Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Елабужский институт Казанского (Приволжского) федерального университета (бывш. ЕГПУ)

Предмет:

Математика

Файл:

Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

706.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

7.Исследуем на направление выпуклости.

(-8a2 )

Вторая производная: y¢¢ =

(2a - x)

3 (2ax2

- x3 )2

Т.В. П.(точки возможного перегиба): y′′ = 0 или y′′

не определена.

y′′ = 0 - нет таких х, так как числитель второй производной отличен от

нуля при любом х.

АГНИ

y′′ не определена, если x = 2a или

x = 0.

Исследуем знак второй производной y′′ = 0 :

ка

Получим единственную точку перегиба M1 (2a;0).

Пользуясь результатами исследования, строим график функции.

ая

нн

ро

рис.4

Контрольные задания

Тема 5:Функции нескольких переменных

Задание 1. Дана функция z=f(x,y) и точки А(х0,у0),В(х1,у1). Требуется:

а) Вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения в

точке А и заменив приращение функции при переходе от точки к точке В ее

АГНИ

дифференциалом;

ка

б) оценить абсолютную и в относительную (в %) погрешности, получающиеся

при замене приращения функции ее дифференциалом;

в) составить уравнение касательной плоскости к п верхности z=f(x,y) в точке

С(х0,у0,z0).

Вариант

Выражение функции z

т.А

Координаты т.В

Координатыи

z = x2

− y2

+ 5x + 4 y

А(3;2)

В(3,05;1,98)

z = x

− 2xy + 5x −

А(4;1)

В(3,97;1,05)

z = xy + 2y2 − 2x

ая

А(1;2)

В(0,97;2,03)

z = x2

+ y2

нн

А(2;3)

В(2,01;3,03)

+ 4x + 3y

ро

А(4;1)

В(3,96;1,04)

z = x

+ 3xy2 − 6y

т2

2 + 2x

А(1;3)

В(1,01;2,99)

z = xy − 2y

+ y

+ 5yx

А(1;3)

В(0,98;3,01)

z = x

+ y2

− 3x + 4y

А(2;1)

В(2,05;0,97)

е z = x2

z = x2

− y2

+ 7x − 2 y

А(3;2)

В(2,97;1,95)

z = x2

+ y2 + 6xy

А(3;1)

В(2,98;0,97)

z = xy − 3y2 + 5x

А(2;1)

В(2,01;0,97)

z = x2

+ 3y2

+ xy + 4y

А(2;3)

В(2,01;2,97)

z = x2 + y2 + 2x + y − 2

А(2;4)

В(2,03;3,99)

z = x2 − y2 + 3x − y −1

А(2;4)

В(2,03;3,99)

z = x2

− y2 + 3x + 4y − 2

А(2;3)

В(1,98;2,97)

z = x2 − y2 + 6x − y −1

А(2;1)

АГНИ

В(1,99;0,97)

z = x2

− y2 + 6x + 3y + 3

А(1;3)

В(0,99;2,97)

z = xy − 2y2

+ 2x

А(1;3)

В(0,99;2,97)

z = 3x2

− y2

+ 6x + 2y + 8

А(1;1)

ка

В(0,98;0,96)

z = x2

− y2 + 3y + 3

А(2;1)

В(1,99;0,97)

z = 5x2

− y2

+ 3y + 3

А(2;1)

В(1,99;0,97)

z = x2

− y2 + 6x + 3y + 3

В(-0,98;2,97)

А(-1;3)

z = 3x2

− xy + x + y + 3

В(-0,98;2,97)

А(-1;3)

z = 2x

− 3y

+ 5x + y − 4

А(1;1)

В(0,98;0,96)

z = 2x2

+ 2 y2

+ x + y − 2

А(1;1)

В(0,98;0,96)

ая

А(-1;3)

В(-0,98;2,99)

z = −x2

+ 2y2

+ 7x + y − 4

z = 5x

+ 2y

− 5x + y − 5

А(1;1)

В(0,98;0,96)

ро

z = −5x2 − ннyx + 7x + y − 4

А(2;3)

В(2,01;3,04)

+ xy2

+ 7x − y + 4

А(2;3)

В(2,01;3,04)

z = −x2

+ 2y2

− xy + y

А(1;2)

В(0,95;1,98)

кz = 3x

Задание 2. Дана функция z=f(x,y) , точка А(х0,у0) , точка В(x1,y1).

