Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Елабужский институт Казанского (Приволжского) федерального университета (бывш. ЕГПУ)

Предмет:

Математика

Файл:

Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

706.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

9. ò

+ 6x2 + 8x + 8

dx .

19. ò

2x3 + 4x2 + 2x + 2

dx .

(x + 2)

+ 4)

+ x +

2)(x

+ x +1)

10. ò

x3 + 5x2 +12x + 4

dx .

20. ò

2x3 + 7x2 + 7x + 9

dx .

(x + 2)

+ 4)

+ x +

2)(x

+ x +

21. ò

4x2 + 3x + 4

dx .

26. ò

− 6x2

+13x − 6

dx .

1)(x

+ x +1)

(x + 2)(x −

22. ò

3x3 + 4x2 + 6x

dx .

27. ò

x3 + 6x2

+14x +10

2)(x

+ 2x

(x +1)(x + 2)

23. ò

2x2 − x +1

dx .

28. ò

− 6x2

+11x −10

dx .

+1)(x

− x +1)

(x + 2)(x − 2)

ка

+ 6x2 +13x + 9

24. ò

dx .

29. ò

+ 6x2 +10x +10

dx .

(x +1)(x +

(x −1)(x +

x3 + 6x2 +13x + 8

x3 − 6x2

+13xт− 8

25. ò

dx .

30. ò

dx .

x(x +

x(x

−о2)

III.Вычислить определенный интеграл

2arctg2

x + 2

1.а) ò

dx ; б) ò

;

cosxdxая

sin x(1

− cosбx)

нн

2.а) ò

dx ;

б)

(cosx + 2)

;

4 − x

ро

2arctg2

3.а) ò

dx ;

б)

;

sin

x(1+ cos x)

x − 3

− sin x)dx

4. а)

dx ;

б)

(cosx

;

1+ x

(sin x +1)

л2 −

−

2arctg3

5. а) ò

;

б)

;

cos x(1− cos x)

3x +1

−

2arctg 2

АГНИ

6.а)

dx ;

+ x

+ 1+ x

7.а) ò

dx ;

+ x

8.а)

dx ;

25 x − 6

2arctg

б)

;

sin

x(1 − sin x)

2arctg

б)

1 (1

+ sin x − cos x)

2arctg

б)

ò2

cos xdx

;

0 5 + 4cos x

2π

(1+ sin x)dx

9.а) ò0

dx;

б) ò3

;

ка

(1+ cos x + sin x)

−8

+ 3

cos xdx

10.а) ò

;

б) ò

;

1 2 +

x −1

π 1+ sin x − cos x

11.а)

dx ;

б)

(1+ cos x)dx

;

−

(x +1)

0 1+ sin x + cos x

ая

sin xdx

12. а) ò

−

dx ;

б)

;

−8

0 1+ sin x + cos x

нн

(1+ cos x)dx

13.а)

dx ;

б) ò

;

14.а)

−4

ро; б)

cos xdx

;

(5 − x)

0 1+ sin x + cos x

3 2

1 (1− cos x)

−

2arctg

cos xdx

15.а)

;

б)

;

+ 3

ò0 1+ sin x + cos x

лò1 4

−

2arctg

x − 3dx ;

б)

cos xdx

;

16.а) ò

(1+ cos x)(1− sin x)

АГНИ

cos xdx

17.а) ò

dx ;

б)

;

− sin x + cos x)

x - 2

−π (1

cos xdx

18.а) ò

dx ;

б)

;

− sin x + cos x

2x +

−2π 1

cos xdx

19.а) ò

;

б) ò

;

(1+ sin x + cos x)

x(x -1)

2arctg

(1− sin x)dx

20.а) ò

;

б)

;

(1+ cos x)cos x

x + 5

ка

б) ò

21.а)

;

2 ;

−13

sin xdx

0 (1+ sin x)

2 5 (3 - x)

sin xdx

22.а) ò

;

б) ò

;

