Тема 2.5. Поперечный изгиб прямого бруса(4.5. – авто)

(эзс – 6 час, арх – 4 час, авто – 6)

Основные понятия и определения

1. Изгиб – вид нагружения, при котором в поперечных сечения бруса возникают изгибающие моменты, прямолинейная ось бруса искривляется;

2. Классификация видов изгиба

А) продольный (колонны) и поперечный: прямой и косой

Б) простой (прямой, чистый) или сложный

3. Наиболее распространённая конструкция, работающая на изгиб – балка (брус, работающий на изгиб)

4. Если изгибающий момент является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальные силы отсутствуют, то такой изгиб называется чистым;

5. Простейший случай изгиба балки - плоский поперечный изгиб;

6. Изгиб называется плоским, если поперечное сечение балки симметрично относительно вертикальной оси и действующие нагрузки расположены в плоскости сечения;

7. Если при этом все нагрузки вертикальные, то изгиб называется плоским поперечным;

Напряжённо-деформированное состояние балки при прямом поперечном изгибе

Внешние нагрузки.

1. В простейшем случае прямого изгиба балки внешние нагрузки действуют в одной (вертикальной) плоскости перпендикулярно оси балки.

2. На балку могут действовать силы:

А) сосредоточенные

Б) распределённые по длине (встречаются в строительстве чаще)

В) изгибающие моменты

Анализ внутренних силовых факторов начинается с определения полной системывнешних сил.

3. Рассмотрим горизонтальную балку прямоугольного сечения на двух опорах и загруженную равномерно распределённой вертикальной нагрузкой q.

4. Поперечное сечение балки имеет высоту h

5. Если балка опирается на опоры свободно, то одна опора считается шарнирно-неподвижной, другая – шарнирно-подвижной. Такая балка называется простой.

Деформации

1. Если до загружения балка представляла собой прямолинейный стержень, то под нагрузкой стержень искривился и появился изгиб:

А) со стороны нагрузки стержень стал вогнутым (сжат);

Б) с противоположной стороны – выпуклым (растянут)

2. Деформации (неравномерное распределение)

А) при изгибе продольные волокна деформируются по-разному: одни удлиняются в нижней части балки, другие укорачиваются – в верхней части балки;

Б) эти удлинения и укорочения различны в зависимости от расположения волокон по отношению к середине сечения: чем ближе к краю, тем больше деформация.

В) нейтральная ось (слой) при искривлении свою длину не меняет. Нейтральная ось– разделяет участки сжатия и растяжения, меняет своё положение при увеличении нагрузки

3. Прогиб – перемещения точек балки вниз вследствие искривления оси. Наибольший прогиб – в середине балки

f_max= 5\384∙ ql⁴\EJ

Внутренние усилия

1. В любом сечении по длине балки возникают:

А) изгибающие моменты М_хи

Б) поперечные силы Q_x

2. Величина М_хиQ_x зависит от:

А) расчётной схемы балки;

Б) характера нагрузки

3. Эпюры М_хиQ_xдля простой балки от равномерно распределённой нагрузки

4. Наибольшее значение М_хопределяют по формуле

М_х^max=ql²\8

5. Наибольшее значение Q_хопределяют по формуле

Q_х^max=ql\2

Напряжения

Нормальные напряжения

1. В соответствии с неравномерным распределением деформаций: напряжения по высоте сечения не одинаковы.

2. Наибольшее напряжение соответствует наибольшим деформациям (закон Гука)

3. Краевые части поперечного сечения, наиболее удалённые от середины по высоте сечения, находятся в напряжённом состоянии.

4. Следовательно, при определении напряжений при изгибе не обходимо учитывать не только количество материалов (S_{сечения}), но и егораспределение по высоте сечения.

5. Наиболее выгодными при изгибе оказываются сечения, в которых основная масса материала расположена по краям элемента.

6. Распределение напряжений

А) в крайних верхних волокнах возникают наибольшие сжимающие напряжения σ_х^сж. Условно принимают отрицательными →σ_х^min(верхние волокна укорачиваются)

Б) в крайних нижних - наибольшие растягивающие напряжения σ_х^раст. Условно принимают положительными →σ_х^max (нижние волокна удлиняются)

В) на уровне нейтрального слоя (оси) σ_х= 0

7. Удлинения и укорочения зависят от расстояния до нейтрального слоя (оси)

8. Также от этого расстояния зависят и нормальные напряжения, т.е. они изменяются по линейному закону. График изменения нормальных напряжений σ_х(эпюра нормальных напряжений) - в

σ_х^max =σ_х^min=M_x:bh²\6 → σ_х^max =σ_х^min=M_x\W_x

Момент сопротивления W_X =bh²\6 – геометрический показатель сопротивления прямоугольного сеченияизгибу(табличная величина)

(по аналогии аb- геометрический показатель сопротивления прямоугольного сечениярастяжению\сжатию)

9. Из формулы – если размеры балки bиhодинаковы по длине балки, то нормальные напряжения

σ_хнапрямую зависят от изгибающего моментаM_x– чем больше изгибающий момент, тем больше нормальное напряжение.

