Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Елабужский институт Казанского (Приволжского) федерального университета (бывш. ЕГПУ)

Предмет:

Математика

Файл:

Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

706.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

5. Исследовать с помощью производной функцию y =	x2	+ 4	, построить ее
	x2	-1

график.

Вариант 25

- 2tgx

АГНИ

1.а)

у = 3

(4 + х4 - 8х

2 )7

, б) y = 10arcctg (

−x),

в) íïx = 3cos

2t ,

(- 4x + 9)12

ïy = 3sin 3

г) у = 2 x

, д)

x = a(t − sint), y = a(1− cost) ,

y′ = ?при t =

π .

б) lim x2 × sin 3 ; в)

ка

2. а)

lim

cos2 x

;

lim x

1+3ln x

3 ϕ

→

1+ cos4x

x→∞

3.Вычислить наибольшее значение радиуса кривизны линии r = a sin .

4. С помощью дифференциала приближенно выч слить arctg1,08 с точностью

ε = 0,01, оценить допущенную относительную и абсолютную погрешности.

5. Исследовать с помощью производной функцию y =

, построить ее

график.

ая

-1

нн

Вариант 26

в) íìx = 9t cos2t ,

б) y = 5arctg2 (4x) ,

1. а) у = 4

(3x3 + 5х2 )3

y// = ?

ро

(4x - 7)5

îy = 9t sin 2t

f ¢(π ) = ?

г) у = (arctg

)2x , д)

f (x) = 3

tg 2

3 1 + 2x +1

-1

; в) lim(ln(1))x .

2. а)

lim

; б) lim

еx→−1 2 + x + x

x→0

sin3x

x→0

3.Составить уравнения касательной и нормали к полукубической параболе

x = t2 , y = t3 , проведенных при t=2.

4. С помощью дифференциала приближенно вычислить

с точностью

490

ε = 0,01, оценить допущенную относительную и абсолютную погрешности.

5. Исследовать с помощью производной функцию y = e2x +1 , построить ее

график.

Вариант 27

1- 2sin x

ex3

-1

tgx

АГНИ

1. а) у =

(3x2

+ 7х)5

б) y = 5arcsin 3x × ln(9x + 2), в) íìx =

8(t sin t + cost) ,

(- 4x2

+ 9)7

îy = 4(sin t - t cost)

г) у = (arcsin 2x)x3 , д)

f (x) =

1- 4x

, f ′(

1) = ?

1+ 3

ка

2. а)

lim

; б) lim

; в) lim(ln(ctgx)) .

cos3x

x→0

→ 6

cos x -

-1

3.Плот подтягивается к берегу с помощью каната, ко орый натягивается на

ворот со скоростью 50м/мин. Определить скорость движения плота в тот

момент, когда его расстояние от берега будет 25м, если ворот находится на

берегу и на 6

м выше поверхности воды.

4. С помощью дифференциала прибл женноб

вычислить cos650

с точностью

ε = 0,01, оценить допущенную относительнуюи

и абсолютную погрешности.

ая

5. Исследовать с помощью производной функцию

y =

, построить ее

x2 -16

график.

ро

нн

Вариант 28

б) y = 9arcsin 3x × ln(5x -12), в) íìx = 8(t sin 2t + cos 2t)

1. а) у =

(4x3

+ 7х)6

(- 8x3 + 9x)4

îy = 8(sin 2t - t cos 2t)

г) у = (arcsin 7x)

, д)

f (x) = x(1+

x3 ) , f ′(1) = ?

-1

tgx

2 − 5

2. а)

lim

; б) lim

sin 7x

; в) lim(ln(ctg2x)) .

x→0 x

1 − x2

x→0

3.Найти уравнения касательной и нормали к кривой x2 + y2 + 4x - 2y - 3 = 0

в точках ее пересечения с осью OY.

4. С помощью дифференциала приближенно вычислить lg1,5 с точностью ε = 0,01, оценить допущенную относительную и абсолютную погрешности.

5. Исследовать с помощью производной функцию y =		x3	, построить ее
	4	- x2
график.

5 - x2

Вариант 29

АГНИ

у = 10

, б) y = 6arcsin 2x × ln(9x2 -12),

в) íìx = arcsin(t 2 -1)

1.а)

(4x3 + 7х3 )5

(− 8

+ 9)6

îy = arccos 2t

г) у = (ar cos2x)

д)

f (x) =

1+ x

f ′(1) = ?, f ′(0) = ?