+ sin x + cos x)

x +

9 −

sin xdx

23.а) ò

;

б)

и2 ;

−

π (1− sin x + cos x)

2π (1ая− sin x + cosx)

−

− x

cos2 xdx

24.а) ò x × e

dx ;

нн

б)

2 ;

ро

sin2 xdx

;

б) ò

25.а) òx × log2

xdx

+ sin x + cos x)

2 ;

к2

2π

cos

xdx

еò

26.а)

;

б)

+ sin x + cos x)

;

(1+ x )

2arctg2

x2 −1

;

27.а)

;

б)

(1+ sin x)sin x

28.а) ò x2 1− x2 dx ;

б) ò

;

+ sin x + cos x)

0 (1

АГНИ

1- x2

29.а)

dx ;

б)

;

+ cos x)cos x

1+ x2

sin xdx

30.а)

dx ;

б) ò

+ 3sin x

0 5

IV а) Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями.

Сделать чертеж.

ка

АГНИ

1. 3x2 - 4y = 0, 2x - 4y +1 = 0 .

2. 3x2 + 4y =

0, 2x - 4y -1 =

0 .

3. 2x + 3y2 = 0, 2x + 2y +1 = 0 .

4. 3x2 - 4y = 0, 2x + 4y -1 = 0 .

5. 3x2 + 4y = 0, 2x + 4y +1 = 0 .

ая

6. 3x - 2y =

0, 2x - 2y +1 =

0 .

7. 2x - 3y

нн

0, 2x + 2y -1

0 .

ро

8. y = x 9 - x , y = 0, 0 £ x £ 3.

, y = 4x - 8.

9. y = (x -

Э10.

y = sin x × cos2 x, y = 0,

0 £ x £

π .

11.

0 £ x £ 2 .

y = x2

4 - x2 , y = 0,

12. y = arccosx, y = 0, x = 0.

13.y = (x +1)2 , y2 = x +1.

14.x = arccosy, x = 0, y = 0 .

15.

y = cos x ×sin2 x, y = 0,

0 £ x £ π .

16.

y = 2x - x2 + 3, y = x2 - 4x + 3.

АГНИ

17.

y =

, y = 0, x = 1.

18.

x = (y - 2)3, x = 4y - 8.

19.

x = 4 - ( y -1)2 , x = y2 - 4y + 3.

ка

20.

y = x3 - 2, x = 0, y = x +

2, x = -3 .

21.

y = x3 -1, x = 0, y = x +

3, x = -2.

22.

y = x3 +1, x = 0, y = x +

5, x = -2.

23.

y = x3 + 2, x = 0, y = x + 6, x = -2.

24.

y = x3 + 3, x = 0, y = x +

7, x = -2.

25.

y = x3 - 2, x = 0, y = x - 6, x = 2.

27.

y = x3 +1, x = 0, y = x - 3, xая= 2.

26.

y = ln x, y

= ln2

нн

28.

ро

x2 - y = 0, x = -1, y = 0.

29.

2 т

y = x(x -1)2 , y

= 0.

30.

= 0

x = y (y -1), x

б) Найти длину дуги кривой, заданной параметрически

ìx = 5(t - sin t)

ìx = 3(2cost - cos2t)

1. íïy = 5(1 - cost)

2. íïy = 3(2sint - sin 2t)

ï0 £ t £ π.

ï0 £ t £ 2π.

ìx = 7(cost + t sin t)

3.ïíy = 7(sin t - t cost)

ïî0 £ t £ 2π.

ìx = (t2 - 2)sin t + 2t cost

4.ïíy = (2 - t2 )cost + 2t sin t .

ïî0 £ t £ π.

ì	= 5cos3 t
ïx
5. íïy = 5sin3 t .
ï	π
ï
î0	£ t £ 2 .

ìx = 2(t - sin t)

7.ïíy = 2(t - cost)

ïîπ £ t £ 2π.

ïïx = 2(cost + t sin t) íy = 2(sin t - t cost)

ï π ï0 £ t £

î 3 .9.

