Теория множеств

Определим теперь отображение f : A= Ker f ! Im f, положив для класса [a]Ker f 2 A= Ker f

f([a]) = f(a):

С первого взгляда это определение не вполне корректно: оно зависит от выбора элемента a 2 A, представляющего класс [a]Ker f . Однако,

åñëè [a]Ker f = [a0]Ker f , òî a(Ker f)a0, òî åñòü f(a) = f(a0), òàê ÷òî элемент f([a]) однозначно определяется классом [a].

Предложение 1. Пусть f : A ! B произвольное отображение. Отображение f : A= Ker f ! Im f, определенное в предыдущем абзаце, биективно. При этом f = i f p, где p:A ! A= Ker f канони-

ческая проекция множества на фактормножество, а i : Im f ! Bканоническое вложение подмножества в множество.

Доказательство. Для всякого a 2 A будет

(i f p)(a) = i(f(p(a)) = i(f([a]Ker f )) = i(f(a)) = f(a);

значит, f = i f p. Для всякого b 2 Im f существует такой элемент

a 2 A, что f(a) = b; тогда f([a]Ker f ) = f(a) = b, так что отображение f сюръективно. Если [a1]Ker f ; [a2]Ker f такие два класса из A= Ker f, ÷òî f([a1]Ker f ) = f([a2]Ker f ), òî f(a1) = f(a2) и потому a1(Ker f)a2, òî åñòü [a1]Ker f = [a2]Ker f ; следовательно, f инъективное отображение.

Описанное в предложении представление отображения f в виде

произведения канонической проекции p : A ! A= Ker f, биектив- ного отображения f : A= Ker f ! Im f и канонического вложения

i : Im f ! B называется каноническим разложением отображения f. x 4. Алгебраические структуры

1. n-арные отношения и операции на множестве. Начнем этот

пункт с замечания о декартовых произведениях. Выше мы определили декартово произведение двух множеств. Если у нас есть три множества K, L, M, то мы можем образовать произведение ((K L) M).

Это произведение называется декартовым произведением множеств K, L, M и обозначается K L M. Точно так же определяется

декартово произведение четырех, пяти и более множеств:

K1 K2 Kn = (: : : ((K1 K2) K3) : : : Kn 1) Kn:

Элементы последнего декартова произведения удобно представлять себе как упорядоченные наборы (a1; a2; : : : ; an), ãäå ai 2 Ki

äîãî i = 1; 2; : : : ; n.

Пусть A некоторое множество, а n положительное целое число. Если n 2, то n-й декартовой степенью An множества A называется декартово произведение n экземпляров множества A. Это определение распространим и на случаи n = 0; 1, положив A1 = A и взяв в качестве A0 одноэлементное множество f;g.

11

По аналогии с бинарным отношением на множестве A, которое, по определению, является подмножеством декартова квадрата A2 = A A, n-арным отношением на A называется любое подмножество его n-й декартовой степени An.

(n + 1)-арное отношение An+1 = An A на множестве A называется n-арной операцией (точнее, n-арной алгебраической операцией) на A, если оно является функцией из An â A, òî åñòü åñëè äëÿ

любых x1; : : : ; xn 2 A существует, и притом единственный, элемент y = F (x1; : : : ; xn) 2 A, такой что (x1; : : : ; xn; y) 2 . Определение применимо и при n = 0: 0-арная операция на A это отображение одноэлементного множества A0 в A; е¼ обычно отождествляют с элементом из A, в который отображается единственный элемент из A0.

1-арная операция обычно называется унарной, 2-арная операция бинарной, 3-арная тернарной. Например, сложение и умножениебинарные операции на кольце целых чисел, взятие противоположного элемента унарная операция, 0 и 1 0-арные операции.

Часто результат применения бинарной операции F к элементам x; y 2 A записывается в виде xF y вместо F (x; y). Например, результаты применения бинарных операций +; к паре (a; b) 2 A A записываются как a + b; a b.

2. Отношения и операции, индуцированные на фактормножестве. Пусть A множество, на котором задано отношение эквивалентности . n-арное отношение An называем устойчивым

относительно , если для любых элементов x1; y1; : : : ; xn; yn 2 A, таких что x1 y1, . . . , xn yn, (x1; : : : ; xn) 2 , элемент (y1; : : : ; yn) тоже принадлежит .

