Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie

21.

а) x2

+ y2

+ 2x − 3 = 0

,б)

x2

+

y2

= 1,в)

x2

−

y2

= 1,г) y2 = 8y + 4x .

36

4

16

16

22.

а) x2

− 8x + y2

+ 6y = 0 ,б)

x2

+

y2

= 1,в)

x2

−

y2

= 1,г)

x2 + 6x + 5 = 2y .

49

9

4

16

23.

а) x2

+10x + y2

− 6y = 2 ,б)

x2

+

y2

= 1,в)

x2

−

y2

= 1,г)

x2 + 4x + 2y + 4 = 0 .

64

9

1

9

АГНИ

25.

а) x2

+ y2

− 4y = 0 ,б)

x2

+

y2

= 1,в)

x2

−

y2

= 1,г)

y =

4x2 −16 .

1/ 4

4

81

16

26.

а) x2

+ 4x + y2

= 12 ,б)

x2

+

y2

= 1,в)

x2

−

y2

= 1,г)

y2 = 4y − x .

49

25

4

64

ка

27.

а) x2

= 12 ,б)

x2

y2

= 1,в)

y2

x2

= 1,г)

.

+ 4x + y2

+

−

y = −5 +

− 3x

− 21

25

81

49

4

е

2

2

(x −1)2

y2

(y −1)

2

x2

28.

а)(x + 2)

= 1,б)

= 1,в)

о

= 1,г)

y = −4 + 3 y + 5 .

+ y

25

+

4

49

−

т64

(x − 2)2

л

( y −1)

2

2

y2

x2

2

2

29.

а) x

+ (y + 4)

= 1 ,б)

+

= 1,в)

и−

=

1,г) y =

4x

− 8x + 7 .

25

4

49

1

2

2

и

2

2

2

2

x

(y

+ 2)

бx

y

x = 2 −

6 − 2y .

30.

а) x

+ y

= 25 ,б) 25 +

б

,в)

12

− 3

= 1,г)

4

= 1

ая

Образец выполнения контрольных заданий по теме 2

1.

Тетраэдр задан координатами своих вершин

А (1,2,3), В(-1,3,5),С(4,2,-4),Д(-1,6,0).

Найти:

ро

а) модуль вектннра АВ ;

т

к

б) угол между векторами АВ и СД ;

е

в) площадь треугольника АВС;

л

Э

г) объем тетраэдра ДАВС;

r

Модуль вектора определим по формуле:

= а1

2 + а2

2 + а3

2 .

а

АГНИ

Имеем

АВ

= (−2)2 +12 + 22 = 3.

r

×b

сosϕ =

a

б) Угол между

векторами определим

по формуле

r

r

, т.е с

помощью скалярного произведения векторов.

ка

a

×

b

АВ = {- 2,1,2}. .

е

CD = {- 5,4,4}

о

сosϕ =

(-2)(

-5) +1× 4 + 2 × 4

=

22

.

и

т

3× (-5)2 +

42 + 42

3 57

л

б

в) Площадь основания тетраэдра определим как половину длины

векторного произведения векторов с началом в точке А, т.е по формуле

б

S(ABCи) =

1

AB ´ AC

.

ая

2

= {3,0,−7}.

АВ = {− 2,1,2}, АС

нн

3 0

- 7

= {- 7,-8,-3}.

ро

АВ ´ АС = - 2 1

2

S(ABC ) =

1

=

1

.

(-7)2 + (-8)2

+ (-3)2

122

т

к

2

2

л

1

Э

ег) Объем тетраэдра вычислим по формуле V (ABCD)

=

ДА ×ДВ ×ДС

.

6

Смешанное произведение векторов:

ДА × ДВ × ДС =

2

- 4

3

= 9 .

0

- 3

5

5

- 4

- 4

В

пунте

в.

определено

векторное

произведение АВ× АС = {−7,−8,−3},

поэтому за нормаль берем вектор N = {7,8,3}.

АГНИ

Уравнение плоскости с нормальным вектором

N = {А, В,С}, проходящей

через точку ( x0 , y0 , z0 ) имеет вид:

A(x − x0 + +B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 .

ка

В качестве точки (x0 , y0 , z0 )

можно взять любую из трех известных точек

е

грани АВС, для определенности возьмем точку А(1,2,3).

о

7(x −1) + +8( y − 2) + 3(z − 3) = 0,

7x + 8y + 3z - 32 = 0

т

и

л1

Итак, получили искомое уравнение п оскости АВС.

б

и

е) Так как объем пирамиды есть V = 3 Sосн × H , то искомая высота

б H =

3V

.

Sосн

В пунктах в,г найдены площадь основания пирамиды - треугольника

нн

АВС, и объем пирамидыая. Тогда

ро

H =

3

×1,5

=

9

.

т

122