Найти угол между градиентами функции в точках А и В; производную в точке А по направлению АВ .

1. z = 4x2 + 3xy ,А(2;3), В(-4;1).	2. z = 2x4 + x2 y3 ,А(2;-1), В(3;1).
	63

3.	z = 3x4 + 2x2 y3 ,А(-1;2), В(-4;3).	4. z = 2x2 y2	+ 4xy2 ,А(2;2), В(3;-1).
5.	z = 3xy2 + 2x2 y3 ,А(2;-1), В(3;1).	6. z = 3x2 y2	+ 5xy2 ,А(1;1), В(3;4).
7.	z = 2x2 + 4xy ,А(2;3), В(3;6).	8. z = 3x3 + x2 y3 ,А(2;3), В(3;5).
9.	z = 2x3 y + 4x2 y3 ,А(1;-1), В(3;1).	10. z = ln(5x2 + 4y2 ) ,А(1;1), В(3;0).

11.

z = ln(2x2

+ 4y2 ) ,А(1;3),В(3;2).

12.

АГНИ

z = ln(3x2 + 4y2 ) ,А(1;2) В(2;-1).

13.

z = ln(x2 + 4y2 )

А(-1;2),В(1;4).

14.

z = ln(5x2

+11y2 ) , А(-1;2),В(1;4).

15.

z = ln(3x2

+ y2 )

А(1;2),В(4;3).

16.

z = ln(2x2

+ 5y2 )

А(-1;2),В(2;-6).

17.

z = ln(6x2

+ 4y2 )

А(2;2),В(5;6).

18.

z = ln(7x2

− 4y2 )

ка

А(1;1),В(3;2).

19.

z = arcsin(

)

А(1;2),В(6;-10).

20. z = x2

+ xy + 4y2

А(-1;2),В(1;4).

21.

z = arctg(x2 y) А(1;1),В(3;0).

22.

А(1;3),В(2;4).

z = 2x2 +тxy + 3y2 )

23.

z = ln(5x2

+ 4y2 ) А(-1;2),В(2;6).

− 4y2 ) А(1;1),В(5;4).

24.

= ln(16x2

25.

z = 3x

+ 5y

А(1;-2),В(4;-5).

= ln(−x

+ 4y

) А(-1;2),В(1;4).

и28.

27.

z = ln(x2 + 4y2 )

А(1;-2),В(-2;4).

z = ln(7x2

+ 4y2 ) А(-1;2),В(1;-2).

29.

ая

30.

z = 3x2 − 5y2 x3

+ y2

А(1;-2),В(4;-5).

z = arctg(x2 y) А(-1;1),В(-2;0).

нн3

Задание 3.Исследовать экстремум функцию.

1. z = x2 + xy + y

− 2x − 3y +

2. z = 4x2 y + 24xy + y2 + 32 y − 6 .

ро

3. z = −x

− 9x + 3y − 20

4. z = −10xy2 + x2 + +10x +1.

+ xy

− y

− 9y + 6x − 35.

z = 6x

− 7xy + 2y

+ 6x − 3y .

5. z = −x

+ xy

е2

7. z = 4x

− 5xy + 3y

− 9x − 8y .

z =

− xy

−

3xy − 2x + y

+ 3y .

Э9. z = 2x3 + 2y3 − 36xy +10 .

10.

z = 14x3 + 27xy2 − 69x − 54y .

11.

z = x4

+ y4

− 2x2

+ 4xy − 2y2 .

12.

z = x3 y2 (12 − x − y) .

13.

z = x3 + y2

− 6xy − 39x +18y + 20 .

14. z = x2 − xy + y2 .

15.

z = x2

- 2xy + 2y2 + 2x.

16. z = x3 - 2y3 - 3x + 6y.

17.

z = x3 + y3 -15xy .

18. z = x2 + 4y2 - 2xy + 4.

19.

z = x2

- y2 - xy.

20. z = x3 + y3 - x2 - 2xy - y2 .

21.

z = 4x + 2y - x2 - y.2

22. z = x2 + y2 + xy - 6 y - 3x.

23.

24.

АГНИ

z =

+ y.

z = 2x3

+ xy2 + 5x2

+ y2 .

25.

z = e2x (x + y2 + 2y) .