Пусть An n-арное отношение на A, устойчивое относительно эквивалентности . Тогда на A= существует единственное отноше-

íèå n, такое что

(A= )

где, как обычно, p : A ! A= каноническая проекция на фактормножество. Действительно, если

(a1; : : : ; an) 2 ; p(a1) = p(b1); : : : ; p(an) = p(bn);

òî a1 b1,. . . , an bn, è (b1; : : : ; bn) 2 , потому что отношениеустойчиво относительно эквивалентности . Мы будем называть

отношением, индуцированным отношением на фактормножестве

A= .

Посмотрим, во что превращается это определение для алгебраи- ческих операций. Пусть F n-арная операция на множестве A, и

пусть эквивалентность на A, относительно которой операция F устойчива. Тогда

= f(x1; : : : ; xn; F (x1; : : : ; xn)) 2 An+1 j x1; : : : ; xn 2 Ag

12

представляет-

ñÿ â âèäå (p(x1); : : : ; p(xn)) для некоторых x1; : : : ; xn 2 A, а соответ-

ствующая ему (n + 1)-я компонента элемента из тогда определена

однозначно, так как она обязана быть равной p(F (x1; : : : ; xn)). Таким образом, определена n-арная операция на A= , которая называется

операцией, индуцированной операцией F на фактормножестве A= и обычно обозначается тем же символом F . Очевидно, что для любых элементов a1; : : : ; an 2 A выполняется соотношение

F (p(a1); : : : ; p(an)) = p(F (a1; : : : ; an)) ;

где p каноническая проекция A!A= , и что этим соотношением операция F на фактормножестве A= определена однозначно.

Переформулируем определение индуцированной на фактормножестве операции в немного отличных, но более привычных терминах. Пусть 1; : : : ; n 2 A= ; в каждом классе i (1 i n) выберем по

представителю ai 2 A (òàê ÷òî i = [ai]), и в качестве F ( 1; : : : ; n) возьмем класс эквивалентности [F (a1; : : : ; an)], содержащий элемент F (a1; : : : ; an). Результат не зависит от выбора представителей: если b1, . . . , bn другие представители классов 1 ,. . . , n, òî b1 a1,

. . . , bn an и, поскольку F устойчивая относительно операция, F (a1; : : : ; an) F (b1; : : : ; bn), то есть классы эквивалентности

[F (a1; : : : ; an)], [F (b1; : : : ; bn)] совпадают.

3. Алгебраические структуры. Мы говорим, что на множестве A задана алгебраическая структура сигнатуры (n1; : : : ; nr), если на A заданы алгебраические операции F1, . . . , Fr арностей n1; : : : ; nr ñî- ответственно. Допуская вольность речи, мы будем говорить также, что множество A само является алгебраической структурой сигнату-

ðû (n1; : : : ; nr). Пусть B другая алгебраическая структура той же сигнатуры с операциями G1; : : : ; Gr. Отображение : A ! B называ-

ется гомоморфизмом алгебраических структур, если оно согласовано со всеми этими операциями; это значит, что для всех i, 1 i r, и

äëÿ âñåõ a1; : : : ; ani 2 A

(Fi(a1; : : : ; ani)) = Gi( (a1); : : : ; (ani)):

Инъективный гомоморфизм называем мономорфизмом, сюръективный эпиморфизмом, а биективный изоморфизмом.

Отношение эквивалентности на алгебраической структуре A с

операциями F1; : : : ; Fr называется конгруэнцией A, если все эти операции устойчивы относительно . В этом случае операции F1; : : : ; Fr индуцируют на фактормножестве A= операции тех же арностей,

13

так что A= становится алгебраической структурой той же сигнатуры; она называется факторструктурой структуры A по конгруэнции. Каноническая проекция p : A ! A= является гомоморфизмом алгебраических структур, поскольку для всех i, 1 i r, и для всех a1; : : : ; ani 2 A

Fi(p(a1); : : : ; p(ani)) = p(Fi(a1; : : : ; ani)):

Пусть A алгебраическая структура сигнатуры (n1; : : : ; nr) с операциями F1; : : : ; Fr. Е¼ подмножество B называется подструктурой

A, åñëè äëÿ âñåõ i, 1 i r, è äëÿ âñåõ b1; : : : ; bni 2 B будет Fi(b1; : : : ; bni) 2 B. Тогда B алгебраическая структура той же сигнатуры, и ясно, что каноническое вложение i : B ! A является

гомоморфизмом алгебраических структур.