10. В середине балки изгибающий момент достигает максимального значения и → напряжения (maxиmin) будут наибольшими для всей балки.

Касательные напряжения

1. Определяются по формуле Журавского

τ_у = Q_xS_x\J_xb

Q_x– поперечная сила в рассматриваемом сечении

S_x– статический момент сечения (по формулам или из таблиц)

J_x – момент инерции сечения

b – ширина сечения балки

Прим. Для описания явления изгиба используют такие характеристики, которые учитывают распределение материала по высоте сечения (эти характеристики называются геометрическими)

2. Из формулы – касательные напряжения зависят от поперечной силы Q_x

А) там, где она достигает максимального значения (здесь: на опорах) наибольшими будут и касательные напряжения.

Б) где Q_x= 0 (здесь: в середине балки) → τ_у =0

3. Касательные напряжения τ_у изменяются не по линейному закону (какσ_х), а по закону параболы

(τ зависит не только от Q_x, но и отS_x – зависит от положения точки по высоте сечения)

4. График изменения напряжений по высоте сечения называется эпюрой (г - эпюра Q)

5. Для наглядности изменение касательных и нормальных напряжений показано в аксонометрии

Примечания.

1. Нормальные напряжения направлены горизонтально (вдоль оси х) → индекс х

2. Касательные напряжения направлены вертикально (вдоль оси у) → индекс у

3. В обозначениях момента инерции J, момента сопротивленияW, статического моментаS- нижний индекс (J_хW_хS_хили у) – указывает на ось, относительно которой характеристики вычисляются.

Основные расчётные предпосылки при изгибе

1. Перпендикулярное оси недеформированного бруса плоское сечение остаётся и после изгиба плоским и нормальным к изогнутой оси бруса (гипотеза плоских сечений)

2. Продольные волокна при его деформации не надавливают друг на друга

Расчёт балок на прочность

1. По нормальным напряжениям

σ_изг^min,minR_изг

R_изг– расчётное сопротивление материала при работе на изгиб (табличная величина)

Т.к.

σ_изг= М_х\W_x → М_х\W_xR_изг

2. Задачи трёх типов при расчётах на прочность при изгибе (как при растяжении и сжатии)

А) определение несущей способности балки

Б) проверка несущей способности балки

В) подбор сечения балки (встречается чаще)

2. По касательным напряжениям

τ_maxR_сдв

R_сдв – расчётное сопротивление материала при работе на сдвиг (табличная величина. Для стали вместоR_сдв →R_ср)

Q_xS_x\J_xbR_{сдв (срез)}

Расчёт балок на жёсткость

(по деформациям)

1. Балки могут быть прочными и устойчивыми, но иметь чрезмерные (больше нормативных) прогибы

f_max f_пред

f_max – наибольший расчётный прогиб конструкции

f_пред –предельный прогиб по СНиП

2. Для междуэтажного перекрытия f_пред = 1\200l, балок чердачного перекрытияf_пред = 1\150l

где l– длина пролёта балки

Интеграл Мора и правило Верещагина

1. Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление.

2. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр (метод перемножения эпюр).

Общий порядок расчёта балки

для задач типа III

1. Построение эпюр М_х иQ_х

2. Подбор сечения балки (размеров)

А) определение требуемого момента сопротивления балки

W_x^треб М_max\R_изг

Б) по значению W_xподбирают номер балки (и её размер)

3. Проверка прочности подобранной балки по нормальнымнапряжениям

М_max\W_xR_изг

W_x– момент сопротивления выбранного сечения

4. Построение эпюры нормальныхнапряжений

5. Проверка прочности подобранной балки по касательнымнапряжениям по формуле Журавского

τ_у = Q_xS_x\J_xb

Q_x– поперечная сила в рассматриваемом сечении

S_x– статический момент сечения (по формулам или из таблиц)

J_x – момент инерции сечения

b – ширина сечения балки

6. Построение эпюры касательныхнапряжений

7. Проверка жёсткости балки

Понятие о рациональных формах простых балок

1. Рациональные конструкции – наиболее экономичные.

2. Наиболее обобщённый показатель экономичности – собственный вес балки – чем меньше вес, тем она рациональнее (экономичнее)

3. Вес балки напрямую связан с размерами – чем меньше размеры балки и её сечения, тем она экономичнее (при соблюдении прочности)

Самостоятельная работа обучающихся (эзс – 6 час, арх – 6 час, авто – 5)

1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по длине балки по вариантам

2. Рассчитать балки на прочность по нормальным, касательным и эквивалентным напряжениям по вариантам

3. Составить краткий алгоритм решения задач на определение линейных и угловых перемещений при поперечном изгибе статически определимых балок

1. Расчётно­-графическая работа на построение эпюр попереч­ных сил, изгибающих моментов и расчёт на прочность при изгибе - авто