Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Елабужский институт Казанского (Приволжского) федерального университета (бывш. ЕГПУ)

Предмет:

Математика

Файл:

Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

706.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Образец выполнения контрольных заданий по теме №1.

- 2 - 3 0 2

	1. Найти				определитель						1			-1	2		2	,	получив предварительно										нули		в
											3			-1	5	- 2
											0			- 2	4		1
		какой-нибудь						строке			или			столбце.					Найти миноры					и		алгебраические
		дополнения элементов а23 ,												a34												АГНИ
		дополнения элементов а23 ,												a34
		Решение. Для вычисления удобно разложить определитель по строке или
		столбцу, содержащему наибольшее количество нулей. Обнулим
		некоторые элементы четвертого столбца. Для этого выполним следующие
																						ка
		действия: умножим элементы четвертой строки на 2 и сложим с третьей;
		умножим					элементы				четвертой							строки			на (-2)				и			сложим			с
																						е
		соответственными элементами второй и первой стро и. В итоге получим
		определитель, в четвертом столбце которого все эл менты,																									кроме a44 =1,
		равны			нулю.			Полученный							определитель						твычисляется						по		правилу
		треугольника. Итак:																	и
		треугольника. Итак:															л			о
			- 2 - 3 0 2						- 2 1 - 8 0																- 2			1	- 8
			- 2 - 3 0 2						- 2 1 - 8 0
			1	-1 2 2					1						и						× (-1)4+4 M =
								=							и			× A = a							1			3 - 6		=
								=			3 - 6 0 = a							× A = a							1			3 - 6		=
													б			б44			44 44				44
			3 -1 5 - 2						3 - 5 13 0																	3		- 5	13
			0	- 2 4			1		0		- 2			4	1
										ая
	= -78 +									ая
	= -78 +				40 -18 + 72 + 60 -13							= 63
Найдем миноры и алгебр ические дополнения элементов а23 ,																										a34 .
М 23 -это							нн																				и	3	столбца
М 23 -это				определитель,					полученный вычеркиванием 2 строки																		и	3	столбца
					ро
данного оп еделителя.
				т
			к																								и	3	столбца
М 34 -это				определитель, полученный вычеркиванием 2 строки																							и	3	столбца
данного определителя.
	е
Э		- 2 - 3 2
Мл=		3		-1 - 2			= -2 -12 + 0 - 0 + 8 + 9 = 17 -14 = 3
23
		0		- 2	1
М 34 =		- 2		- 3	0
		- 2		- 3	0
		1 -1 2				= 8 + 0 + 0 - 0 - 8 +12 = 12
		0		- 2	4
																11

Алгебраические дополнения определяем по формуле Аij = (−1)i+ j Mij .

Итак,	A23	= (-1)2+3 М23 = -3, A34 = (-1)3+4 М34 = -12 .
			ìx + 5y - z = 3
2.	Дана система уравнений: íï2x + 4y - 3z = 2 .
			ï
			î3x - y - 3z = -7			АГНИ
Проверить совместность системы уравнений. В случае совместности решить ее:
а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным методом.
Решение.		Совместность	данной системы	проверим	по теореме Кронекера-
						æ1		5	-1ö
					ка	ç			÷
Капелли.		Вычислим	ранги основной	матрицы	ка		2	4	- 3÷ ,
Капелли.		Вычислим	ранги основной	матрицы	системы А = ç		2	4	- 3÷ ,
						ç	3	-1	÷
						è	3	-1	- 3ø

составленной

из

коэффициентов

при неизвестных, и ранг расширенной

-1

- 3

матрицы

А = ç

÷ .

-1

- 3

- 7

С помощью элементарных преобразован й приведем расширенную матрицу к

ступенчатому виду. Для этого умнож м первую строку расширенной матрицы

на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с

ая

третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Имеем:

нн

æ1 5 -1

ö æ

-1

ö æ1 -1 5

3 ö

А =

ç2 4

- 3

2 ÷ ç0

- 6

-1

- 4

÷ ç0

- 6 -1

- 4 ÷

ро

» ç

-16

÷ » ç

ç3 -1 -

- 7÷ ç0 -16 0

÷ ç0 -16 0

-16÷

-1

- 6

- 4

-1

. Таким

образом,

расширенная

и основная матрица

» ç

-16

-16÷

системы имеют по три ненулевых строки.

Итак,

rangA = rangA

= 3 (т.е.

числу неизвестных). Значит,

система совместна и

имеет единственное решение.

