, а русское слово "десять" восходит, по-видимому, к тому же древнему корню.

37

Впрочем, выбор бесконечного вполне упорядоченного множества, все начальные отрезки которого конечны, может быть осуществлен (при условии, что аксиома 7 верна) и некоторым каноническим, ни от че- го не зависящим способом, хотя принципиального значения это не имеет. Мы расскажем, как это можно сделать, в параграфе, посвященном ординальным числам.

3. Принцип математической индукции. Пусть n 2 N0 íàòó-

ральное число; в непустом множестве натуральных чисел, не принадлежащих замкнутому отрезку [0; n], есть наименьшее число n0,

которое мы будем называть натуральным числом, непосредственно следующим за n, и обычно обозначать n + 1.

Теорема 2 (принцип индукции для натуральных чисел). Если

A такое подмножество множества натуральных чисел N0, ÷òî

(1)0 2 A;

(2)åñëè n 2 A, òî n + 1 2 A,

òî A = N0.

Доказательство. Обозначим через B дополнение в N0 множества A. Если множество B непусто, в нем есть наименьший элемент b. При этом b 6= 0, так как 0 2 A по условию (1), и потому 0 2= B. Следовательно, отрезок [0; b) множества N0 непуст, и в нем есть наиболь- ший элемент c. Но тогда b наименьшее число, не принадлежащее [0; c] = [0; b), то есть b = c + 1. В силу минимальности b элемент c < b не принадлежит B, и значит, c 2 A. Но тогда b = c + 1 2 A по условию (2), вопреки тому, что b 2 B. Таким образом, предположение о непустоте множества B было неверно. Значит, B = ? и A = N0.

Принцип индукции лежит в основе доказательств при помощи математической индукции. Пусть P (n) утверждение, сформулиро-

ванное для всех натуральных чисел n. Предположим, что мы уже доказали P (0) и, кроме того, доказали, что если для некоторого n2 N0 утверждение P (n) справедливо, то выполняется и утверждение P (n + 1); тогда утверждение выполнено для всех натуральных чисел, так как множество A тех номеров из N0, для которых утвер- ждение выполняется, удовлетворяет условиям (1) и (2) предыдущей теоремы.

4. Действия над натуральными числами.

Лемма 1. Сумма и произведение конечных вполне упорядоченных множеств являются конечными вполне упорядоченными множествами.

Доказательство. Пусть A и B конечные вполне упорядоченные множества. Полная упорядоченность множеств A + B, AB была до-

казана ранее; остается убедиться в их конечности. Но это тоже оче- видно. Действительно, пусть C непустое подмножество A + B (на-

помним, что при этом множества A и B не должны пересекаться).

38

Если C \ B непусто, то в подмножестве C \ B конечного вполне упорядоченного множества B есть наибольший элемент b, который, очевидно, является наибольшим элементом всего множества C. Если же C \ B = ?, то C = C \ A непустое подмножество конечного вполне упорядоченного множества A, и его наибольший элемент является наибольшим элементом множества C.

Пусть теперь C непустое подмножество AB. Тогда множество тех элементов a 2 A, для которых существует такой элемент b 2 B,

что (a; b) 2 C, непусто, и в нем есть наибольший элемент a0. Далее, множество элементов b 2 B, таких что (a0; b) 2 C, непусто, и в нем есть наибольший элемент b0. ßñíî, ÷òî (a0; b0) наибольший элемент множества C.

Пусть m; n 2 N0, и пусть A, B непересекающиеся конечные вполне упорядоченные множества порядков m, n; тогда существуют единственные m+n; mn 2 N0, изоморфные соответственно A+B, AB. Легко видеть, что числа m + n, mn не зависят от выбора множеств A, B; они называются суммой и произведением натуральных чисел m и n. Используя математическую индукцию, нетрудно прове-

рить, что так определенные действия обладают всеми привычными свойствами действий над натуральными числами; мы опускаем эту проверку, являющуюся простым упражнением.

x 11. Кольцо целых чисел и поля рациональных и вещественных чисел

1. Кольцо целых чисел. Большинство основных структур класси-

ческой математики могут быть определены через натуральные числа. В этом параграфе мы покажем, как можно определить множества целых (не только неотрицательных), рациональных и вещественных чисел. При этом изложение будет конспективным: все нуждающиеся в проверке факты формулируются, а сама проверка, тривиальная, но часто громоздкая, опускается.

Введем на N0 N0 два бинарных отношения , , и два действиясложение и умножение, полагая для любых a; b; c; d 2 N0

(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d); (a; b)(c; d) = (ac + bd; ad + bc)

(во второй строчке натуральные числа a+d и b+c сравниваются как

элементы вполне упорядоченного множества N0). Легко проверяется, что является отношением эквивалентности, а отношение и оба

действия устойчивы относительно него. Фактормножество декартова квадрата N0 N0 по отношению эквивалентности обозначается Z

и называется множеством целых чисел; действия сложения и умножения пар индуцируют на фактормножестве Z операции сложения

39

и умножения, относительно которых, как нетрудно проверить, Z является коммутативным ассоциативным кольцом с 1, а отношение индуцирует частичный порядок на Z, который мы обозначаем и

который, как легко убедиться, является линейным, но не полным порядком. Класс эквивалентности, содержащий пару (n; 0), где n 2 N0,

отождествляют с натуральным числом n; тогда для любых n; m 2 N0 будет (n; m) + (m; 0) = (n + m; m) (n; 0), так что класс эквивалент-

ности пары (n; m) равен в кольце Z разности n m. Ясно, что каждый класс эквивалентности совпадает для какого-то n 2 N0 ñ n èëè ñ n.

Как мы отметили выше, множество Z не является вполне упорядо-

ченным; однако, каждое его ограниченное подмножество уже вполне упорядочено. Мы называем подмножество A множества Z ограничен-

ным снизу (сверху), если существует такое число n 2 Z, что n a для всех a 2 A (соответственно, n a для всех a 2 A). Во всяком непустом ограниченном снизу подмножестве A Z есть наименьший элемент. Действительно, если n a для всех a 2 A, то отображение x (x + n) является изоморфизмом вполне упорядоченного множества N0 на множество U Z целых чисел, не меньших n; поэтому множество U вполне упорядочено, и в его непустом подмножестве A есть наименьший элемент. Если теперь V Z ограниченное сверху непустое подмножество, то множество U = fv j v 2 V g ограничено снизу, в нем есть наименьший элемент u, а тогда u наибольший элемент множества V . Итак, в каждом непустом ограниченном сверху множестве целых чисел всегда есть наибольшее число.

2. Поле рациональных чисел. Аналогично построению кольца целых чисел строится поле рациональных чисел Q (эта конструкция обычно приводится в курсах алгебры). Обозначим через N множество

всех ненулевых натуральных чисел и введем на декартовом произведении Z N отношения , и действия сложения и умножения,

полагая для любых a; c 2 Z, b; d 2 N

Легко проверяется, что является отношением эквивалентности, а отношение и оба действия устойчивы относительно него. Фактормножество декартова произведения Z N по отношению эквивалентности обозначается Q и называется множеством рациональ-

ных чисел; действия сложения и умножения пар индуцируют на фактормножестве Q операции сложения и умножения, относительно ко-

торых, как нетрудно проверить, Q является полем, а отношение индуцирует частичный порядок на Q, который мы вновь обозначаеми который, как легко убедиться, является линейным, но не полным порядком. Класс эквивалентности, содержащий пару (a; 1), где a 2 Z,

40