	ì			нн
	î0 £ t £ 3 .			нн
	ïx	= 6cos3 t
11. íïy = 6sin3 t			ро
	ï	π	ро
	ï	π
		т
	ì	к
	ï
	еx = 3,5(t - sint)
	ï	= 3,5(1- cost)
13.лíy		= 3,5(1- cost)
Э	ïπ	£ t £ π.
	ï
	î 2

ая

ìx = et (cost + sin t)	АГНИ
6. íïy = et (cost - sin t)
ï0 £ t £ π.
î

ка

ïx

cost -

cos 2t

sin 2t .

íy

sin t -

2е

ïπт

2π

£ t

оî 2

ïx =

- 2)sin t + 2t cost

10. íïy = (2 - t2 )cost + 2t sin t .

î0 £ t £

3 .

= et (cost + sint)

ïx

12. íïy = et (cost - sint)

ïπ

£ t £ π.

î 2

ì
ïx = 2,5(2cost - cos2t)
14. íïy = 2,5(2sint - sin 2t)
ï		π
ï	£ t £
î0		2 .

ìx = 15(cost + t sin t)

15.ïíy = 15(sin t - t cost)

ïî0 £ t £ π.

ïx = 8cos3 t

íy = 8sin3 t

ï π ï0 £ t £ .

î 617.

ïx = 4(t - sin t)

19.ïíy = 4(1- cost)

ïïπ £ t £ 2π .

î 2 3

	ì
	ïx = 21(cost + t sin t)
21. íïy = 21(sint - t cost)
	ï			π
	ï	£ t £		π
	î0	£ t £		4 .		нн
23. íïy = 4sin3 t						нн
	ì				ро
	ïx = 4cos3 t
	ïπ			π
	ï	к
	î 6	£ t £ .
	î 6		т4
	е
л
Э	ì
Э	ïx	= 7(t - sin t)
25.	ï	= 7(1- cost)
25.	íy	= 7(1- cost)
	ï			π
	ï	£ t £ 2 .
	î0	£ t £ 2 .

ая

ì	= (t2	- 2)sin t + 2t cost
ïx
16. íïy = (2 - t2 )cost + 2t sin t
ï		π
ï	£ t £
î0		2 .

					ìx = et (cost + sin t)
									АГНИ
				18. íïy = et (cost - sin t)
					ï0 £ t £ 2π.
					î
					ì
					ïx = 20(2cost - cos2t)
					ï		ка
				20. íy = 20(2sint - sin 2t)
					ï	е		π
					ï	е
					ï		£
					î0 £ t		£	3 .
					т
				о
			и
		л
	б
и					ìx = (t2 - 2)sin t + 2t cost
б					ìx = (t2 - 2)sin t + 2t cost
б				22. íïy = (2 - t2 )cost + 2t sin t
					ï0 £ t £ 2π.
					î
					ì
					ïx = et (cost + sint)
			24. íïy = et (cost - sint)
					ï		3π
					ï		3π
					ï		2 .
					î0 £ t £		2 .

ìx = 4(2cost - cos2t)

26.ïíy = 4(2sin t - sin 2t)

ïî0 £ t £ π.

ìx = (t2 - 2)sin t + 2t cost

ïx = 2(cost + t sin t)

27. íïy = 2(sin t - t cost)

28. íïy = (2 - t2 )cost + 2t sin t

£ t £ 3π.

£ t

î0

2 .

= 9cos3 t

= et (cost + sint)

ïx

29. íïy = 9sin3 t

АГНИ

30. íïy = et (cost - sint)

£ t £

ïπ

£ t £

î0

4 .

î 6

4 .

ка

го расходимость

V. Вычислить несобственный интеграл или установить

оe

xdx

1 xln x

0 x - 4x + 3

x -1

1 x × ln x

xln x

dx .

3x2 +

dx.

+∞

dx. и9. +∞

x3 + 1

dx.

10.