Теорема 1. Пусть f :A ! B гомоморфизм алгебраических струк-

тур одинаковой сигнатуры. Тогда Ker f конгруэнция на A, Im fподструктура B, и в каноническом разложении f = i f p отоб-

ражения f в произведение отображений

p : A ! A= Ker f; A= Ker f ! Im f; Im f ! B

все сомножители являются гомоморфизмами алгебраических структур.

Доказательство. Для всех i, 1 i r, и всех as; a0s 2 A, 1 s ni,

есть такие элементы a1; : : : ; ani 2 A, ÷òî f(a1) = b1; : : : ; f(ani) = bni. Поскольку f гомоморфизм алгебраических структур,

Gi(b1; : : : ; bni) = Gi(f(a1); : : : ; f(ani)) = f(F ())a1; : : : ; ani 2 Im f;

это и значит, что Im f подструктура B.

Выше уже было отмечено, что p; f; i соответственно сюръективное, биективное и инъективное отображения, и что p и i гомо-

морфизмы алгебраических структур. Таким образом, остается про- верить, что и f гомоморфизм алгебраических структур; но это

сразу следует из определений. Действительно, для всех i, 1 i r,

èâñåõ a1; : : : ; ani 2 A

f(Fi([a1]; : : : ; [ani]) = f([Fi(a1; : : : ; ani)]) = f(Fi(a1; : : : ; ani)) =

=Gi(f(a1); : : : ; f(ani)) = Gi(f([a1]); : : : ; f([ani])):

14

Говорят, что две алгебраические структуры изоморфны, если существует изоморфизм одной из них на другую. Только что доказанная теорема, которая обычно называется теоремой о гомоморфизме, показывает, что для любого гомоморфизма f : A ! B "го-

моморфный образ Im f изоморфен фактору по ядру гомоморфизма A= Ker f". Это одна из основополагающих теорем в теориях раз-

личных типов алгебраических структур (групп, полугрупп, колец, модулей и т.п.).

4. Многочлены от операций. Пусть A алгебраическая структура с основными операциями F1; : : : ; Fr; индуктивно определим новые алгебраические операции на A, которые получаются комбинацией ос-

новных операций и которые мы назовем многочленами от F1; : : : ; Fr. Наше индуктивное определение состоит из тр¼х пунктов.

(1)Основные операции F1; : : : ; Fr являются многочленами от операций F1; : : : ; Fr;

(2)для любого n и любого i, 1 i n, n-арная операция, ставящая в соответствие элементу (a1; : : : ; an) 2 An элемент ai 2 A, является многочленом от операций F1, . . . , Fr;

(3)åñëè Fi m-арная операция (1 i r), а G1; : : : ; Gm n- арные многочлены от операций F1; : : : ; Fr, то n-арная операция H(a1; : : : ; an) = Fi(G1(a1; : : : ; an); : : : ; Gm(a1; : : : ; an)) тоже является многочленом от F1; : : : ; Fr.

Из этих условий следует, в частности, что если Fi 0-арная îïå- рация, то есть элемент c 2 A, то для любого n операция, ставящая в соответствие любому элементу (a1; : : : ; an) 2 An элемент Fi = c, является n-арным многочленом от операций F1; : : : ; Fr.