ка

x→0 x

x→0

sin2 7x

x→1 2x - 5

1− x2

2. а) lim1− cos 4x

lim cos x − cos 5x ; в)

; б)

lim(2x + 4)x 2 −1 .

т3

3.Найти уравнение нормали к астроиде

t в точке, для которой

x = 2cos t, у

2sin

t = π4 .

4. С помощью дифференциала прибл женно вычислить lg101с точностью

ε = 0,01, оценить допущенную относ тельную и абсолютную погрешности.

ая

- 2ln x , построить ее

5. Исследовать с помощью производной функцию y = x

график.

нн

1.а) у = 4 (7x3 −ро3х) +

, б) y = 9arctg3x × ln2

(3x - 2),

в) í

Вариант 30.

ïx = 5sin

(− 9x + 4sin 2x)2

= 5cost

îy

г) у

е= (arctg2x)52 x , д)

f (x) = (

5 - x2

, f ′(1) = ?

2 - x

x +1

1 − cos 4x

arctg 4x

x −3

2.а)

lim

; б) lim

; в) lim(3x - 8))

sin2 8x

sin 7x

x→0

x→3

3.Под каким углом пересекаются эллипс

+ y2

=1 и парабола 4у = 4 - 5x2 ?

4. С помощью дифференциала приближенно вычислить tg590 с точностью ε = 0,01, оценить допущенную относительную и абсолютную погрешности.

5. Исследовать с помощью производной функцию y =

, построить ее

x3 -1

график.

АГНИ

а)

у = 6

(7x2

- 3х) +

(- 9x

+ 4cos 2x)2 .

Образец выполнения контрольных заданий по теме №4

Найти значения производных

ка

+ (-9x2 + 4cos 2x)−2 .

Решение. Преобразуем функцию к виду у = (7x2 - 3x)6

Воспользовавшись правилом

взятия

пр извтдной сложной функции,

получим

−1

(7x

- 3x)

(14x - 3)

- 2(-9x

4 cos 2x)

(-18x - 8sin 2x) .

б)

y = 3arctg7 x

× ln7 (3x - 2).

ая

Решение. Определим производную по правилу взятия производной

произведения функций:

y¢ = 3

× ln 3 ×

нн× ln (3x - 2)+ 3

× 7 × ln (3x - 2) ×

× 3 .

arctg 7 x

)

× ln

(3x - 2)+

arctg 7 x

× (ln

(3x - 2)) ,

arctg 7 x

ро

arctg 7 x

1 + 49x2

3x - 2

y¢

× ln 3 ×

× ln

(3x - 2)+ 21× 3

× ln

(3x - 2) ×

arctg 7 x

1 + 49x2

3x - 2

ìx = cos2t

в)

íy = sin 2t .

ЭРешение. Искомые производные найдем по формулам

yt′

¢¢

(y′x )′t

xt¢

, yxx

y′x

2cos 2t

= −ctg2t,

¢¢

sin2 2t

yxx

= -

− 2sin 2t

- 2sin 2t

sin3 2t

г)

y = (x2

+ 4x)sin 2x .

Решение. Для дифференцирования степенно-показательной функции,

предварительно прологарифмируем функцию.

АГНИ

ln y = ln((x2 + 4x)sin 2x ) ,

ln y = sin 2x × ln(x2

+ 4x) ,

y′

= 2cos 2x × ln(x2

+ 4x) + sin 2x ×

2x + 4

ка

x2 + 4x

2x + 4

= y(2cos2x ×ln(x

+ 4x) + sin 2x × x2

+ 4x),

sin 2x

y¢

= (x

+ 4x)

(2cos2x × ln(x

+ 4x) + sin 2x ×

+ 4x

д) Для данной функции у = x

в точке x0=1.

+ arctg2x

вычислить производную у

′′

Решение.

