Тема 2.4.Геометрические характеристики плоских сечений(4.4. – авто)

(эзс – 2 час, арх – 1 час, авто – 1)

Моменты инерции сечений

1. Статический момент инерции - алгебраическая сумма произведений элементарных площадей на координаты их центров тяжести – мм³ , см³ , м³

(сумма d S ∙ х или d S ∙ у)

а) в интегральной форме

S_х = ∫ уdS - статический момент инерции относительно оси х

S_у = ∫ хdS- статический момент инерции относительно оси у

б) по формулам статики S_х = Sy_с S_у = Sх_с

S – площадь сечения

y_с и х_с – координаты центра тяжести сечения

в) если ось х проходит через центр тяжести сечения → y_с = 0→ S_х = Sy_с = S∙0 = 0

г) статические моменты сечения относительно центральных осей равны нулю (центральные оси – проходят через центр тяжести сечения – так как y_с = 0 и х_с = 0)

2. Полярный момент инерции - сумма произведений площадей элементарных площадок поперечного сечения на квадраты их расстояний от центра (для круглого сечения – мм⁴ , см⁴ , м⁴)

J_р = ∫p²dS

S

р – расстояние от центра до центра тяжести элементарной площадки.

3. Осевые моменты инерции относительно координатных осей х и у.

а) представим, что сечение разделено на множество элементарных площадок dS

б) координаты элементарной площадки х и у.

в) тогда интегралы

J_х = ∫у²dS и J_у = ∫х²dS

S S

называются моментами инерции сечения относительно осей х или у

4. Центробежные моменты инерции относительно координатных осей х и у.

J_ху = ∫хуdS

S

5. Связь между осевыми моментами инерции относительно парал­лельных осей

а) введём две системы координат О₁х₁у₁ и О₂х₂у₂ – оси которых попарно параллельны и находятся на расстоянии а и b

б) система О₂х₂у₂ – связана с телом

в) х₂ = х₁ – а у₂ = у₁ – b

г) определение статического момента сечения относительно оси х₂

S_х2 = ∫( у₁ – b)dS = ∫у₁dS - ∫bdS

_{S S S}

S_х2 = S_х1 - bS

д) определение статического момента сечения относительно оси у₂

S_у2 = ∫( х₁ – а)dS = ∫х₁dS - ∫аdS

_{S S S}

S_у2 = S_у1 - аS

Вывод:при параллельном переносе осей статический момент меняется на величину, равную произведению площадиSна расстояние между ними (осями)

6. Всегда можно ( единственный вариант) подобрать оси так, чтобы

А) S_х1 – bS = 0- (центр тяжести лежит на оси х₁→ у₁= 0,b= 0→ S_х1= ∫у₁dS = 0→ bS = 0

s

Б). S_у1 - аS= 0

(центр тяжести лежит на оси у₁→ х₁= 0, а = 0→ S_у1= ∫х₁dS = 0→ аS = 0

7. Вывод:

А) центральная ось - ось, относительно которой статический момент равен нулю.

Б) центр тяжести сечения – точка пересечения центральных осей

В) статический момент относительно всякой оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю.

8. Расстояние до центральных осей от произвольно взятых определяется зависимостями

Из S_х = Sy_с S_у = Sх_с → Ус = S_х1\S Xс = S_у1\S

10. Понятие о главных центральных моментах инерции

А) главные оси – оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, а центробежный момент равен нулю.

Б) практическое значение имеют не любые главные оси, а только главные центральные оси (через центр тяжести)

В) сечение с двумя осями симметрии (например, прямоугольник) имеет две главные центральные оси симметрии (центральные → проходят через центр тяжести, главные →

- по одну сторону от оси площадка dS(dA) с элементарным моментом инерции + хуdA(так же, как у треугольника)

- по другую сторону от -хуdA

- при суммировании их по всему сечению Jху = 0

- осевые моменты сечения экстремальные: относительно оси у - произведение площади на координату х)

Г) у квадрата две пары две пары центральных главных осей

Д) у правильного шестиугольника три пары центральных главных осей

Е) у круга – бесчисленное множествопар

Ж) главные центральные моменты инерции– моменты инерции сечения относительно главных центральных осей.

З) главные плоскости– плоскости, проведённые через ось бруса и главные оси инерции его поперечного сечения.

Самостоятельная работа обучающихся (эзс – 2 час, арх – 4 час, авто – 2)

1. Заполнить таблицу основных геометрических характеристик для наиболее

распространенных форм сечений и вложить их в «Приложения».

2. Решить задачи по определению центра тяжести и геометрических характеристик сложных фигур

1. Решение задач на определение главных центральных момен­тов инерции составных сечений, имеющих ось симметрии - авто