Лемма 1. Пусть A, B алгебраические структуры одинаковой сигнатуры с одинаково обозначенными операциями F1; : : : ; Fr. Äà- лее, пусть H n-арный многочлен от операций F1; : : : ; Fr, и пусть f : A ! B гомоморфизм алгебраических структур. Тогда для любых a1; : : : ; an 2 A

f(H(a1; : : : ; an)) = H(f(a1); : : : ; f(an)):

Доказательство. Утверждение бессодержательно, если H совпадает

с одной из основных операций F1; : : : ; Fr èëè åñëè H(a1; : : : ; an) = ai (1 i n). Пусть теперь Fi m-арная операция (1 i r),

H(a1; : : : ; an) = Fi(G1(a1; : : : ; an); : : : ; Gm(a1; : : : ; an));

ãäå G1; : : : ; Gm n-арные многочлены от F1; : : : ; Fr, для которых утверждение леммы уже доказано. Тогда

f(Fi(G1(a1; : : : ; an); : : : ; Gm(a1; : : : ; an))) =

=Fi(f(G1(a1; : : : ; an)); : : : ; f(Gm(a1; : : : ; an))) =

=Fi(G1(f(a1); : : : ; f(an)); : : : ; Gm(f(a1); : : : ; f(an)));

15

òî åñòü f(H(a1; : : : ; an)) = H(f(a1); : : : ; f(an)).

5. Тождества на алгебраических структурах. Пусть A алгебраическая структура с основными операциями F1; : : : ; Fr, и пусть G и H два n-арных многочлена от операций F1; : : : ; Fr; мы говорим, что на A выполняется тождество G = H, если для любых элементов

a1; : : : ; an 2 A выполняется равенство G(a1; : : : ; an) = H(a1; : : : ; an).

При помощи тождеств выделяются различные классы алгебраиче-

ских структур. Например, группа это алгебраическая структура с бинарной операцией (умножение), унарной операцией 1 (обратный

элемент) и 0-арной операцией e (единичный элемент), на которой выполняются одно тернарное и четыре унарных тождества

x (y z) = (x y) z; x e = e x = x; x x 1 = x 1 x = e:

Аналогично, коммутативное ассоциативное кольцо с 1 это алгебраическая структура с двумя бинарными операциями сложения +

и умножения (знак последней часто опускается, так что пишется xy вместо x y), унарной операцией взятия противоположного элемента и 0-арными операциями 0, 1, удовлетворяющими тернарным тождествам

x(yz) = (xy)z ; x + (y + z) = (x + y) + z ; x(y + z) = xy + xz ;

бинарным тождествам

x + y = y + x ; xy = yx

и унарным тождествам

x + ( x) = 0 ; 0 + x = x ; 1 x = x :

Теорема 2. Пусть A, B алгебраические структуры одинаковой сигнатуры с одинаково обозначенными операциями F1; : : : ; Fr. Ïðåä- положим, что на A выполняется тождество G = H, где G и H

n-арные многочлены от операций F1; : : : ; Fr. Тогда для любого гомо- морфизма алгебраических структур f : A ! B тождество G = H

выполняется и на алгебраической структуре Im f.

Доказательство. Для любых элементов a1; : : : ; an 2 A выполняется соотношение G(a1; : : : ; an) = H(a1; : : : ; an). Применяя лемму 1 снача- ла к G, а затем к H, получим нужное утверждение:

G(f(a1); : : : ; f(an) = f(G(a1; : : : ; an)) =

= f(H(a1; : : : ; an)) = H(f(a1); : : : ; f(an):

Каноническая проекция p : A ! A= структуры A на е¼ факторструктуру по конгруэнции является гомоморфизмом алгебраиче- ских структур, причем Im p = A= . Поэтому из теоремы 2 вытекает следующее важное следствие.

16

Следствие 1. Если конгруэнция на алгебраической структуре A, то любое тождество G = H, которое выполняется на A, выполняется и на факторструктуре A= .

В частности, факторструктура группы по конгруэнции тоже группа (называемая факторгруппой), а факторструктура коммутативного ассоциативного кольца с 1 по конгруэнции тоже коммутативное ассоциативное кольцо с 1 (называемое факторкольцом).

x 5. Структуры топологического типа

Пусть A некоторое множество. Мы говорим, что на A задана

структура топологического типа, если выделено некоторое подмножество A множества P (An) всех подмножеств n-й декартовой степени

множества A. Приведем несколько примеров структур топологиче- ского типа, чаще всего используемых в математике.

1. Топологии. Пусть A множество, и пусть A P (A); мы говорим, что A определяет топологию на A, если выполняются свойства:

X2B

В этом случае A называется топологическим пространством, а подмножества X A, принадлежащие A открытыми множествами.

