Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie
.pdf
№21
1. |
lim |
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x2 + 3x - 28 |
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|||||||||
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x2 - 4x |
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|||||||||
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x→4 |
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||||||||
2. |
lim |
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x3 - 27 |
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|||||||||
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x→3 |
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3x - x |
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|||||||
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æ |
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2x2 + 5x -1 |
ö2x |
|||||||||
3. |
lim |
ç |
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|
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|
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÷ |
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2x2 + 7x - 2 |
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x→∞ |
ç |
|
÷ |
||||||||||
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|
è |
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ø |
4. |
lim |
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cos8 x - cos3x |
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||||||||||
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7x 2 |
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||||||||
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x→0 |
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|||||||
5. |
lim |
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2x -1 |
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|||||||
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ln(1+ 4x) |
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|||||||||||
|
x→0 |
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|||||||||
6. |
lim |
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(2ex−1 -1) |
3x−1 |
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||||||||
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|
x−1 |
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|
||||||||||
|
x→1 |
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№23
2. |
lim |
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4x6 |
- x + 5 |
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ая |
|||||||||||
1. |
lim |
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x2 |
- 9 |
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|||
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x→3 |
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3x2 - 8x - 3 |
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||||||||||||
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2 |
|
нн |
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||||
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x2 |
+ 2 - |
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|||||||||
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x→∞ |
|
x6 |
+ |
3x2 |
+1 |
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|||||||||
3. |
lim |
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|
ро |
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|||||
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|||||||||
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x→0 |
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|
т |
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||||||
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x |
2 |
+1 -1 |
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||||||||
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|
е |
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||||
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1- cos6x |
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|||||||||
4. |
lim |
к |
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||||||
л |
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7x − sin 3x |
|
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|||||||||||
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x→0 |
|
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|||||||||||
|
|
æ |
|
4x -1 |
ö |
2x |
|
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|||||||||
5. |
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||||||||||
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ç |
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|
÷ |
|
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|||
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|||||
lim ç |
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|
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|
|
÷ |
|
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||||
Э x→∞ è |
4x |
- 3 |
|
ø |
|
|
|
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|
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||||||||
6. |
lim |
æ |
|
|
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x |
2 |
- 5x + 4 |
|
ö |
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|||||||||
ç |
|
|
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|
|
÷ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
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||||||
|
|
ç |
|
- 7x + |
8x |
-1 |
÷ |
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||||||||||||
|
x→1 è |
|
|
|
ø |
|
||||||||||||||
|
|
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№22 |
|||||||||||||
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1. |
lim |
3x2 |
- 7x - 20 |
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|||||||||||||||||
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x2 |
- x -12 |
||||||||||||||||||||
|
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|
x→4 |
|||||||||||||||||||
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|
- 3 |
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||||||||
|
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|
2. |
|
lim |
|
x + 4 |
|||||||||||||||||
|
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|||||
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x→5 |
|
x -1 - 2 |
|||||||||||||||||
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АГНИ |
||||||||
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3. |
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æ |
|
3x + |
4 |
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ö+5x−1 |
||||||||||
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lim |
ç |
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|
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|
|
÷ |
|
|
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|
|||||
|
|
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|
|
ç |
|
3x - |
7 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
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x→∞ |
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
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|
|
|||||||
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4. |
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lim |
1- cos5x |
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|||||||||
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9x 2 |
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|||||||
|
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|
x→0 |
|
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||||||
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|
|
ка |
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|||||||||
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5. |
