Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Елабужский институт Казанского (Приволжского) федерального университета (бывш. ЕГПУ)

Предмет:

Математика

Файл:

Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

706.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

x2 -1	=	А	+	Bx + C	.
x(x2 + x +1)		x		x2 + x +1

Имеем сумму дробей первого и третьего типа с неизвестными коэффициентами А,B,C.

Умножим это разложение на общий знаменатель, получим равенство

М.Ч.З.: x = 0; −1 = A, A = −1.	-1 = A(x2 + x +1) + (Bx + C)x .	АГНИ
x2	-1 = A(x2 + x +1) + (Bx + C)x .

Неизвестные коэффициенты разложения можно найти двумя способами: методом частных значений и методом неопределенных коэффициентов. Применим оба метода.

A + B = 1

ка

М.Н.К.: x

A + C =

0 .

A = -1

Таким образом, сравнив коэффициенты

ипри соответствующих степенях

переменной x, получим В=2,С=1.

Итак,

-1

2x +1

d(x

2 + x +1)

+ x +1) .

(

)dx = -ln

= -ln

+ ln(x

ò x3

+ x2 + x

x2 + x +1

ò x

+ x +1

x2 -1

dx = ln

+ x +1

+ C.

x3 + x2 + x

ая

III.Вычислить определе ные интегралы.

xdx

нн

а) ò

ро

2x +

t =

2x + 7,

x =

t 2 - 7

xdx

×tdt

= ò

ò(t

Решение.

dx = tdt,

- 7)dt = (

3 =

2x + 7

если

x = 1,то

t = 3,

если

x = 9, то

t = 5

π	dx
б) ò2		dx .
	3 + 2cos x
0

Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку.

t = tg

АГНИ

x = 2arctgt,

dx =

2dt

dx =

1- t

= ò

= 2ò

+ 2cos x

0 3

cos x =

3 + 2 ×

1- t

0 3

+ 3t

+ 2 - 2t

0 t

1+ t

если

x = 0,то

t = 0,

ка

если

x = π

, то

t = 1

arctg

1 =

(arctg

- 0) =

arctg

IV.

2x2

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y =

и y = 4 -

Решение. Построим линии в одной системе координат.

ая

y =

-квадратичная пар бола с осью ОУ,

ветви которой направлены вверх,

нн

вершина в точке (0,0).

2x2

ро

y = 4 -

- квадратичная парабола с осью ОУ, ветви которой направлены вниз,

вершина в очке (0,4).

Найдем точ и пересечения линий:

2x2

4 -

= 4,

x = ±2

При − 2 ≤ x ≤ 2выполнено неравенство 4 -

2x2

С учетом симметрии фигуры относительно оси ОУ, вычислим половину площади с помощью определенного интеграла, а затем найденное значение умножим на 2.

02 = (8 -

S = ò(4 -

x2 -

)dx = ò(4 - x2 )dx = (4x -

)

) - (0 - 0) =

Таким образом, искомая площадь равна

АГНИ

б) Найти длину дуги развертки окружности

ìx = a(cost + t sin t),

при 0 ≤ t

≤ π .

îy = a(sin t - t cost)

ка

Решение. Длину дуги определим по формуле

l = ò

(x¢)2 + (y¢)2 dt .

x′ = a(−sin t + sinоt + t cos t) = at cos t,

Определим частные производные:

y′ = a(cos t −иcos t + t sin t) = at sin t.

¢ 2

aπ

l = ò

(x )

(y )

= ò a

cos

t + a

sin

tdt

dt = òatdt = a ×

+∞

V. Исследовать на сходимость несобственный интеграл ò

(1+ x)

Решение. Дан несобствеаяный интеграл первого рода (на неограниченном

промежутке). Выпол им замену переменной.

нн

x = t 2 ,

+∞

dxро= 2tdt,

+∞

2tdt

+∞

2dt

+∞

2dt

т=

x = 1,то

t = 1,

= lim

(1+ x) x

если

+ t

b→+∞ ò

x = +¥,то t = +¥

если

= 2 ×

= π

lim 2arctgt

0 = lim (2arctgb - 2arctg0)

b→+∞

b→=∞

Интеграл сходится по определению.

Контрольные задания Тема 7: Дифференциальные уравнения

Вариант 1

(xy + x3 y) y¢ = 1 + y2 .

АГНИ

y - xy¢ = x

cos

xy¢ - 2y = -x2 , y(1) = 0 .