2. Фильтры. Подмножество F множества P (A) всех подмножеств множества A называется фильтром на A, если выполнены свойства:

(1)? 2= F;

(2)åñëè X; Y A, X 2 F, Y X, òî Y 2 F;

(3)åñëè X; Y 2 F, òî X \ Y 2 F.

Простейшие примеры фильтров получаются следующим образом. Пусть A некоторое множество, B некоторое его непустое под-

множество. Тогда множество FB всех подмножеств множества A, содержащих B фильтр на A; его можно назвать главным фильтром, порожденным подмножеством B. Но не всякий фильтр главный. На-

пример, множество всех тех подмножеств бесконечного множества A, дополнения которых конечны, является фильтром на A (фильтр

Фреше), но не существует непустого подмножества, содержащегося во всех множествах этого фильтра. Еще один подобный примермножество таких подмножеств U множества вещественных чи-

сел R, для каждого из которых существует число "U > 0, такое что ( "U ; "U ) U; этот фильтр на R называется фильтром окрестностей 0.

17

3. Равномерные структуры. Сначала приведем некоторые построения, связанные с декартовым квадратом множества. Пусть A неко-

торое множество; тогда множество A = f(a; a) j a 2 Ag называется диагональю множества A A. Пусть теперь U; V A A; определим подмножества U|, U V множества A A следующим образом:

U| = f(a; b) 2 A A j (b; a) 2 Ug;

U V = f(a; b) 2 A A j существует элемент c 2 A;

такой что (a; c) 2 U; (c; b) 2 V g:

Говорят, что подмножество U множества подмножеств P (A A) декартова квадрата множества A задает равномерную структуру на A, если выполняются свойства:

(1)åñëè V 2 U, òî A V ;

(2)åñëè U; V A A, U 2 U, V U, òî V 2 U;

(3)åñëè U; V 2 U, òî U \ V 2 U;

(4)åñëè V 2 U, òî V | 2 U;

(5)если V 2 U, то существует U 2 U, такое что U U V .

Множества, принадлежащие U, называются окружениями соответствующей равномерной структуры; если V окружение, и a; b 2 A, (a; b) 2 V , то мы говорим, что элементы a и b множества A близки порядка V .

Укажем типичный пример равномерной структуры. Для " > 0 обо-

значим через V" подмножество декартова квадрата множества вещественных чисел R, состоящее из всех таких пар ( ; ) 2 R R, что

j j < ". Множество

U = fX R R j существует " > 0, для которого V" Xg

задает равномерную структуру на R.

x 6. Частично упорядоченные множества

1. Определение и примеры частично упорядоченных мно-

жеств. Выше мы уже сталкивались с одним классом бинарных отношений на множестве отношениями эквивалентности. Теперь займемся бинарными отношениями другого типа отношениями ча- стичного порядка.

Отношение R на множестве M называется отношением частичного порядка, если выполняются следующие свойства:

(1)рефлексивность: xRx для всякого x 2 M;

(2)антисимметричность: если x; y 2 M и xRy, yRx, то x = y;

(3)транзитивность: если x; y; z 2 M и xRy, yRz, то xRz.

Часто отношение частичного порядка на множестве обозначается не латинской буквой, а символом ; таким образом, вместо xRy пишем:

x y. В этом случае y x означает, что x y, а соотношения x < y, y > x означают, что x y, но x 6= y. Иногда для отношения частич- ного порядка используются и другие символы, например , E и т.д.;

18

тогда использование символов , /, , D аналогично использованию символов <, . Если на множестве M определено отношение частич- ного порядка R, то мы часто говорим, что пара (M; R) частично

упорядоченное множество; если ясно, о каком отношении порядка на M идет речь, указание на него в обозначениях опускается, и мы

говорим, что само множество M является частично упорядоченным

множеством.

Два частично упорядоченных множества (A; A), (B; B) называ-

ются изоморфными, если существует такое биективное отображение ' : A!B, что соотношение '(a1) B '(a2) выполняется для элемен-

òîâ a1; a2 2 A тогда и только тогда, когда a1 A a2.

Пусть (M; ) частично упорядоченное множество, и пусть N некоторое подмножество множества M; тогда ограничение частичного порядка на подмножество N, очевидно, является отношением частичного порядка на N; мы будем говорить, что этот порядок индуцирован частичным порядком множества M, или что структура частично упорядоченного множества на N индуцирована структурой частично упорядоченного множества M.