26. z = 2x2

+ y2

+ 2x + 6y.

27.

z = (3 − x − y)xy .

28.

z = 2xy - 3x2 - 2y2

+10 .

29.

z = 4x - 4y - x2 + 2y2

30.

ка

z = x3 + y3 - 3xy

по теме 5

Образец выполнения контрольных заданийт

Дана функция z=x +xy-y

точки А(4;1),В(3,97;1,01). Требуется:

а) Вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения в

точке А и заменив приращение функц при переходе от точки А к точке В ее

дифференциалом;

б) оценить абсолютную и в относительную (в %) погрешности, получающиеся при замене приращения функции ее дифференциалом;

			нн
в) составить уравнение касательнойая					плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке
С(х0,у0,z0).
Решение. Вычислим значение функции в точке В.
		т
	к			= 18,7606.
z(B)=3,972			+ 3,97ро×1,01-1,01	= 18,7606.
е
л
Зам ним полное приращение функции ее полным дифференциалом:
				z(B) - z(A) » z′x (A)dx + z′y (A)dy .
ЭТаким образом, отсюда можно найти приближенное значение функции в точке

В по формуле:

z(B) » z(A) + z′x (A)dx + z′y (A)dy

Вычислим значения частных производных:

z′x (A) = (2x + y) A = 9 z′y (A) = (x −1) A = 3 . dx = 3,97 − 4 = −0,03,

dy = 1,01 −1 = 0,01.

Итак, приближенное значение функции в точке В:

z(B) » z(A) + z′x (A)dx + z′y (A)dy = 19 + 9 × (-0,03) + 3× 0,01 = 18,76

б )Абсолютная погрешность:

18,76 −18,7606

= 0,0006.

Относительная погрешность:δ =

18,76 -18,706

×100% = 0,003% .

18,76

(x - x0 )Fx′(А) + (y - y0 )Fy′(A) + (z - z)Fz′(A) = 0 .

ка

в) Составим уравнение касательной плоскости к поверхностиАГНИF(x,y,z)=0,

проходящей через А(x0,y0,z0) по формуле:

Здесь F=x2+xy-y-z, А(4;1;19).

Fx′(A) = 2x + y = 9, Fy′(A) = x −1 =

3, Fz′ = −1.

Получаем уравнение касательной плоскостиб:

9(x − 4) + 3(y −1) + (−1)(z −19) = 0 , или 9x+3y-z-20=0.

ая

Задание 2. Дана функция z=x2-5xy+4y , точка А(1;-1) , точка В(4,-3).

нн

Найти угол между градиентами функции в точках А и В; производную в точке

А по направлению АВ .

Решение.

ро

Г адиент-вектор, составленный из частных производных, т.е.

grad z(А) = z¢x (А)i + z¢y (А) j .

′y = -5x

+ 4 .

z′x = 2x

- 5y, z

′

= - +

= -

− j = {7,−1}.

zлx (А)

7, zy (А)

1. Следовательно, grad z(A) = 7i

z′x (B) = 8 +15 = 23, z′y (B) = -20 + 4 = -16.

Следовательно, grad z(B) = 23i

−16 j = {23,−16}.

Искомый угол между градиентами определим с помощью скалярного произведения векторов:

cosϕ =

gradz(A)

gradz(B)

7 × 23 + (-1)(-16)

161+16

» 0,8934 .

gradz(A)

gradz(B)

+1 ×

232

+ (-16)2

50 785

Итак,

искомый угол между градиентами ϕ » 260 40¢ .

Производную по направлению найдем c помощью скалярного произведения

градиента gradz(A)

и единичного вектора направления

l0 по формуле

∂z

(A) = grad z(A) × l0 .

АГНИ

¶l

Отметим, что если функция z=z(x,y) дифференцируема в точке А, то в этой

точке существует производная по любому направлению l .

ка

Найдем вектор направления:

AB = {4 −1;−3 +1}= {3;−2}. Найдем единичный вектор

{3;-2}

- 2

направления: l0 =

;

ý .

32 + (-2)2

13 13

−

Итак, искомая производная по направленбю есть ∂z (A) = 7 ×

+ (-1) ×

¶l

Задание III. Исследовать функциюбz = x3 + 8y3 - 6xy + 5 на экстремум.

