Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Елабужский институт Казанского (Приволжского) федерального университета (бывш. ЕГПУ)

Предмет:

Математика

Файл:

Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

706.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Решение. Дано ЛНДУ II порядка с правой частью специального вида.

Решение данного уравнения ищем как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения уравнения.

Соответствующее однородное уравнение имеет вид y′′ −8y′ + 20y = 0 .

Характеристическое уравнение: k 2 −8k + 20 = 0.

АГНИ

D = 64 - 80 = -16,

= 4i,

k1,2 =

8 ± 4i

= 4 ± 2i .

Решение соответствующего однородного уравнения:

yo.o = e4x (C1 cos2x + C2 sin 2x) .

Осталось

отыскать частное

решение уравнения

по

виду

правой

части

уравнения.

Представим

правую

часть

кав

виде

f (x) = 10(sin 2x + cos2x) = e

ак

как

числа

вида

α ± βi = 0 ± 2i не являются корнями характерист ческ го уравнения, то искомое

частное решение примет вид y =

Аcos2x + Bsin 2x . Найдем производные первого

и второго порядка для функции

и подставим их в уравнение.

y ′ = −2Аsin 2x + 2B cos 2x,

− 4B sin 2x

y ′′ = −4Acos 2x

ая

− 4Acos2x − 4Bsin 2x −8(−2Asin 2x + 2Bcos2x) + 20(Acos2x + Bsin 2x) = 10sin 2x +10cos2x

,í

8нн.

(−4A −16B

+ 20A)cos2x + (−4B +16A + 20B)sin2x =10sin2x +10cos2x .

ро

ì16A -16B = 10

ïA =

î16A +16B = 10

ïB = 0

cos 2x , а общее решение

Итак, ис омое частное решение уравнения y =

= e4 x (C1 cos 2x

+ C2 sin 2x) + 5

сos2x .

yо.н

7. y′′ + y =

, y(0) = 1, y′(0) = 0 .

cos x

Решение. Дано ЛНДУ II порядка. Воспользуемся методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.

101

Решение соответствующего однородного уравнения :

y′′ + y = 0 .

Характеристическое уравнение: k 2 +1 = 0, k = ±i.

yо.о = С1 cos x + C2 sin x .

Далее,

искомое решение ЛНДУ

порядка будем

искать в виде

yо.н

= С1 (x) cos x + C2 (x)sin x , где функции С1(х),С2(х) подлежат определению.

′

, здесь y1 (x) = cosx, y2 (x) = sin x .

Составим систему Лагранжа: íïC1

y1 + C2

= 0

= f (x)

АГНИ

îC1

y1 + C2

′

sin x = 0

′

ïC1

cos x + C2

= 1.

. Решив систему, получим C1

= -tgx,C2

ïC1¢(-sin x) + C2

¢ cos x =

ка

cos x

Итак,

C ′

= -

tgxdx;

C (x) = ln

cos x

+ C

= 1; C2 (x) = x + C2

Значит, искомое решение

yо.н

= (ln

cos x

, где

+ C1 )cos x + (x + C2 )sin x

С1,C2 -произвольные константы.

нн

ая

ро

102

Контрольные задания

Тема 8: Ряды

I. Исследовать на сходимость числовой ряд.

∞

n + 3

1.å

2 3

(n −1)!

∞

2. å

(n +1)!

∞

2n+1 (n3 +1)

3. å

(n +1)!

∞

10n n!

4. å

(2n)!

∞

(2n + 2)!

5. å

(3n

−1)!

∞

n +1

6. å

sin

(n -1)!

∞

arctg

7. å

(n −1)!

∞

8. å

нн

51n .

9. å1

(2nn!)!tg

ро

∞

−1)

∞

6n (n

10. å

n=1

2)!

n + 5

∞

12.

лån=2

10n (n −1)!

∞

Э13. å

(2n −1)!

∞

7n n!

14. å

n=1

(3n)!

ая

∞

n + 8

16. å

(n − 2)!

∞

17. å

n 1

n=1

−

∞

(n!)

18. å

+1)(2n)!

ка

∞

n +

19. å

n=1

−

20.

∞

5n 3

nе2

n=1

(n +1)!

2n n!

∞

n .

21.

n=1

22.

∞

5n (n +1)!

(2n)!

n=1

∞

23. å

(n +

n 1

2)!

∞

3 × 5 × 7... × (2n + 1)

24. å

2 × 5 ×

8 ×... ×

(3n -1)

n=1

∞4n−1

25.ån=1 3n (3n +1)!.

26.å∞ 2(2n n+)!3.n=1

∞		(3n + 2)!
27. å							.
	10			n	n	3
n=1
∞			n −1
28. å								.
	4		n
2			(3n −1)!

103

АГНИ

∞	1× 3× 5 ×...× (2n -1)				∞		10n
15. å				.	30. å					.
	3	n	(n +1)!			3	n	2	+ 2
n=1					2		+

II. Исследовать на сходимость ряд

∞

−n2

∞

2n + 3

1. å

16. å

(

)2n+1.

3n (n +1)−n

n 1

9n + 5

∞

2n + 7

2. ån5 × (

)n .

