Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Елабужский институт Казанского (Приволжского) федерального университета (бывш. ЕГПУ)

Предмет:

Математика

Файл:

Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

706.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

7.	y// - 3y/ =		9e−3x		, y(0) = 4 × ln 4, y / (0) = 3(3× ln 4 -1) .
			3 + e−3x

					Вариант 19
1. xy¢ - 4y = y2 .
2.	y¢ =	2xy + y2		.

		x2

3.xy¢ - 2y = 2x4 , y(1) = 0.

4.x(y// +1) + y/ = 0

yy//

- ( y/ )2

= 0,

y(0) = 1,

y/ (0) = 2

ка

2y//

+ 7 y/ + 3y = 222 ×sin 3x

y// +

× y =

, y(0) = 2, y/ (0) = 0

π 2

π 2 cos

Вариант 20

+ 6dx = xydy .

yx + y

= (2x

+ xy)y .

ая

+ 4y

/ = cos 2x

(1- x)(y

¢ + y) = e− x , y(0) = 0.

yy//

- ( y/ )2

= y2

нн

y/ (0) = 1

ln y,

y(0)

= 1,

ро

т2

+ 74

y // + 2y/ + 37 y = 37x2 - 33x

1 ö

æ 1 ö

+ πкy =

yç ÷ = 1, y

ç ÷

Э¢

sinπx

2 ø

è 2 ø

Вариант 21

1. y - xy

= 2xy .

2. (x2 - 2xy)y¢ = xy - y2 .

y′ + ytgx =

, y(0) = 0.

cos x

АГНИ

4.	y// + y/ = sin x .
5.	yy// - ( y/ )2 = 0, y(0) = 1, y/ (0) = 2
6.	y// -12y/ + 40y = 2e6x

y// - 9y/ +18y =

9e3x

, y(0) = 0, y/ (0) = 0 .

1+ e−3x

Вариант 22

1. 2x2 yy¢ + y2 = 2 .

y¢ =

y - 2

ка

+1) + 4xy = 3, y(0) = 0.

y (x

x2 y // = ( y/ )2

y(1- ln y) × y//

+ (1+ ln y)(y / )2 = 0,

y(0) = 1,

y/ (0) =

y// - 4y/ = 8 -16x

- 6 y

+ 8y = 1 + e−2 x

, y(0) = 1 +

(0) = 6

× ln 2 .

2 × ln 2, y

ая

бВариант 23

1. y¢ = (4 + y2 )(1 + x

2 ) .

нн

¢ = - y(ln

-1).

ро

¢ + y = sin x, y(π ) =

2 π

2xy//

/ )2

× y/

( y

- 4

+ y) = ( y )

+ y ,

y(0) = y (0) = 2

//е

/ 2

y// + 3y/ = 10 - 6x

y // - 6 y / + 8y =

, y(0) = 1 + 2 × ln 2, y / (0) = 6 × ln 2 .

1 + e−2 x

Вариант 24

АГНИ

1. y¢1+ y2 = x2 / y .

2.y¢ = x2 + y . 2xy

3.y¢(x2 -1) - xy = x3 - x, y(2) =1.

4.y // × x ln x = y/ .2

y//

y(0) = 1,

y/ (0) = 2

y//

- 8y/

+ 20y = 16sin 2x -16cos 2x

ка

+ 4 y = 8ctg 2x,

π ö

= 5,

/ æ

π ö

= 4

yç

4 ø

Вариант 25

(y +1)y¢ =

+ xy .

1- x2

y¢ =

x + 7 y

y (1- x

) + xy = 1, y(0) = 1.

y//

× ctgx + y/ = 2

ая

нн

yy// - 2yy/

ln y = (y/

y(0)

= y/ (0) = 1

y// - 5y/ -

ро

6y = 3cos x

+19sin x

y // + 3y/ =

, y(0) = ln 4, y/ (0) = 3 - 3× ln 2

1+ e

Вариант 26

(1+ x

+ y 1+ x

= xy .

xy′ = (x + 4y) .