Решение. Найдем частные производные первого порядка

z′x , z′y

и критические

точки, в которых они раваяы нулю или не существуют, при этом точки должны

лежать внутри области определения функции z.

¢ = 3x

2 - 6y

нн

z′ = 24y2

−

ро

Решим сис ему уравнений:

ìz¢ = 0 ì

y =

= 0, y

x еï

2 .

z¢y = 0

ï24y

- 6x = 0

- x = 0,

-1) = 0,

= 1

î4y

îx

îx(x

îx1 = 0, x2

Получили две критические точки:

M1 (0;0), M 2 (1;

) . Других критических точек

нет, т.к z′x , z′y существуют при любых значениях х,у.

Составим

определитель

из частных производных второго порядка и

исследуем по знаку определителя критические точки.

z′′

− 6

z′′

− 6

48y

Для точки M1 получим

− 6

= −36 < 0- нет экстремума.

АГНИ

− 6

Для точки M2 получим

− 6

= 144 − 36 = 108 >0 , кроме того первый угловой

− 6

минор 6>0, следовательно исходя из достаточных условий экстремума т. М2

есть точка минимума и zmin = z(M 2 ) = 1 + 8 ×

- 6 ×

+ 5 = 4 .

ка

Контрольные задания

Тема 6: Интегральное исчисление функции одной переменной

I. Найти неопределенный интеграл

x2dx

x +18

1. а) ò

;

б). ò

dx; в) ò

(3x2 − 2)cos xdx ; г) òаrctg 4x −1dx .

+ x

- 4x -12

xdx

x + 4

2. а)

;

б).

dx; в)

(3x

−

2x2 )sin 2xdx; г)

аrctg

dx .

2x −1

2 x2

ò x2 - 2x - 8

sin

ая

5 - x

3. а) ò

xdx

; б). ò

x + 23

dx; в) ò

2 x

dx ; г) òаrctg

dx .

3x −1

5x −1dx .

4.а) ò

; б). ò

нн2

dx; в) ò(2x

−15x)cos3xdx ; г) òаrctg

+ x - 20

5.а)

7 − 5x2 dxро; б).

x +19

dx; в)

(8x2 +16x +17)cos3xdx ; г)

аrctg x −1dx .

x2dx

x +12

5 +100x

- x - 6

ò x2 - 2x -15

5x + 6

x cos x

6.а) ò

arctg4 xdx

; б).

dx; в) ò(4x

− 2x)cos4xdx ; г) ò

dx .

1+ x

+ 4x

-12

sin

Э7.а) ò

sin xdx

; б). ò

5x − 7

dx; в) ò(9x2 + 2x +13)cos3xdx ; г) òаrctg

dx .

6x −1

1- cos x

- x - 20

8.а) òsin 2x

dx; в) ò(8x2

+ 2x − 7)cos2xdx ; г) òаrctg

2 − cos2 xdx ; б). ò

xdx .

+ x - 9

ln x

4x + 7

9.а) ò

;

б). ò

dx; в) ò(3 − 7x

− 2x)cosxdx ; г) òe−

(2 − 9x)dx .

+ 2x −15

sin 2x

3x + 1

10.а) ò

dx ; б). ò

dx; в) ò(8x

+ 5x)cos2xdx ; г) òаrctg 7x −1dx .

cos

+ 4

+ 5x +

x2dx

19 − 4x

11.а) ò

;

б). ò

dx; в) ò(4x −

− 2)cosxdx ; г) òe−

(4x − 3)dx .

сos

+ x

− 3

АГНИ

12.а) ò

x2dx

;

б). ò

x + 9

dx; в) ò(9x2 + 7x − 2)cos2xdx ; г). òarcsin

dx.

12 − x

+ 2x − 3

13.а) ò

exdx

; б). ò

2x + 27

dx; в)

ò(7x

− 2)cos3xdx ; г) ò(1− ln x)dx.

− x

−12

− e

ка

5 ln x + 6

4x + 21

14.а) ò

dx ; б). ò

dx; в) ò(3x2 − 2)cos5xdx; г) òarcctg4xdx .

+11x +12

аrctg5еxdx .

15.а)

xdx

; б).

11x − 2

dx;

в)

(2x2 + 9)cos4xdx; г)

ò x2 + x − 2

8 + x

16.а)

x dx

;

б).