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lim |
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2sin(πx |
|
+ π ) |
|||||||||||||
|
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x→0 |
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ln(1+ 2x) |
||||||||||||||
|
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|
е |
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18 sin x |
|||||||||||
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и |
т |
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|||
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|
(sin x) |
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|
ctgx |
|||||||||||||||
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6. |
|
lim |
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||||||
|
|
л |
о x→π |
|
|
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|
|
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|
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|
||||
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|
|
2 |
|
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|
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|
||
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|
б |
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|
|
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|
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|
и |
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№24 |
||||||
б |
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|
||||||
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|
1. |
|
lim |
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x3 -1 |
|
|||||||||||||||||
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|
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3x2 - 3x |
|||||||||||||||||||
|
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x→1 |
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||||||||||||||||||
|
|
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2. |
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lim |
1− cos 3x |
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|||||||||||||||
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||||||||||||||||
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x→0 |
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xtg5x |
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|||||
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|
- 3 |
|
||||||||||
|
|
|
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|
3. |
|
lim |
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2x + 3 |
||||||||||||||
|
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|
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|
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|
||
|
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x→3 |
|
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x - 2 -1 |
||||||||||||||
|
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4. |
|
lim |
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|
sin 5x |
|
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|
|
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|||||
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|
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|
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|
x + x2 |
|
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|
||||||||
|
|
|
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|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
5. |
|
lim |
|
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|
4x6 - x + 5 |
|
|||||||||||||
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|
|
|
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|
x6 + 3x2 +1 |
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|
|
|
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|
x→∞ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
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|
6. |
|
lim |
|
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|
1 − cos 6x |
|
|||||||||||||
|
|
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|
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7x − sin 3x |
||||||||||||||||
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|
x→0 |
|
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|||||||||||||||
31
|
|
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|
№25 |
|||||||
1. |
lim |
|
4x4 - 5x2 +1 |
||||||||||
|
|
|
|
x2 -1 |
|
||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- 5 |
|
|
|||
2. |
lim |
|
|
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|
2x + 7 |
|||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||
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x→9 |
|
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3 - |
|
x |
||||||
3. |
|
æ |
2 - 3x |
|
|
|
ö4x+5 |
||||||
lim |
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
||||||
ç |
5 - 3x |
÷ |
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
è |
ø |
|
|
||||||||
4. |
lim |
|
cos9x - cos x |
|
|||||||||
|
|
|
|
4x 2 |
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
||||||||
5. |
lim |
|
|
|
|
arctg2x |
|||||||
|
|
sin(2π (x +10)) |
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
||||||||||
6. |
lim (2ex−1 -1) |
x |
|||||||||||
x−1 |
|
||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
№27 |
|
|
|
|
|
|||
1. |
lim |
|
6x4 - 5x2 -1 |
|
|
|
|||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
x2 -1 |
|
|
|
|
ая |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5 |
|
|
|
|
||
2. |
lim |
|
|
|
|
2x + 7 |
|
|
нн |
|
|||||
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
||||||||
3. |
lim |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→9 |
|
|
|
|
|
x − 9 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
||||||
|
|
æ |
2 -8x |
|
ö4x |
+5 |
|
|
|
||||||
|
x→∞ |
ç |
5 -8x |
÷ |
|
|
|
|
|
||||||
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|||
|
|
к9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
cos4x - cos x |
|
|
|
|||||||||
4. |
е |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Э |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg7x |
|
|
|
||||||
5. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
sin(6π (x +10)) |
|
||||||||||||
лx→0 |
|
|
|
||||||||||||
6. |
lim (3ex−1 - 2) |
x |
|
|
|
|
|
||||||||
x−1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№26
|
|
1. |
lim |
8x4 - 7x2 -1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
x2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2. |
lim |
|
|
|
|
|
2x + 7 |
|
15 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 - |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
|||||
|
|
3. lim |
æ |
2 - x |
ö4x2 |
+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ç |
5 - x |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x→∞ |
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4. lim |
|
cos13x - cos x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
||||||||||||||||
|
|
5. lim |
|
|
|
|
|
arctg7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x→0 sin(3π |
(x |
+ |
10)) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
о |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
6. |
lim |
|
|
|
|
|
−1 -1)x |
|
−1 . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
(2ex |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
и |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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л |
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б |
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№28 |
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б |
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1. |
lim |