ая

у′ = (x2 + arctg 2x)′ =

2x +

+ 4x2

нн

)¢

у¢¢ = (2x +

)¢ =

2 -

2(1+ 4x

= 2 -

16x

2 2

ро

(1+ 4x )

16(1+ 4x2 )2

-16x × 2(1+ 4x2 ) ×8x

16(1+ 4x2 )(1+ 4x2 -16x2 )

у¢¢¢ = (2 -

16x

)¢ = -

= -

(1+ 4x )

4x )

16(1-12x2 )

16(1- 0)

¢¢¢

, у

= - (1+ 0)

3 = -16 .

ул= - (1+ 4x2 )3

(0)

Вычислить пределы по правилу Лопиталя:

а) lim ln(

x2 + 4

) .

x→∞

3 2x -1

é¥ ù . êë¥ úû

Решение. Так как под знаком предела числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности при x → ∞ , то имеем неопределенность

Для ее раскрытия применим правило Лопиталя.

lim	f (x)	=	é	¥ ù	= lim	f ¢(x)	.
	g(x)		ë	¥ û
x→∞					x→∞	g (x)
			ê	ú		¢

АГНИ

ln(x2 + 4)

é¥

x × 3 (2x -1)2

¥ù

+ 4

lim

= lim

= 3lim

= ê

ú .

+ 4

2x -1

x→∞

ë¥

x→∞

¥û

(2x -1)2

Применим еще раз правило Лопиталя:

ка

lim

== 3lim

= ê ú = 3lim

−1

ln(x2

+ 4)

x × 3

(2x -1)2

é¥ù

1× 3

(2x -1)

+ + x × 3 × 2 × (2x -1) 3

x→∞

x + 4

ë¥û

x→∞

2x -1

3(2x -1) + 4x

2x -1

10x - 3

= 3lim

= lim

- x

о= 0

x→∞

2x -1

arctg 2013x

б) lim

. Так как под знакомипредела числитель и знаменатель дроби

x→0 sin 2011x

ая

стремятся к нулю при

x → 0

, то имеем неопределенность êé

úù . Раскроем ее по

нн

1+ 0

ë0 û

правилу Лопиталя.

роx+1

2013

arctg2013x

1+ (2013x)

lim

= lim

2013

= ê

sin 2011x

2011cos2011x

2011×1

2011

x→0

∞

тx−2

в) lim(4,5x - 8))

x→2 к

Имеем неопределенность [1

ЭВведем обозначение y = (4,5x - 8))

x+1

x−2

. Найдем натуральный логарифм функции.

ln y = ln((4,5x - 8))

x+1

x−2

ln y =

x +1

× ln(4,5x - 8)

x - 2

Вычислим предел натурального логарифма функции, а затем сделаем вывод о пределе самой функции.

limln y = lim

x +1

× ln(4,5x -

8) = [¥ × 0]= lim

(x +1) ln(4,5x - 8)

é0

x - 2

x→2

ë0

1× ln(4,5x - 8) +

4,5(x +1)

0 +

4,5(2 +1)

lim

4,5x - 8

4,5 × 2 - 8

= 13,5

АГНИ

x→2

Тогда lim y = e13,5 .

x→2

Под каким углом пересекаются кривые y = (x - 2)2 , y = -4 + 6x - x2 ?

Решение.

ка

Под углом между кривыми y = f 1(x), y = f2 (x)

в их общей точке М0(x0,y0)

понимают угол между касательными и М0А и М0В к эти кривым в точке

М0.

Угол определяется по известной формуле аналитической геометрии:

(x0 ) - f1

(x0 )

tgϕ =

(x0 )

1+ f1 (x0 ) f2

Найдем точку пересечения кр вых:

нн

ая

(x - 2)

= -4 + 6x

- x .

x1 =1, x2 = 4.

Вычислим угол ϕ1

между касательными, проходящими через точку x1 =1.

ро

= (2x - 4)

= -2,

f1 (1)

x=1

f2¢(1) = (6 - 2x)

x=1 = 4,

4 - (-2)

tgϕ1 =

1+ 4 × (-2)

7 .

ϕ1 = arctg

= 0,8571 ≈ 400 36′ .

Итак, в точке с абсциссой х=1 параболы пересекаются под углом 40036′ .

Вычислим угол ϕ2 между касательными в точке x2

= 4.

f1 (1) = (2x - 4)

x=4 = 4

f2¢(1) = (6 - 2x)

x=4 = -2,

- 2 - 4

tgϕ2 =

1+ 4 × (-2)

= 7 ,ϕ2

» 40

АГНИ

Как видим, параболы в обоих случаях пересекаются под одним углом.