17 −18x

dx; в)

(3x2 +

; г)

arctg6xdx .

2x)sin 2xdx

7 + x2

ò x2 − 5x +

иò

(x + 4)dx

9 − 3x

17.а) ò

;

б). ò

dx; в) ò(3x −б2x )sin 4xdx; г) òxsin

4xdx .

7 + x

− 4x −12

x + 1

5x +1

8 + x

2 dx

;

ò x2

− 2x − 8

аяò

òarctg2xdx .

18.а) ò

2 + x

б).

− x −

dx;

в) ò(x

+ 2)cos6xdx

; г)

x2dx

7ннx + 18

19.а)

x2dx

;

б).

x −

dx; в)

xcos4

xdx ; г) arctg

dx .

ро

dx; в) òxcos

4xdx ; г) òx

20.а) ò

1+ 3x

;

б). ò

− x −12

ln(1+ x)dx .

(1− xт) dx

x +15

1− x

;

б). ò x2 − 4x −12dx; в) ò(3x − 2)cos xdx ; г) ò 1+ x dx .

21.а)

кx x

x3dx

x + 5

22.а)

;

б).

dx; в)

(3x + 4)cos2 5xdx

; г)

dx .

лò

7 x4 +1

ò x2 − x −12

1 − x2

(x +1)

x +13

23.а) ò

;

б). ò

dx; в) ò(3x + 2)cos2 4xdx ; г) ò(arcsin x)2dx .

1+ x

− 4x −12

exdx

5x + 8

24.а) ò

;

б). ò

dx; в)

ò(9x − 5)cos

6xdx; г) ò

1+ x

dx .

2 x

+ 4

− 4x −12

25.а) òctg2 5xdx ;

б). ò

x −18

dx;

в) ò(x2 + 2)cos7xdx ; г) ò

x + 1

+ 1

dx .

+ 4x −12

x + 1 −1

26.а) ò

2x dx

;

б).

x +18

dx; в) ò(3x +1)sin2 3xdx ; г) ò(arctgx)2 xdx .

− 7x +

1− 4

27.а) ò

x2dx

; б). ò

4x +1

dx; в) òe

cos xdx ; г) ò

АГНИ

2 2

4 + 3x

x + 2x + 3

x x − 9

28.а) òsin

xcos xdx ;

б). ò

6x + 1

dx; в) ò

(3x

−

2)cosxdx; г) ò

− x −

−

29. а) òesin x cos xdx ;

б). ò

3x + 8

dx; в) ò(2x − 5)sin2 7xdx ; г) òarctg

dx .

− 6x −12

ка

x + 18

+ ln x

30.а) ò2x

+1dx ;

б). ò

dx; в) ò(x +

dx .

+ 4x + 5

5x)cos9xdx ; г)

x ln x

II. Найти неопределенный интеграл

+ 4x + 2

− 4xи−16x −12

1. ò

dx .

11. ò

dx .

(x +1)

+ x +1)

−1)

+ 4x +

+ 4x2 + 3x + 2

− 3x3

+13x2 −13x +1

2. ò

dx .

12.иò

(x +1)

+1)

−

− x +

ая

3. ò

2x3

+ 7x2 + 7x −

dx .

13. ò

x3 + 2x2 +10x

dx .

(x + 2) (x + x +1)

нн

(x +1) (x − x +1)

2x3 + 4x2 + 2x −1

3x3 + x + 46

ро

dx .

4. ò

+ 2x + 2)

14. ò

−1)

+ 6x

+ 9x + 6

dx .

15.

4x3 + 24x2 + 20x − 28

dx .

(x + 3) (x + 2x + 2)

(x +

т(x + 2x + 2)

+11x2 +16x

+10

2x3 + 3x2 + 3x + 2

2x3

dx .

16. ò

+ 2)

+ 2x + 3)

+1)(x

+ x +1)

7. ò

3x3 + 6x2 + 5x −1

17. ò

x3 + x +1

dx .

(x +1)

+ 2)

+1)(x

+ x +

8. ò

+ 9x2 + 21x + 21

18. ò

x2 + x + 3

dx .

+ 3)

+1)(x

+ x +1)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
17.03.2016706.1 Кб30Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie.pdf
#
14.05.201516.92 Кб2Класс 2 Предмет Матем Дата.docx
#
14.05.201539.42 Кб3математика.doc