а) Решим систему методом Гаусса. Для этого по виду преобразованной расширенной матрицы восстановим систему уравнений (вспомнив, что мы в ходе преобразования меняли второй и третий столбцы местами):

ìx - z + 5y = 3

ìx = z - 5 + 3

ìx = -4

= -4

= -4 Þ

= -2 .

í- z - 6y

í- z - 6

íz

= 1

î-16y = -16

îy

îy = 1

îy

АГНИ

б) Решим систему по формулам Крамера:

x =

, y =

D y

, z =

Главный определитель системы D =

-1

=-16.

ка

- 3

-1 - 3

5 -1

1 3 -1

1 5

= -16 , D z

= 32 .

Dx =

- 3

= 64, D y =

- 3

- 7 -1 - 3

3 - 7 - 3

о-1

- 7

D y

-16

Итак, x =

= -4,

y =

л=

= -2 .

-16

в) Решим систему матричным методом.

ая

Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем

систему в матричной форме:

ро

АX = B .

Тогда искомое решениеннопределяется матричным равенством

X = A−1 × B

-1

основной матрице системе А;

-вектор-столбец

где А к- матрица, обратная

членов системы.

свободныхе

Обратная матрица находится по формуле:

А−1 = 1 (Аij )T .

Здесь Аij- алгебраические дополнения элементов А- основной матрицы системы, (Аij )T - матрица, полученная транспонированием матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы А.

Обратная матрица системы существует, так как главный определитель системы

D = -16 ¹ 0.

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы системы.

А		=		4					3		= -15, А					= -				2		- 3				= -3, А								=		2			4		= -14,									АГНИ
А		=		4					3		= -15, А					= -				2		- 3				= -3, А								=		2			4		= -14,
11				-1			- 3							12						3		-	3								13					3			-1
				-1			- 3													3		-	3													3			-1
А		= -				5			-1			= 16, А				=			1		-1			= 0, А							= -				1			5		= 16,
А		= -				5			-1			= 16, А				=			1		-1			= 0, А							= -				1			5		= 16,
21						-1			- 3					22					3		- 3							23							3		- 2
						-1			- 3										3		- 3														3		- 2											ка
А		=			5	-1				= -11, А					= -			1			-1			= 1, А							=		1		5		= -6
А		=			5	-1				= -11, А					= -			1			-1			= 1, А							=		1		5		= -6
31					4	- 3								32				2				3						33					2		4
					4	- 3												2				3											2		4
			æ-15 - 3											-14ö									æ -15							16				-11ö
			æ-15 - 3											-14ö									æ -15							16				-11ö												е
(Аij			ç			16			0					16	÷	,	(Аij )T =						ç		- 3 0										1			÷								е
(Аij		)= ç				16			0					16	÷	,	(Аij )T =						ç		- 3 0										1			÷ .						т
			ç			-11 1								- 6	÷								ç		-14 16									- 6				÷				о
			è			-11 1								- 6	ø								è		-14 16									- 6				ø				о
							æ		-15 16 -11ö															æ x ö								æ									и				3 ö æ- 4				ö
						1	æ		-15 16 -11ö															æ x ö					-1			æ		-15 16 -								11ö æ			3 ö æ- 4				ö
	−1					1	ç										÷						ç ÷						-1			ç							л				÷ ç				÷ ç		÷
А		=					ç		- 3 0						1		÷ . X =							ç y÷			=					ç		- 3 0							1		÷ × ç		2		÷ = ç1		÷ .
А		=	-16				ç		- 3 0						1		÷ . X =							ç y÷			=		16			ç		- 3 0							1		÷ × ç		2		÷ = ç1		÷ .
			-16				ç		-14 16 - 6								÷						ç ÷						16			ç		-		б					- 6		÷ ç		- 7		÷ ç		÷
							è		-14 16 - 6								ø							è z ø								è		-	14 16						- 6		ø è		- 7		ø è- 2		ø
																																и
Таким образом,x=-4,y=1,z=-2.																												б
																						ая
																								Контрольные задания
		Тема 2: Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
															нн
		1.			Те				раэдр задан координатами своих вершин А,В,С,Д. Найти:
													ро
								т															;
					а) модуль вектора АВ																		;
						к
		е
					б) угол между векторами АВ и СД ;
л
Э					в) площадь треугольника АВС;
Э

г) объем тетраэдра ДАВС;

д) найти уравнение плоскости, содержащей основание тетраэдра – треугольник АВС.

е) длину высоты тетраэдра, проведенной из вершины Д;

ж) найти угол между плоскостями АВС и ДВС.