17. å

(

)n 3 .

3n +

n=1

3n + 5

∞

3. å (

2n2

+1)n 2 .

18. ån(

)

2n .

n=1 4

n=1

ка

n=1

n +1

n=1

+ 5

∞

4. å

× (1 +

)n .

19. ån5 ×

n .

∞

2n +1

n 2

5. å (

3n - 2

)

20.

åоn × (

3n + 5

)

лå

n=1

∞

2n + 2

∞

21.

(

)

× n

n × (

)

n=1

3n + 1

n=1

7n + 1

∞

4n - 3

∞

7. å (

)n 2 .

22.

ån2 × (

)n2 .

3n + 5

n=1

5n + 1

ая

n=1

∞

8. å (

)n 2 .

нн

23. ån5 × arctg 2n (

) .

n=1

10n + 5

n=1

3n + 5

n=1

∞

ро

∞

9. ån × arcsin n

(

24. å

n × (

)3n .

∞

2 + n

n 2

∞

10.

) .

25.

(

) .

n=1

(

-1

n=1

2n +

∞

n n -1 n

∞

3n + 7 n2 +n

еå

11.

n=1 5

× (

n + 5

) .

26.

n=1

(

3n +

) .

∞

Э12. ån

7 × (

)n .

27. å (

)2n

+3n .

3n +

4n +

n=1

∞

2n + 7

∞

13. å

(

)n 2 .

28. å (

+4n .

2n +

n=1

n + 5

n=1

104

АГНИ

∞

n π

∞

n -1

14.

ån

×sin

29. å

(

)

n + 5

n=1

n=2

∞

7n2

15.

ån

× arctg

30. å

(

)

+ 5

n=1

∞

(-1)n

∞

(n +1)

АГНИ

III.Найти интервал сходимости ряда, исследовать поведение ряда на концах

интервала

∞

(n - 2)

∞

(n +1)

1. å

(x + 3)

16. å

(x + 6)

2n + 3

(3n +1)

n=1

каn

∞

(n +1)

2. å

(x - 3) .

17. å

(x -

4) .

n=1

(n +1)5

n=1

(3n +1)

ån=1

18.

ån=1

(x -1) .

(3n +1)3

(x - 6) .

9n n

∞

(-1)

(n +1)

4. å

(n + 3)2 2n−1

19.

åи(n +1)2 2n

(x + 6)

n=1

∞

(-1)n

∞

(-1)n

5. å

(x -

20. å

(x + 4)

(4n +1)3

n=1

ая

n=1

∞

(x + 6)

2n+1

∞

(x - 5)

2n+1

(-1)

6. å

3n +

21. å

(x + 3)n .

n=1

нн

n=1 (3n -1)2

7. å

22. å

(x +1) .

3n +

n=1

n=1 (n + 2)!

∞

ро

∞

8. å

(-1)

(x + 6)n .

23. å

(x -1)3n .

(n + 3)ln(n + 3)

(3n +1)

n=1

∞

к(-1)

9. å

(x + 9)n .

24. å

(x + 4)2n+1.

(n + 4)ln(n + 4)

1)!

n=1

еn=1

∞

(x - 7)2n+1

∞

(-1)n

Э10.

ån=1

25. ån=1

(x +

(2n2 - 5n + 8)4n

(4n +1)

∞

(x -

∞

(-1)

11. å

26. å

(x + 2)n .

(3n + 8)2

(4n -1) 2

n=1

105

∞

(−1)

∞

(−1)

12.

(x − 6)n .

27. å

(x +1)n .

(n + 5)ln(n + 5)

(n + 2)ln(n + 2)

n 1

∞

(−1)

∞

13.

(x − 9)n .

28. å

(x − 3)n .

(n + 2)ln(n + 2)

n 1

∞

(x + 5)n

∞

(−1)n

14. å

29. å

(x − 4)

(3n + 8)3

(4n −1)

n 1

∞

(x − 2)n

∞

(n +1)

15. å

30. å

(3n

+1)

n=1

n=1 (2n +1)

ка

20 − x − x

6 + x − x

IV. Разложить функцию в ряд Маклорена

1. y =

16.

y =

17.

y = ln(1+ 2x − 8x2 ) .

4 −

y =

18.лy = 2xsin 2

− x .

1 −

y =

19.

y = (x −1)shx .

6 + x − x2

ая

y = sh2x

21.

y = sin 3x − cos3x

y = ln(1− x

−

6x2 ).

20.

y = x

× 3

- 2x

нн

ро

arctg2x

y = (x −1)sin 5x .

22.

y =

−1 .

23.

y = 4 16 - 5x .

y = ch3x

л9. y =

24.

y = ln(1− x − 20x2 ) .

8 + 2x − x2

10.

y =

25.

y = 3 27 - 9x

32 − 3x

11.

y = ln(1− x −12x2 ) .