+∞

arctgxdx

−

ая

+∞

∞

11. ò x3e− x 2 dx . 12.

. 13.

14. ò

15. ò xe− x 2 dx .

+ 2x + 2

x + 3

−∞

x (x +1)

−3

∞

ро

xdx

сosxdx

2 .

19.

16. ò

2 .

17. ò

18. ò

. 20. ò

2 .

нн

tgxdx

sin

xln

4 (x -

x -1

−

∞

21.

22. òctgxdx. 23. ò

24. ò

dx . 25. òe− x

xdx .

+ x

+ 5

1- x

−∞

∞

x +1

+∞ xarctgxdx

+∞

26.

. 27. òe−7xdx . 28. ò

dx . 29. ò

30. ò

+ x

1 x ln

2 xln(ln x)

−

Образец выполнения контрольных заданий по теме №6

I.а) ò

ln7 (x + 2)

dx.

x + 2

Внесем под знак дифференциала множитель

. Для этого его

x +

АГНИ

ò ln7

(x + 2)dx = òln7

(x + 2)d(ln(x + 2)) = ln

8 (x + 2)

+ C

проинтегрируем:

d (x

= ln

+ 2

= ln(x

+ 2)

( модуль раскрыли с учетом

x + 2

области определения подынтегральной функции).

Итак,

ка

x + 2

б) ò

3x − 4

dx .

+ 6x +15

+ 6 .

Выделим квадрат двучлена в знаменателе:

+ 6x +15 = (x + 3)2

Воспользуемся методом замены переменной.

t = x + 3,

d(t 2

)

3x - 4

x = t - 3,

= ò

3(t - 3) - 4

= ò

3t -13

= 3ò

tdt

-13ò

= 3ò

6x +15

+ 6

dx = dt,

ая

-13×

arctg

d(t 2 + 6)

arctg

ln(t

+ 6)

arctg

нн

+ 6

Вернувшись к перво ачальной переменной, получим

3x − 4

ро

x + 2

ò x2 +

+ C .

6x +15dx

= 2 ln

((x + 3)

+ 6) -

6 arctg

в)

(7x2

-15x)sin 2xdx.

Вычис им интеграл интегрированием по частям с помощью формулы:

òudv = uv - òvdu .

u = 7x2 -15x,

du = (14x -15)dx,

ò(7x2 -15x)sin 2xdx = dv = sin 2xdx, = - 12 (7x2 -15x)cos 2x + 12 òcos 2x(14x -15)dx .

v= òsin 2xdx,

v = -	1	cos 2x
v = -	2	cos 2x	АГНИ
			АГНИ

После однократного применения интегрирования по частям получили более простой интеграл. Тем не менее, для его вычисления требуется еще раз применить этот метод.

òcos 2x(14x -15)dx =

dv = cos 2xdx,

(14x -15)sin 2x - òsin 2xdxка= (14x -15)sin 2x + cos 2x

= 14x -15,

du = 14dx,

v = òcos 2xdx,

v =

sin 2x

Итак, искомый интеграл

ò(7x

1б

−15x)sin 2xdx = −

(7x

−

15x) cos 2x +

(14x −15)sin 2x

cos 2x + C.

г) ò

arcsin

dx .

нн

1- x

Применим интегрирова иеаяпо частям.

dx =

ро

= -2arcsin x × 1- x + 2

1- x ×

dx =

u = arcsin

du =

dx,

arcsin

1- x 2

1- x

dv =

1- x

v = -2

1- x

= -2arcsin

x × 1- x + 2ò

= -2arcsin

x ×

1- x + 2 x + C.

II. ò

-1

dx .

+ x

Решение. Подынтегральная дробь правильная, разложим ее на простые дроби, предварительно разложив знаменатель на множители.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
17.03.2016706.1 Кб30Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie.pdf
#
14.05.201516.92 Кб2Класс 2 Предмет Матем Дата.docx
#
14.05.201539.42 Кб3математика.doc