Координаты вершин тетраэдра заданы в таблице.

														Таблица 1

	№ варианта				Координаты		Координаты				Координаты			АГНИ
	№ варианта				Координаты		Координаты				Координаты			Координаты
					точки А		Точки В				Точки С			Точки Д
	1				(1,3,6)		(-3,2,6)				(-1,0,1)			(-4,6,-3)

	2				(-4,3,6)		(2,3,5)				(-10,5,8)			(-5,2,4)

	3				(7,2,1)		(7,2,4)				(5,5,2)		ка	(-4,2,1)
	4				(2,-4,-7)		(5,-6,0)					е		(-10,-8,7)
	4				(2,-4,-7)		(5,-6,0)				(-1,3,-3)			(-10,-8,7)

	5				(1,-2,4)		(2,5,1)				о			(6,-3,9)
	5				(1,-2,4)		(2,5,1)				(1,1,5)т			(6,-3,9)
										и
	6				(3,10,-1)		(-2,3,5)		л		(-6,0,-3)			(-6,7,-10)
	6				(3,10,-1)		(-2,3,5)				(-6,0,-3)			(-6,7,-10)
	7				(-3,4,-7)		(1,5,-5)	б			(-5,-2,0)			(-12,7,1)
	8				(-1,2,-3)		и				(2,1,-2)			(1,-6,-5)
	8				(-1,2,-3)		(4,-1,0)				(2,1,-2)			(1,-6,-5)
	9				(-3,1,-1)	ая	(-б9,1,-2)				(3,-5,4)			(-7,0,1)
	10				(1,-1,1)	ая	(-2,0,4)				(2,1,-1)			(-2,4,2)
	10				(1,-1,1)		(-2,0,4)				(2,1,-1)			(-2,4,2)

	11				нн		(1,-2,-1)				(0,-1,1)			(2,-1,7)
	11				(1,2,0)		(1,-2,-1)				(0,-1,1)			(2,-1,7)
	12				ро		(1,2,-1)				(2,-3,1)			(-5,-7,2)
	12				(1,0,3)		(1,2,-1)				(2,-3,1)			(-5,-7,2)
	13			т	(1,2,-3)		(2,0,6)				(2,-2,3)			(3,-2,-9)
	14		к		(2,-4,-3)		(5,-6,0)				(-1,3,-3)			(2,-10,8)
	л				(0,-1,-1)		(-2,4,6)				(1,-5,-9)			(-4,-13,6)
	15	е			(0,-1,-1)		(-2,4,6)				(1,-5,-9)			(-4,-13,6)
Э					(-1,-5,2)		(-6,0,-3)				(3,6,-3)			(10,-8,-7)
16					(-1,-5,2)		(-6,0,-3)				(3,6,-3)			(10,-8,-7)

	17				(2,1,4)		(3,5,-2)				(-7,-3,2)			(-3,1,8)

	18				(-2,-1,-1)		(0,3,3)				(3,1,4)			(-21,20,-16)

	19				(4,-8,2)		(3,4,1)				(0,3,1)			(-2,7,5)

								15

	20						(7,2,4)			(7,-1,-2)				(-5,-2,3)					(10,1,6)

	21						(7,3,1)			(9,8,-2)				(-5,-2,3)					(10,-1,6)

	22						(0,-3,1)			(-4,1,2)				(3,0,1)					(4,3,0)

	23						(2,2,5)			(2,-3,0)				(-10,5,8)					(-13,1,8)

	24						(1,3,0)			(4,-1,2)				(2,-1,5)						АГНИ
	24						(1,3,0)			(4,-1,2)				(2,-1,5)					(3,-1,4)
	25						(0,-4,1)			(-4,2,-1)				(3,-4,7)					(5,-12,5)
	26						(-1,2,-4)			(4,-1,2)				(3,0,-2)					(-4,3,5)

	27						(8,-2,6)			(7,-1,3)				(0,-3,4)					(10,3,-3)

	28						(-4,2,9)			(-2,3,5)				(-6,0,-3)					(1,-1,7)
	29						(1,1,-1)			(2,3,1)				(3,2,1)		е			(5,9,8)
	29						(1,1,-1)			(2,3,1)				(3,2,1)			ка		(5,9,8)
	30						(5,-4,2)			(0,-3,-2)					о				(5,4,-1)
	30						(5,-4,2)			(0,-3,-2)				(4,3,7)т					(5,4,-1)
												б	и
												б	и
		2. Найти разложение вектора x по азисулвекторов p,q,r .
											и
		Координаты векторов представлены в таблице.
									ая		б							Таблица 2
											б							Таблица 2
		№ варианта						Вектор x			Вектор p				Вектор q					Вектор r
		1						нн			{0,2,1}				{0,1,−1}					{5,−3,2}
		1						{15,−20,−1}			{0,2,1}				{0,1,−1}					{5,−3,2}