26.

y =

x − 3

(x + 4)2

106

АГНИ

12.	y = (3 + e−2x )2 .							27.	y = (x −1)chx
13.	y =	arcsin 2x			-1.			28.	y =		x	.
										3	- x
			x
14.	y =		1			.		29.	y = xsin 2 4x

		x2 - 5x + 6												АГНИ
15.	y = x2 ×						.	30. y = ln(1+				3x +	2x2 ) .
				4 - 3x

V. Представить периодическую функцию f(x), заданную на полупериоде [0,l] рядом Фурье по синусам или косинусам. Построить график функции и график полученного ряда Фурье.

ка

ï2 + sin x,0 £ x £

, по косинусам.

f (x) = í

p x £ π

ì0

,0 £ x £ π

, по синусам.

f (x) = í

p x

£ π

ï- cos 2x,

ая

ï0,0 £ x £

, по косинусам.

f (x) = í

нн

ï0

,0 £ x £

ï- sin x,

p x £ π

ро

, по синусам.

îт2

f (x) = í

ïcos x, π p x £ π

+ sin x,0 £ x £

е1

, по синусам.

f (x) = í

p x

£ π

+ cos x,0 £ x £

ï1

2 , по косинусам.

f (x) = í

p x

£ π

107

£ x £

ï0,0

, по синусам.

f (x) = í

ïсos3x, π p x £ π

£ x £

ï0,0

, по косинусам.

f (x) = í

p x £ π

ï- sin 2x,

ì2x - 3,0 £ x £ 3

,по синусам.

f (x) = í

î-1,3 p x £ 6

ì2 - x,0 £ x £ 2

ка

10.

f (x) =

í- 2, 2 p x £ 4 , по косинусам.

ì1,

0 £ x £

11.

f (x) = í

, по косинусам.

î2 - x,2 p x £ 4

ì-

2,0 £ x £

12.

f (x) =

3 p x £ 6

, по синусам.

í2x - 4,

ì- x + 6,0 £ x £ 3

13.

f (x) =

ая

ì2 - 4x,0 £ x £ 4

í3,

3 p x

, по косинусам.

нн

14.

f (x) =

, по синусам.

ï10, 4 p x £ 8

ро

ì- 3x, 0 £ x £ 3

15.

f (x) =

, по косинусам.

тí

ï9,

3 p x £ 6

ì- x + 2,

0 £ x £ 2

16.

f (x) =

, по косинусам.

2 p x £

ï4,

АГНИ

108

ì- 2,

0 £ x £ 1

17.

, по синусам.

f (x) = í

3x,

1 p x £ 2

ï-

0 £ x £

ï- x,

18.

, по косинусам.

f (x) = í

ï3,

p x £ π

- sin 2x,0 £ x £

19.

ï2

2 , по косинусам.

f (x) = í

p x £ π

ка

ì3x,0 £ x £ 4

20.

4 p x £ 8

, по синусам.

f (x) = í3,

ì- x,

0 £ x £

21.

, по косинусам.

f (x) = í

3 p x £

ï-

ì-

4x,0 £ x £

22.

f (x) = í

2 p x £

, по косинусам.

ï-

, поаясинусам.

ì- x,0 £ x £ 3

23.

f (x) = í

3 p x £ 6

ï-

нн

ì-

4,0 £ x £ 2

24.

f (x) = í2x - 8, 2 p x £ 4 , по синусам.

ро

тî

ì2 - 3x,0 £ x £ 3

25.

еï

3 p x £ 6

, по косинусам.

f (x) = í7,

ì2

+ 2x,0 £ x £ 2

26.

2 p x £ 4

, по косинусам.

f (x) = í6,

АГНИ

109

27. f (x) = ì2

í-

ì2 28. f (x) = ïí-

- 3x,0 £ x £ 2 , по косинусам.

4,2 p x £ 4

+ 2x,0 £ x £ 3

8, 3 p x £ 6 , по синусам.

ï0,

p x £ π

АГНИ

ì3x,0

£ x £

29.

f (x) =

, по косинусам.

2 p x £ 4

ï6,

30.

f (x) =

ï3 - sin 2x,0 £ x £

2 , по косинусам.

ка

∞

Образец выполнения контрольных заданий по

еме 8

1.Исследовать ряд на сходимость:å

n=1

Решение. Воспользуемся радикальнымбпризнаком Коши. Для этого вычислим

б= é¥ù = lim

3×

3n n!

3× n

>1-

пределlim n

= lim n

= lim

ряд

расходится по

ая∞

n+2

n→∞

ë¥

û n→∞

радикальному признаку Коши.

нн

2.Исследовать на сходимость: ån5 ×

n+2

ро

n+3

n=1

Решение. Применим признак Даламбера.

5 3

Найдем предел отношения последующего члена

an = n

an+1 = (n

+1)

к5

рядаек предыдущему.

lim

n+1

= lim(

(n +1)5 ×3n+3

) = lim

3(n +1)

¥ù

(

так

как степени

n+1

n+2

Э an

n→∞

×3

n→∞

числители и знаменателя равны, то предел равен отношению старших коэффициентов). Полученное значение предела меньше 1, то ряд сходится по признаку Даламбера.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
17.03.2016706.1 Кб30Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie.pdf
#
14.05.201516.92 Кб2Класс 2 Предмет Матем Дата.docx
#
14.05.201539.42 Кб3математика.doc