4. С помощью дифференциала приближенно вычислить 385 с точностью ε = 0,01, оценить допущенную относительную и абсолютную погрешности.


Решение. Представим данное число в				виде 3	85	= 3 43 + 21. Введем
функцию y =			. Пусть x = x0 + Dx , тогда x0 = 64,	x = 21.
функцию y =	3	x	. Пусть x = x0 + Dx , тогда x0 = 64,	x = 21.
	3

Воспользуемся формулой приближенных вычислений:

ка

′

y(x0

+ D

y(x0 )

D т

y (x0 )

x .

y(x0 ) =

3 x0

64 = 4,

1л

y (x) =

(

¢и

y (x0 )

= y (64) =

64)2

ая

3(3

Вычисляем 3

» 4,44 .

» 4 +

× 21 = 4,4375

нн

Абсолютная погреш ость:

4,44− 4,4

= 0,04

ро

4,44 - 4,4

Относительная погрешность:δ =

×100% = 0,9% .

4,44

0) и построить ее график.

5.Иссл кдовать функцию y = 3 2ax2

- x3 ,(a f

Решение.

1.Область определения: D(y) = R ,так как корень третьей степени имеет смысл при любом значении подкоренного выражения.

2.Элементы симметрии.

а) Исследуем на четность, нечетность: y(-x) = 32a(-x)2 - (-x)3 = 32ax2 + x3 .

Так как y(-x) ¹ y(x), y(-x) ¹ -y(x) , то данная функция общего положения.

б) функция не является периодической. 3. Точки пересечения с осями координат:

а) Точки пересечения с осью ОХ: y = 0, 2ax2 - x3 = 0, x2 (2a - x) = 0 ® x1 = 0, x2 = 2a .

б) Точки пересечения с осью ОУ: х=0,у=0. График проходит через начало координат.

4. Промежутки знакопостоянства:

ка

АГНИ

y ³ 0 Û x

2 (2a - x) ³ 0

Рис.2.

Решая

неравенство

получим y ³ 0 Û x Î(-¥;2a].

методом

интервалов,

ая

Следовательно, график д нной функции при x Î(-¥;2a]находится не ниже ОХ, а

при x Î(2a;+¥) - ниже ОХ.

5.Асимптоты.

нн

а) вертикальные асимптоты отсутствуют, так как нет точек разрыва.

ро

б) Ищутнаклонные асимптоты у = кx + b .

Опр деляю параметры для правой наклонной асимтоты:

лк1

2ax2

- x3

= [¥

= lim

] = lim 3

-1 = -1.

x→+∞ x

x→+∞

= lim ( y − kx) = lim (3

+ x) = [∞ − ∞] =

2ax 2

− x3

x→+∞

Итак, y = −x + 23a -правая наклонная асимптота.

Аналогично, можно определить параметры для левой наклонной асимптоты:

к2

= lim

3 2ax2 - x3

= [¥

] = lim

-1 = -1,

x→−∞ x

x→−∞

= lim ( y − kx) = lim (3

+ x) = [∞ − ∞] =

2ax 2

− x3

x→−∞

Итак, левая асимптота совпадает с правой - y = −x +

Значит, график имеет единственную наклонную асимптоту y = −x +

ка

6.Точки возможного экстремума: y′ = 0или

АГНИ

y′ не определена.

−2

Найдем производную.

y′ =

(2ax 2

− x3 )

(4ax − 3x2 ) .

éx = 0

= 0 Û 4ax - 3x

= 0 .

y′ не определенаÛ 2ax2 - x3 =

0 Û

éx

ая

ëx

= 2a

Исследуем знак производной на D(y).

нн

4 а

ро

2а

Риск.3

xmin

0, ymin

2 .

По знаку производной получим:

2a3

xmax

a, ymax =

Функция

убывает

при

x (−∞;0) и

(

a;2a) и(2a;+∞) ;

возрастает при

x (0; 43 a) .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
17.03.2016706.1 Кб30Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie.pdf
#
14.05.201516.92 Кб2Класс 2 Предмет Матем Дата.docx
#
14.05.201539.42 Кб3математика.doc