9x4 - 7x2 - 2 |
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x→1 |
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x2 -1 |
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- |
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2. |
lim |
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3x + 7 |
19 |
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x→4 |
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2 - |
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x |
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3. lim |
æ |
2 - 4x |
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ö4x2 +5 |
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ç |
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÷ |
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ç |
5 - 4x |
÷ |
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||||||||||||||
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x→∞ |
è |
ø |
|
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|||||||||||||
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4. lim |
cos13x - cos 2x |
|
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x→0 |
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9x2 |
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5. lim |
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arctg7x |
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x→0 sin(3π (x + 6)) |
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x2 |
−1 |
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x |
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||||
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6. lim (9e |
-8) |
x2 |
|
1 |
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|||||||||||||||||
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− . |
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x→1 |
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32
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№29 |
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№30 |
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1. |
lim 3x2 + 2x -16 |
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1. |
lim |
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x2 |
- 4 |
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3x2 + x -10 |
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x→2 |
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x2 - 4 |
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x→−2 |
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- |
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|
- |
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2. |
lim |
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2x +1 |
x + 6 |
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2. |
lim |
3 + 2x |
x + 4 |
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х - 5 |
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х -1 |
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x→5 |
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x→1 |
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АГНИ |
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|
3x + 4 |
|
ö3x+5 |
|
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|
|
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æ x2 |
+ 5x - |
3 |
ö8x |
||||||||||||||||||||||||
3. |
lim |
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|
3x - 7 |
|
÷ |
|
|
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|
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|
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|
3. |
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lim |
ç |
|
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+ 8x -1 |
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x→∞ |
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
ø |
|||
4. |
lim |
sin 7x + sin3x |
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
4. |
|
lim |
|
|
tg 7x |
|
|
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|
|
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|
х |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
2sin 5x |
|
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x→0 |
|
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|
x ×sin |
|
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|
x→0 |
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ка |
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3 |
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x2 |
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x→0 |
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x→0 |
x(1- cos8x) |
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||||||||||||||||||
5. |
lim sin2 x - tg2 x |
|
|
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5. |
|
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lim |
|
tg x -sin x |
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æ |
2x -8 ö |
|
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о6. lim |
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æ cos x ö |
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3 |
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−2 |
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x−3 |
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6. |
lim |
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x→3 |
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è cos3 ø |
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Исследовать на непрерывность и построить график функции. |
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ïx, x £ -π |
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2. |
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f (x) = ícos 2x,-π p x p |
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1. f (x) = ícos x,-π p x p |
2 |
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2 |
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29. |
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30. f (x) = íx |
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Образец выполнения контрольных заданий по теме «Введение в анализ» |
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Решение. |
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ро |
|
числитель и |
|
знаменатель |
дроби |
под знаком предела |
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При |
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|
х → −5 |
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являются бесконечно |
малыми. Имеем отношение двух бесконечно малых |
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величин или неопределенность [0/0]. Чтобы избавиться от неопределенности, |
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разложим многочлены на множители, и сократим дробь на общий множитель. |
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+ 5) |
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-14 |
|
|
|
- 29 29 |
|
|
|||||||||
л3x + x - 70 |
|
|
|
|
|
|
3(x + 5)(x |
- |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
- 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. lim |
|
|
|
2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||
x→4 |
|
|
|
х - 4 |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
При х → 4 числитель |
|
и знаменатель дроби под знаком предела |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
являются |
бесконечно |
малыми. |
|
Имеем |
|
отношение двух бесконечно малых |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величин или неопределенность [0/0]. Сначала переведем иррациональность из числителя в знаменатель, для этого умножим компоненты дроби на выражение, сопряженное числителю. Далее, после преобразований, сократим дробь на общий множитель (х-4).