2cos

xctgx, y(0) = 0.

y ctgx - y =

(1+ x2 )y//

= 2xy

АГНИ

5. y// =	1		, y(0) = y / (0) = 0

		y

6.	y // − 3y/ + 2y = (34 −12x)e− x
7.	y// + π 2 y =			π 2	, y(0) = 3, y / (0) = 0 .
			cosπx

					Вариант 27
1.	xyy′ =	1+ x2		.

	1− y2

2.y′ = y − 2x .

x+ 2y

3.y′x2 = 2xy + 3, y(1) = −1.

4.y// = − xy .

y//

= 1− ( y/ )2 ,

y(0) = 0,

y / (0) = 0

y //

+16y = 8cos 4x .

y //

y =

ctg

y(π ) = 2, y / (π

ая

y′ = y(4 + 2y + y2 )(1+ x2 ) .

нн

ро

2x3 y′ = y(2x2 − y2 ) .

y′

+ 2xy = xe

−x

, y(0)

= 0.

− xy

= 2

(1− x2 ) y

y(0) = 0, y

(0) = 1

= y

y//

− 9y /

+ 20y = 126e−2x

									ка
								е
							т
						о
					и
.				л
			б
		и
		и
б
) =	1
) =	2 .

Вариант 28

/ æ

+ y =

, yç ÷

= 1,

ç ÷

sin x

АГНИ

Вариант 29

1.(xy − x)2 dy + y(1− x)dx = 0 .

2.y′x2 = y(x + y) .

3.y′ −3x2 y = x2ex3 , y(0) = 0 .

4.y // + y/ tgx = sin 2x .

y // + 2 y( y / )3 = 0,

y(0) = 2, y / (0) =

y// + 2y / − 24y = 6cos3x − 33sin 3x

ка

y// + y / =

y(0) = ln 27,

y/ (0) =

1− ln9

2 + ex

Вариант 30.

1. (x2 y − y)y′ = x2 y − y + x2 −1.

y′ = 2

ая

xy′ + y = ln x +1, y(1) = 0.

4. y′′(1+ 2ln y′) =1.

−нн30 .

6. y′′ − 3y′ + 2y = 2x3

5. y′′ = 4cos3

x − x .

7. 4 y′′ + y = ctg

ро, y(π ) = 3, y′(π ) =

т2

АГНИ

Образец выполнения контрольных заданий по теме №7

1. y(4 - x2 )dy = -x(y2 - 3)dx .

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными, так как имеет вид

АГНИ

f1 (x)q1 (y)dy = f2 (x)q2 (y)dx. Разделяем переменные:

dy = −

dx .

y 2 − 3

4 − x2

Интегрируем обе части последнего равенства:

dy = −ò

dx .

−

− x

При вычислении интегралов можно применить внес ниекамножителя под знак

дифференциала, или замену переменной. В люб м случае получим

d( y

- 3) = 1

d(4 - x

) .

- 3

и4 - x

ln y2 - 3 = ln 4

- x2 + ln C ,C ¹ 0

y2 -

C(4

- x2 )

¹ 0

= ln

Таким образом, получим общий интеграл

y2 - 3 = C(4 - x2 ),

нн

можно

выразить общее решение

из которогоая

роdx

дифференциальн го уравнения y = ±

C(4 - x2 ) + 3 .

2. y − x

= x + y

Решениек. Преобразуем уравнение к виду:

( y

+ x) = y − x .

y − x

y + x

Так как в числителе и знаменателе правой части уравнения содержатся однородные функции одного измерения, то исходное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Приведем его к виду y¢ = ϕ( xy ) , для этого числитель и знаменатель правой части уравнения сократим на x.

−1

АГНИ

t¢x + t =

t −1 .

Выполним замену переменной: t =

, где

= t(x) . Тогда справедливы равенства:

y = t × x, y′ = t′x + t .

Подставим

полученные

выражения в преобразованное

уравнение.

ка

t′x = t −1

− t.

t +1

t 2

t′x = − t +1

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные,

проинтегрируем:

dt = -

+ 1

2 ая

t +1

= -

нн

2 + 1

ро

ln(t 2

+ 1) + arctgt = - ln

+ ln

,C ¹ 0

arctgt

t 2

+ 1 .