ка

2yy

= (y/

)2 ,

y(0) = y/ (0) = 1

4. xy //

- y /

= x2ex

y//

+ 5y /

= 39 cos 3x -105sin 3x

æ π ö

/ æ π

y + 4 y =

, yç

÷ = 2, y

ç ÷ = π

sin 2x

è 4

ая

Вариант 2

- 3x

2 )dy + 2xydx = 0 .

1. y¢

/ 7 y−x

= 10 .

нн

ро

(x +

1)y

+ y = x

+ x

, y(0) = 0 .

4. y //

y / × tgx =

cos x

y / (0) = 0

4( y//

)2 = 1+ ( y/ )2 ,

y(0) = 1,

6.лy - 6y

+13y = 34 × e

−3x

× sin 2x

−2x

, y(0)= 0, y / (0)= 0

+ 6y/ + 8y =

2 + e2x

Вариант 3

1.y - xy¢ = 2(x + x2 y¢) .

2.(x + 2y)dx + (x + y)dy = 0.

3.y¢(sin 2 y + xctgy) = 1, y(0) = π2 .

4.y// - 2y / ctg x = sin3 x

2( y/ )2

= (y -1) × y // ,

y(0) = 2,

y / (0) = 2

y// - 6y/ +10y = 51× e−4x

y //

- 6 y / + 8y =

y(0) = 1 + 3 × ln 3, y / (0) = 10 × ln 3

ека

2 + e−2 x

Вариант 4

1. y - xy¢ = 1+ x2 y¢ .

(x − y)dx + (x + y)dy = 0 .

(x + y2 )dy = ydx, y(0) = 1.

бл

4. 2xy / × y // = (y / )2 +1

y// (1 + y) = 5( y/ )2 ,

y(0) = 0,

y/ (0) = 1

y// - 2 y/ = 6 +12x - 24x2

ая

y // + 9 y =

, y(0) = 1, y / (0) = 0

(x + 4)dy − xydx = 0 .

нн

cos 3x

ро

Вариант 5

= 0 .

2 dy

(-2xy + y2 )dx + x

= 3x

− x

, y(1) = 0.

+ (x

+1) y

= y

4. y

×tgx

+ (y

= y

y(0) = 0, y

(0) = 1

)

y// + y = 74e3x × x

+ 4 y = 4ctg 2x,

æ π

= 3,

æ π

yç

÷ = 2 .

è 4

АГНИ

Вариант 6

1.y¢ + 2y + y2 = 0 .

2.y2 + x2 y¢ = xyy¢.

3.(2e y - x)y¢ = 1, y(0) = 0.

4. xy

= y

æ y/ ö

lnç

x ø

y //

y(0) = 1,

y / (0) = 0

y //

+ 6y/ + 9y = (48x + 8)ex

y// - 6y

/ + 8y =

4e2x

, y(0) = 0,

+ e−2x

1.y2 ln xdx - ( y -1)xdy = 0.

2.xy¢ - y = xtg xy .

3.(xy′ −1)ln x = 2y, y(e) = 0.

4.x2 × y // + xy/ = 1

y //

-1

, y(0) = 1

, y / (0)ая= 2

нн−2x

2 y

y - 3y + 2 yро=

, y(0) = 1 +

+ 5y =

24sin x × e

2 + e− x

x + x)dy + ydx - y

dx = 0 .

2.xy¢ = y - xe x .

3.y = x( y¢ - x cos x), y(π2 ) = 0.

							ка	АГНИ
							ка
y / (0) = 0				о		е
y / (0) = 0
Вариант 7
Вариант 7			и		т
			и
		л
	б
и
б

3 × ln 3, y / (0) = 5 × ln 3

Вариант 8

y//

= y /

+ x

2yy//

- (y / )2 +1 = 0,

y(0) = 2,

y/ (0) = 1

y// -12y/ + 40y = 2e6x

y //

+ 16 y =

y(0) = 3, y / (0) = 0

cos 4x

Вариант 9

1. y¢ + 4y - y2 = 0 .

′ − y = (x + y) ln

x + y

ка

= y/ .

0 .

x( y¢

- y) = ex , y(1) =

( y

= y

y(0) =

(0) =

)

3 ,

y// + 9y = 9x2 +12x - 27

−2x

y // - 2y/ =

, y(0) = ln 4, y/ (0) = ln 4 - 2 .

−2x

1+ e

ая

нн

Вариант 10

(x2

+ x) ydx + (y2

+1)dy

= 0 .

ро

′ = y cos(ln(

)) .