Примерами частично упорядоченных множеств являются множества целых, рациональных и вещественных чисел относительно обыч- ного порядка. Частично упорядоченными являются и любые их подмножества; в частности, для любого n отрезок [1; n] = f1; 2; : : : ; ng

множества натуральных чисел дает пример конечного частично упорядоченного множества.

Приведем еще несколько примеров. Для двух натуральных чисел a; b 2 N полагаем a b, если b делится на a; тогда является от-

ношением частичного порядка на Z. Множество подмножеств P (M) данного множества M упорядочено отношением включения . Пусть теперь M множество всех когда либо живших на Земле людей; если x; y 2 M, то считаем, что x / y, если x предок y, и полагаем x E y, если x = y или x / y. Множество M превращается в частично упорядоченное множество с отношением частичного порядка E.

2. Наибольшие, наименьшие, максимальные и минимальные элементы. Пусть (M; ) частично упорядоченное множество; элемент a 2 M называется наибольшим элементом M, если любой элемент b 2 M меньше a или равен a, то есть если b a для всех b 2 M. Элемент a 2 M называется максимальным элементом множества M, если ни для какого элемента b 2 M не выполняется неравенство a < b. Аналогично, элемент a 2 M называется наименьшим элементом M, если a b для любого элемента b 2 M. Элемент a 2 M называется минимальным элементом множества M, если ни для какого элемента b 2 M не выполняется неравенство b < a.

Наибольший элемент всегда является максимальным, а наименьший минимальным, но не наоборот. Например, рассмотрим ча- стично упорядоченное множество из четырех элементов a1, a2, b1, b2,

19

в котором a1 < b1, a2 < b1, a1 < b2, a2 < b2, а остальные пары различ- ных элементов не сравнимы друг с другом. В этом множестве два минимальных элемента a1, a2 и два максимальных элемента b1, b2,

но нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов. Наибольший элемент, если он существует, единствен и является единственным максимальным элементом множества. Однако, даже если в множестве есть лишь один максимальный элемент, это еще не значит, что есть наибольший элемент. В качестве примера возьмем объединение множества рациональных чисел Q и одноэлементного множества fag, в

котором частичный порядок определен следующим образом: на Q порядок совпадает с обычным порядком, а элемент a не сравним ни с одним элементом из Q. В этом частично упорядоченном множестве a единственный максимальный и единственный минимальный эле-

мент, но ни наибольшего, ни наименьшего элементов в этом множестве нет.

3. Линейно упорядоченные и вполне упорядоченные множества. Частично упорядоченное множество (M; ) называется линейно упорядоченным, если для любых двух элементов a; b 2 M выполняется одно из трех условий: a < b; a = b; b < a. Множества

натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел линейно упорядочены относительно обычного порядка. Частично упорядоченное множество M называется вполне упорядоченным, если каждое

его непустое подмножество имеет наименьший элемент. Примерами вполне упорядоченных множеств являются множество натуральных чисел N и его начальные отрезки [1; n], а также пустое множество.

Каждое вполне упорядоченное множество линейно упорядочено. Действительно, пусть a; b два элемента из вполне упорядоченного

множества; тогда либо эти элементы совпадают, то есть a = b, либо двухэлементное подмножество fa; bg этого множества имеет наименьший элемент. Если этим наименьшим элементом является a, то a < b, а если наименьший элемент b, то b < a.

4. Произведение частично упорядоченных множеств. Пусть

(A; A), (B; B) частично упорядоченные множества. Их произведением называется декартово произведение A B, на котором следу-

ющим образом определено бинарное отношение . Пусть (a; b), (c; d)две упорядоченные пары из A B (так что a; c 2 A, b; d 2 B); мы считаем, что (a; b) (c; d), если a <A c èëè a = c, íî b B d.

Предложение 1. Произведение двух частично упорядоченных множеств A, B с введенным бинарным отношением является ча-

стично упорядоченным множеством. Если множества A, B ли-

нейно упорядочены, то и их произведение линейно упорядочено. Если множества A, B вполне упорядочены, то и их произведение вполне

упорядочено.

20