lim
x®4
|
|
|
- 3 |
|
0 |
|
|
( |
|
- 3)( |
|
|
+ 3) |
|
( |
|
|
|
|
|
|
2(x - 4) |
|
|
|
|||||
|
|
2x +1 |
= [ |
] = lim |
2x +1 |
2x +1 |
= lim |
2x +1)2 -32 |
= lim |
|
|
= |
||||||||||||||||||
|
|
х - 4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x®4 |
|
(x - 4)( 2x +1 + 3) |
x®4 |
(x - 4)( |
2x +1 + 3) |
x®4 |
(x - 4)( 2x + |
1 + 3) |
|
|||||||||||||||||
= |
2 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
lim |
3x4 -8x2 + 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x®¥ |
|
|
х3 - 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
При |
х → ∞ члены дроби- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
величины бесконечно большиеАГНИ. Имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||
неопределенность |
[∞]. Разделим числитель и |
|
е |
|
на наивысшую |
|||||||||||||||||||||||||
знаменатель |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
степень аргумента х, т.е на |
|
х4 . В результате преобразования получим дробь, в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
к нулю. |
|
числитель которой при х → ∞ стремится к 3, а знаменательт |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
-8x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3- |
8 |
|
+ |
2 |
|
|
|
|
б |
и |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim 3x |
|
|
= [¥ |
] = lim |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
= [ |
3] |
= ¥ . |
л |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
х3 - 4 |
|
|
|
|
1 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
x®¥ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
æ |
|
3x +1 |
ö9x+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. lim ç |
|
÷ |
. |
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x®¥ |
ç |
|
3x - 7 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||
Имеем |
|
неопределе ость |
|
[1¥ ] . |
Для |
вычисления предела воспользуемся |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
следствием из вт рогоннзамечательного предела: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limu(x)v( x) |
= |
|
|
lim (u-1)v |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[1¥ ] = ex→a |
|
|
|||||||||||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ö9x+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
æ 3x +1 |
|
¥ |
|
lim ( |
3x+1 |
-1)×(9x+5) |
|
|
|
lim |
8(9x+5) |
|
24 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
= [1 |
] = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e |
|
|
|
= e . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
е |
|
|
|
|
|
x→∞ |
3x-7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
3x-7 |
|
|
|
||||||||||||||||||
x®¥ |
ç 3x - 7 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Э |
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x + sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5.lim |
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x®0 |
|
|
x ×sin |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
|
sin x + sin |
x |
|
|
0 |
|
2sin |
3x |
cos |
x |
|
|
2 × |
3 |
x |
|
9 |
|
||||||
Решение. lim |
2 |
|
= [ |
] = lim |
4 |
4 |
|
= lim |
4 |
= lim |
= ¥ . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→0 x × sin |
х |
|
|
|
0 |
x→0 x × sin |
|
|
|
x→0 |
x × |
x |
|
x→0 |
2x |
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
В нахождении предела использовали эквивалент: sinα ~α,приα → 0.
|
|
|
æ cos x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
||||||||||||
6. lim |
ö |
x2 -9 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x®3 |
è cos3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
(cos x-cos3) |
|
|
|
|
|
-2sin |
x-3 |
×sin |
x+3 |
|
|
|
-2× |
x-3 |
×sin |
x+3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ( |
-1)× |
1 |
|
lim |
|
|
|
lim |
2 |
2 |
|
lim |
2 |
2 |
|
|
-sin 3 |
|
|
tg3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
æ cos x öx-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
¥ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3( x-3)(x+3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
x |
→3 cos3×( x2 -9) |
|
|
|
x |
3 |
|
x |
3cos3×( x-3)(x+3) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
limç |
|
|
÷ |
|
|
= [1 ] = e |
→ |
|
cos3 |
x |
-9 = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
= e → |
|
|
|
|
|
|
|
= e6cos3 = e |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x®3 |
è cos3 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Исследовать на непрерывность и построить график фун ции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
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о |
е |
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ïx + π, x £ -π |
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ï |
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и |
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f (x) = ísin x,- π p x p π |
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ï |
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л |
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ï1, x ³ π |
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î |
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б |
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и |
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Решение. |
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|
б |
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ая |
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y |
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нн |
1 |
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y = 1 |
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|||||||
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|
|
ро |
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х |
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т |
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−π |
-π / 2 |
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π / 2 |
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π |
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е |
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л |
к |
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y = sinx |
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-1 |
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y = x +π |
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Э |
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Рис.1 |
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37
Функции y = x + π, y = sin x, y = 1являются непрерывными на всей числовой прямой. Значит, функция, возможно, имеет точки разрыва в точках, где изменяется ее аналитическое выражение, т.е. в точках x = −π , x = π .