		2				ро					{1,0,1}				{1,−2,0}					{0,3,1}
		2			т		{2,7,5}				{1,0,1}				{1,−2,0}					{0,3,1}
					т
		3		к				{8,−7,−13}			{0,1,5}				{3,−1,2}					{−1,0,1}
		3	е					{8,−7,−13}			{0,1,5}				{3,−1,2}					{−1,0,1}
		4	е					{0,−8,9}			{0,−2,1}				{3,1,−1}					{4,0,1}
Э		л						{−13,2,18}			{1,1,4}				{− 3,0,2}					{1,2,−1}
		5						{−13,2,18}			{1,1,4}				{− 3,0,2}					{1,2,−1}

		6						{11,−1,4}			{1,−1,2}				{3,2,0}					{−1,1,1}

		7						{−1,7,0}			{0,3,1}				{1,−1,2}					{2,−1,0}

		8					{3,1,3}				{2,1,0}				{1,0,1}					{4,2,1}

											16

{23,−14,−30}

{2,1,0}

{1,−1,0}

{− 3,2,5}

{−13,2,18}

{1,1,4}

{− 3,0,2}

{1,2,−1}

{8,9,4}

{1,0,1}

{0,−2,1}

{1,3,0}

{−15,5,6}

{0,5,1}

{3,2,−1}

{−1,1,0}

{2,−1,11}

{1,1,0}

{0,1,−2}

АГНИ

{1,0,3}

{−19,−1,7}

{0,1,1}

{− 2,0,1}

{3,1,0}

{13,2,7}

{5,1,0}

{2,−1,3}

{1,0,−1}

{5,15,0}

{1,0,5}

{−1,3,2}

ка

{0,−1,1}

{−5,9,−13}

{0,1,−2}

{3,−1,1}

{4,1,0}

{− 9,−8,−3}

{1,4,1}

{1,−1,2}

{− 3,2,0е}

{6,−1,7}

{1,−2,0}

{1,0,4}

о{−1,1,3}

{− 5,−5,5}

{1,3,−1}

{0,4,1}

{− 2,0,1}

{− 9,5,5}

{2,0,−3}

{−1,2,1}

{4,1,1}

{6,5,−14}

{1,1,4}

{0,−3,2}

{2,1,−1}

{8,1,12}

ая

{1,2,−1}

{3,0,2}

{−1,1,1}

{−нн1,7,−4}

{−1,2,1}

{2,0,3}

{1,1,−1}

{1,−4,4}

{2,1,−1}

{0,3,2}

{1,−1,1}

ро

{3,1,8}

{0,1,3}

{1,2,−1}

{2,0,−1}

{6,12,−1}

{1,3,0}

{2,−1,1}

{0,−1,2}

{3,3,−1}

{3,1,0}

{−1,2,1}

{−1,0,2}

{8,0,5}

{2,0,1}

{1,1,0}

{4,1,2}

{11,5,−3}

{1,0,2}

{−1,0,1}

{2,5,3}

3. Найти канонические уравнения прямой.

1.	2x + y + z − 2 = 0,	2x − y − 3z + 6 = 0.
2.	x − 3y + 2z + 2 = 0,	x + 3y + z +14 = 0.

3. x − 2y + z − 4 = 0, 2x + 2y − z −8 = 0.

4. 6x − 5y + 3z + 8 = 0, 6x + 5y − 4z + 4 = 0.

5. 3x + 3y + z −1 = 0, 2x − 3y − 2z + 6 = 0.

ка

2x + 3y − 2z + 6 = 0, x − 3y + z + 3 = 0.

3x +

4y + 3z +1 = 0, 2x − 4y

− 2z + 4

8. x − 3y + z + 2 = 0, x + 3y + 2z +14 =

9. x + 5y + 2z − 5 = 0, 2x − 5y − z + 5 =

10.

6x − 7y − z − 2 = 0,

x + 7y − 4z

−и5 = 0.

11.

ая

= 0.

x − y + z − 2 = 0, x −

2y − z + 4

12.

нн

− y + 2z −1 = 0.

x + 5y − z +11 = 0,

13.