(1− 2xy)y′

= y(y −1), y(0) = 1.

= 0

2x(y )

т/ 2

1- y × (y

)

= 0,

y(0) = 0,

(0) = 1

//е2

Э6. y// -

6y/ +10y = 51e− x

y//

- y/ =

e− x

y(0) = ln 27,

y/ (0) = ln9 -1

+ e−x

АГНИ

Вариант 11

1.(xy3 + x)dx + (x2 y2 - y2 )dy = 0 .

2.(y + xy)dx = xdy.

y¢

, y(0) = 1.

3x - y 2

4. 2xy/ y// = (y/ )2 -1

(y/ )2 + 2yy//

= 0,

y(0) = 1,

y/ (0) = 1

y//

+ 36y = 36 + 66x - 36x3

ка

y // - 3y / + 2 y =

, y(0) = 1 + 2 × ln 2, y / (0) = 3 × ln 2 .

1 + e−x

Вариант 12

(1+ y2 )dx - ( y + yx2 )dy =

0 .

xy¢ = x2 - y2 + y .

(2x + y)dy = ydx + 4ln ydy, y(0) = 1.

y // -

y /

= x(x -1)

ая

x -1

нн

y// (2 y + 3) -

2(y/ )2

/ (0) = 3

y(0) = 0,

y// - 2y/ = (4x + 4)e

ро

π ö

/ æ π

3π

+ 9y

, yç ÷

4, y

ç ÷

è 6 ø

sin 3x

Вариант 13

1. y′ =е2xy + x .

y = x( y

- e

) .

yx¢ + x = 4y3 + 3y2 , y(2) = 1.

y // × x ln x = y/ .

АГНИ

y // × tgy = 2( y / )2 ,

y(1) = π ,

y / (1) = 2 .

y // + 6y/

+13y = -75sin 2x .

y // + 4 y =

, y(0) = 2, y / (0) = 0 .

cos 2x

Вариант 14

1. y - xy

5(1+ x

y ) .

¢ =

3y − x

ка

x2 y¢ + xy +1 = 0, y(1) = 0.

y // + 4y / = 2x2

1+ (y / )2

= yy // ,

y(0) = 1,

y/ (0) =

y// - 2y/ + y = 4x3 + 24x2 +

22x -

+ y

4ctgx,

æ π

/ æ π ö

= 4 .

yç

÷ = 4,

è 2 ø

ая

Вариант 15

1. 2xyy¢ = 4 - x2 .

нн

y′x + x + y = 0.

ро

cos ydx = (x +

2cos y)sin ydy, y(0) = π .

× y

= 1 .

+ x

)

= 0,

y(0) = 1,

(0) = 1 .

yyе+ (y

y// + y = -4 cos x - 2sin x .

+ y

2ctgx,

æ π

/ æ π

= 2

yç

÷ = 1,

è 2

Вариант 16

АГНИ

1.(x3 −1)dy − xydx = 0 .

2.ydx+ (2xy − x)dy = 0.

3.xy¢ + y + xe− x2 = 0, y(1) = 21e .

4.xy// = y/ + x2 .

y//

= 2 − y,

y(0) = 2,

(0) = 2

y// − 8y / +12y = 36x2 − x + 2

π ö

= 2π .

+16 y =

, yç

= 3, y

ç ÷

ка

sin 4x

è 8 ø

8 ø

Вариант 17

(y2 x + y2 )dy + xdx = 0 .

xdy − ydx =

+ y2 dx.

y′ − y = ex , y(0) = 1.

иб

xy // + y/

= ln x

yy// − 2( y/ )2

= 0,

y(0) = 1,

y / (0) = 2

= 72уe

ая

y//

+ 5y/

нн

y - 3y + 2 y =

, y

(0) = 1

+ 8 × ln 2, y (0) = 14 × ln 2

3 + e− x

(1+ x

) y dx −ро( y −1)x dy = 0 .

Вариант 18

3xy + 4x )dx + (4y + 3xy + x )dy = 0.

y′ = 2x(x2 + y), y(0) = 0 .

Э4. xy// − y/ = 2x2ex

5. 1+ (y / )2

= yy/ ,

y(0) = 1,

y/ (0) = 0

y// + y/ − 6y = (6x +1)e3x

АГНИ

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
17.03.2016706.1 Кб30Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie.pdf
#
14.05.201516.92 Кб2Класс 2 Предмет Матем Дата.docx
#
14.05.201539.42 Кб3математика.doc