Для исследования на непрерывность вычислим односторонние пределы функции в этих точках.
В точке x = −π |
имеем: |
lim |
|
|
f (x) = |
|
lim (x + π ) = 0, |
|
lim |
|
|
|
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|
АГНИ |
||||||||||||||||||||
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|
f (x) = lim sin x = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
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|
|
x→−π −0 |
|
x→−π −0 |
|
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|
x→−π +0 |
|
|
x→−π +0 |
|
|||||||||
Таким образом, |
|
lim |
f (x) = |
lim |
f (x) = f (-π ) . Следовательно, |
x = −π - точка |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x→−π −0 |
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|
x→−π +0 |
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непрерывности. |
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|||||||
В точке x = π |
имеем: |
lim f (x) = lim sin x = 0, lim |
|
f (x) = lim 1 = 1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x→π −0 |
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x→π −0 |
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x→π +0 |
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x→π +0 |
ка |
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||||||||||
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|||||||||||||
Таким образом, |
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lim f (x) ¹ lim f (x) . Значит, функция в точ е |
x = π имеет разрыв |
||||||||||||||||||||||||||||||||
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x→π −0 |
|
|
x→π +0 |
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е |
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|||||||
1-ого рода (скачок). |
|
|
|
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|
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|
|
т |
|
|
|
||||||||||||||
|
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|
о |
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|||||||||||||||
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|||
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|
и |
|
|
|
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|
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||
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л |
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|||
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Контрольные задан я |
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б |
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||||
|
Тема 4: Дифференциальное исчисление функции одной переменной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
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б |
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||||
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|
dy |
|
|
|
|
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Задание 1. Найти производную |
|
|
изаданной функции, |
в пункте в- найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
ая |
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|
dx |
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|||
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dy |
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d 2 y |
|
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|
|
|
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|
||||
производные |
, |
|
|
, в пункте д вычислить производную функции в указанной |
|||||||||||||||||||||||||||||||
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dx |
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|
dx |
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точке. |
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нн |
|
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|||
Задание 2. Вычислить предел функции по правилу Лопиталя. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
т |
|
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|||
|
|
|
к |
ро |
|
|
|
|
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|
|
Вариант 1 |
|
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||||||||||||||
|
е |
|
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||||||||||||||||
л |
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|
|||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 |
|
), |
|
|
|
ìx = ln2 t |
|
|
||
а) |
у = |
3 |
9х |
2 |
+ 4х - 5 + |
|
|
, |
б) |
у = arcsin |
2 |
3x |
|
в) |
í |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5х - 4)3 |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îy = t |
+ lnt |
|
||||
г) |
у = |
æ |
|
2 ö3х |
, y′ |
= ? |
|
д) f (x) = |
|
1- 2x |
, |
f ′(4) |
= ? |
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ç1+ |
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÷ |
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х |
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è |
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ø |
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1 |
+ 3 2x |
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38
2.а) lim ln( |
x - 5 |
) |
б) lim |
1− cos 3x |
в) lim x(ln(8 + x) - ln(x +1)) . |
|
tg 2 9x |
||||
x→∞ 5 x + 6 |
x→0 |
x→∞ |
|||
3.Найти угол пересечения кривых y = x3 , y = x12 .