ро

x − y + z + 2 = 0.

x + y − 2z − 2 = 0,

т2x + y − 3z − 2 = 0,

2x − y + z + 6 = 0.

14.

4x + y + z + 2 = 0,

2x − y − 3z −8 = 0.

15.

16. 5x + y + 2z + 4 = 0,

x − y − 3z + 2 = 0.

АГНИ

17.	2x − 3y + z + 6 = 0,	x − y − 2z + 3 = 0.
18.	x + 5y − z − 5 = 0,	2x − 5y + 2z + 5 = 0.
		18

19.

6x − 5y − 4z + 8 = 0,

6x + 5y + 3z + 4 = 0.

20.

8x − y − 3z −1 = 0,

x + y + z +10 = 0.

21.

6x − 7y − 4z − 2 = 0, x + 7y − z − 5 = 0.

АГНИ

22.

3x + 3y − 2z −1 = 0,

2x − 3y + z + 6 = 0.

23.

4x + y − 3z + 2 = 0,

2x − y + z − 8 = 0.

24.

x − y − z − 2 = 0, x − 2y + z + 4 = 0.

ка

25.

5x + y − 3z + 4 = 0,

x − y + 2z + 2 = 0.

26.

3x + 4 − 2z +1 = 0, 2x − 4y + 3z + 4 = 0.

27.

x + 5y + 2z +11 = 0,

x − y − z −1 =

28.

3x + y − z − 6 = 0, 3x − y + 2z = 0.

29.

2x + 3y + z + 6 = 0,

= 0.

x − 3y − 2z + 3

30.

ая

+ 6 = 0.

x + y + z − 2 = 0, x − y

−

4.Установить, какие линии определяются заданными уравнениями,

ро

построить линиинн.

− 4x + y = 0 ,б)

= 1,в)

= 1,г) y = 4x .

1. а) x

−

е2. а) x2 + 4x + y2 − 6 y = 0

,б)

= 1,в)

−

= 1,г)

y2 = 4x − 2 .

3. а) x2 + 2x + y2 − 6y = 15 ,б)

= 1,в)

−

= 1,г)

x2 = 4y − 4 .

4. а) x2 +10x + y2 + y = 0 ,б)

= 1,в)

−

= 1,г)

y2 = 4x .

5. а) x2 −12x + y2 −10y = 3

,б)

= 1,в)

−

= 1,г)

= 4y .

6. а) x2 − 4x + y2 − 6y = 3,б)

= 1,в)

−

= 1,г) y 2 = 16x .

7. а) x2 + 4x + y2 −10y = 7 ,б)

= 1,в)

−

= 1,г) y 2 = 5x .

АГНИ

8. а) x2 + 8x + y2 + 4y = 5 ,б)

= 1,в)

−

= 1,г) y2 =

7x .

9. а) x2 −12x + y2 +10y = 3

,б)

= 1,в)

−

= 1,г)

= 9 y .

ка

10.

а) x2

+ x + y2

− y = 0,5 ,б)

= 1,в)

−

= 1,г) y2

= −4x .

11.

а) x

= 0,75 ,б)

= 1,в)

= −8x .

− x + y

−

,г)

12.

а) x

+ 4x + y

+14y = 11,б)

= 1,в)

и−

= 1,г)

= −3x .

б y2

13.

а) x

+ 4x + y

+ 6y = 12 ,б)

= 1,в)

4 − 36 = 1,г)

= 8y .

+ 1

аяx

14.

а) x2

+ 4x + y

− 4y = 17 ,б)

= 1,в)

−

= 1,г)

= 6x .

нн

15.

а) x

,б)

,в)

,г)

= x .

+ 4x + y

− 6 y

= 0

= 1

−

= 1

16.

а) x2

ро

− 6y = 12 ,б)

= 1,в)

−

= 1,г)

y2 = −x .

+ 4x + y

1/ 4

17.ка) x

+ 6x + y

+ 2y = 15 ,б)

= 1,в)

−

= 1,г)

= 6x −12 .

18.

а) x

+ x + y

− 6y = 6,75,б)

= 1,в)

−

= 1,г)

= −2x + 4 .

19.

а) x2

+ 8x + y

− 6y = 0 ,б)

= 1,в)

−

= 1,г)

= −9x .

20.

а) x2

+ 4x + y

− y = −0,25,б)

= 1,в)

−

= 1,г)

y 2 = 9x .

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
17.03.2016706.1 Кб30Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie.pdf
#
14.05.201516.92 Кб2Класс 2 Предмет Матем Дата.docx
#
14.05.201539.42 Кб3математика.doc