= ln

- ln

arctgt = ln

t 2

Вернувшись к замене, запишем общий интеграл уравнения

arctg

= ln

3. y¢sin x - y cos x = 1, y(π2 ) = 0 .

Решение. Разделим обе части уравнения на sin x ¹ 0. Преобразуем уравнение к виду: y¢ - y cossin xx = sin1 x . . Исходное уравнение является линейным относительно y′ и y, так как имеет вид y′ - y × p(x) = q(x) . Искомое решение уравнения ищем в

виде произведения множителей:

y = u ×v,u = u(x),v = v(x) . Тогда y′ = u′v + uv′.

u¢v + uv¢ - uv ×

cos x

АГНИ

sin x

u¢v + (uv¢ - uv ×

cos x

) =

sin x

u¢v + u(v¢ - v ×

cos x

) =

(*).

sin x

ка

v¢ - v × cos x = 0 .

Функцию v(x) найдем исходя из условия:

sin x

= ò

cos x

.о

sin x

lnv = ln(sinx) .

б¢

Итак, v = sin x . Подставляем полученное выражение v(x) в уравнение (*).

ая

u × sin x =

sin x

нн

u¢ = sin2

x .

ро

u = -ctgx + C .

Вернувшись к замене переменной, получим y = (-ctgx + C) ×sin x - общее решение

кπ

исходного уравнения. Подставим начальное условие в уравнение:

+ C) × sin 2 Þ C = 0 . Итак, частное решение примет вид y = -ctgx×sin x .

0 = (-ctg 2

4. y

+ y = x

Решение. Так как уравнение имеет вид

y¢ + p(x)y = q(x) yn , то имеем уравнение

Бернулли n =

. Разделим обе части уравнения на

¹ 0 .

yy′ + yy = x .

yy′ + y = x

Выполним замену z =

y′

y , тогда

= 2

Подставим в уравнение выражения

для z, z′ :

АГНИ

2z′ + z = x .

z¢ +

z =

ка

Решаем

линейное

уравнение

относительно

z, z′

посредством замены

v,u

u(x),v

v(x) ,

′ =

′×

′

v u .

u¢v + uv¢ +

uv =

xи

,(*)

u¢v + u(v¢ +

2 v) = 2

v = 0,

= -

ая

−x

1б

= -

òdx, ln v

= -

, v

= e 2

нн

−x

Подставим найде ое з ачение v = e в уравнение (*), получим

ро

u e

− x

u¢ = 2 × e

ò du = ò

× e

dx .

Применив интегрирование по частям, получим

	x	(x - 2) + C . Итак,		x	− x
u = e	2	(x - 2) + C . Итак,	z = (e	2	(x - 2) + C) × e 2

− x

, или z = x - 2 + C × e 2

. Так как z = y ,

− x − x

то y = x - 2 + C × e 2 , т.е. y = (x - 2 + C × e 2 )2 .

5. y3 y′′ = −1, y(1) = 1, y′(1) = 0 .

Решение. Данное уравнение второго порядка, причем не содержит в явном виде независимую переменную x. Порядок уравнения может быть понижен на

единицу с помощью подстановки y′ = p(y), y′′ = p′p = p dpdy .

p 2 =

+ 2C1 ,

АГНИ

Далее, y3 p

= −1,

pdp = −y−3dy ,

pdp = -

−3 dy ,

+ C1 ,

2y2

ка

p = ±

12 + 2C1 ,

y 2

= ±

2C1

= ±

2C1 y

ая

ydy

dx = ±ò

нн

2C1 y

+ C2 - общее решение дифференциального уравнения.

x = ±

1 + 2C1 y

2C1

ро

Найдем частное

ешение, для этого подставим начальные условия в общее

решение. При х=1,у=1, y′ = 0 получим

ï1

= ±

+ C2

2C1

ï0 = ±

1+ 2C

Решив систему, получим C1 = −1/ 2,C2 =1.

Итак, искомое решение примет вид x = ±1− y2 +1.

6. y′′ − 8y′ + 20y = 10(sin2x + cos2x) .

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
17.03.2016706.1 Кб30Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie.pdf
#
14.05.201516.92 Кб2Класс 2 Предмет Матем Дата.docx
#
14.05.201539.42 Кб3математика.doc