4.С помощью дифференциала приближенно вычислить 5
34 с точностью
ε = 0,01, оценить допущенную относительную и абсолютную погрешности. |
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x2 - 2x + 4 |
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АГНИ |
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5. Исследовать с помощью производной функцию y = |
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x +1 |
, построить ее |
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график |
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в) íìx = ln3 t ка |
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1.а ) у = 4 |
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9х2 |
+ 7х − 5 + |
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1 |
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3 , б) у = arctg |
4 (9x2 ), |
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Вариант 2 |
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(2х − 4) |
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îy = t + ln t |
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г) |
у = х2 cos 4x |
, д) |
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f (x) = |
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x2 + 2 |
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x |
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, f ′(1) = |
? |
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2ln x - x |
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2 |
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л5 x |
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2. а) lim |
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б) lim x |
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sin |
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в) |
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и |
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) . |
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x -1 |
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x |
lim(сos |
x |
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+ 3sin |
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x |
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x→1 |
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x→∞ |
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x→∞ |
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3. Найти угол пересечения линий y = |
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2 |
sin x , |
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y = |
2 |
cos x . |
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ая |
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4. С помощью дифференци ла приближенно вычислить 4 |
16,64 |
с точностью |
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нн |
ую относительную и абсолютную погрешности. |
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ε = 0,01, оценить допуще |
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ро |
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5. Исследовать с пом щью производной функцию y = e |
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, построить ее |
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x+5 |
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график. |
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т |
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к |
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Вариант 3 |
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е |
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Задание 1. |
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(5x |
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), в) |
ìx = lnt |
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а) у = |
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+ |
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8х - 4 + |
2х |
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, б) у = arctg |
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í |
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(3х2 |
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-1)4 |
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îy = t + lnt |
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у = х7х2 −3 6 , д) f (x) = x3e |
x |
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г) |
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f ′(0) = ? |
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2. а) lim |
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tgx − x |
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б) |
limln x ×ln(x2 -1) в) |
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1 |
. |
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lim(x + 2x ) |
x |
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x→0 |
x − sin 2x |
x→1 |
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x→∞ |
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39 |
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3.Найти угол пересечения линий y =1+ sin x , y=1.
4.С помощью дифференциала приближенно вычислить 5
33 с точностью
ε = 0,01, оценить допущенную относительную и абсолютную погрешности.
5. |
Исследовать с помощью производной функцию y = - x2 |
+ 4x - 4 |
, построить ее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) |
у = х2sin 3x , |
д) |
|
f (t) = ln(1+ 2−4t ) , |
f ′(0) = ? |
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x |
АГНИ |
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график. |
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Вариант 4 |
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1. а) у = 3 |
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2 |
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, |
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б) |
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у = arccos |
3 (5x2 ) , |
в) íìx = 4(t - sin t) |
, |
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4х3 |
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- 3х -1 - |
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(9х |
- 3)5 |
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îy = 3(1- cost) |
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ка |
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x→3 |
x - 3 |
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x2 - x - 6 |
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x→1 |
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πx |
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x→0 |
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2. |
а) lim( |
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1 |
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- |
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) |
б) |
lim |
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в) lim(1+ |
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е |
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3tg2 x)ctg 2 x . |
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ln(1- x) |
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3. |
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Найти угол пересечения линий y = x - x3 , y=5х.о |
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4. |
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С помощью дифференциала приближенно вычислить 5 31 с точностью |
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и |
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ε = 0,01, оценить допущенную относ тельную и абсолютную погрешности. |
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график. |
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ая |
б |
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ln |
x |
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5. |
Исследовать с помощью производной функцию y |
= |
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, построить ее |
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x |
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нн |
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îy = 3t 3 |
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ро |
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(2х + 5)2 |
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Вариант 5 |
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1. |
а) у = 3 |
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т |
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7 |
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, |
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б) у = |
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, |
в) |
íìx = (8t + 3)cost |
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5х4 |
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- 4х3 +1 |
- |
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arctg(7x3 ) |
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к |
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е |
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2 |
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л |
5х2 |
+4 |
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2 |
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2 |
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π |
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г) |
у = х |
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, д) |
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f (t) = |
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a |
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+ b |
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- 2abcos2t , |
f ¢( |
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) = ? |
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x - a |
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etgx -1 |
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3 |
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2. |
а) lim arcsin |
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× ctg (x - a) |
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б) |
lim |
в) lim(cos2x) |
x2 |
. |
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a |
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Э x→ a |
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x→0 tgx - x |
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x→0 |
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3.При каком значении параметра а кривая y = 14 (аx + x3 ) пересекает ось OX под углом 45o .
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