лінійна алгебра та аналітична геометрія

Зауваження 7.1. Властивості лінійних дій над векторами 1–8 дозволяють виконувати звичні перетворення в лінійних діях над векторами: міняти доданки місцями, брати вирази в дужки, групувати, виносити за дужки як скалярні, так і векторні спільні множники.

Множина геометричних векторів з означеними лінійними діями над векторами є векторним (геометричним) простором .

Під векторним (лінійним) простором розуміють множину, на якій означено додавання елементів і множення елемента на дійсне число, що мають властивості 1–8 із твердження 7.1.

Твердження 7.2 (критерій колінеарності векторів). Вектори a 0

та b колінеарні тоді й лише тоді, коли існує таке число , що b a, тобто

a b b a, a 0.

AD AB BD AB 12 BC;

BE BC CE BC 12CA;

CF CA AF CA 12 AB.

Абстрактні лінійні простори розглянуто у п. 13.5.

7.4. Геометричне тлумачення лінійної залежності

Розгляньмо таку задачу: скільки і яких векторів на прямій, на площині й у просторі треба задати, щоб через них лінійно виразити будь-який вектор на прямій, на площині й у просторі?

Твердження 7.4.

На прямій L існує ненульовий вектор e . Будь-який вектор a, колінеарний ненульовому вектору e, можна єдиним чином лінійно виразити через цей вектор (рис. 7.19):

axe .

На площині існують два неколінеарні вектори e1 та e2. Будь-який век-

тор a, компланарний з векторами e1 та e2, єдиним чином лінійно вира-

жається через них (рис. 7.20):

ax1e1 y2e2.

У просторі існують три некомпланарні вектори e1,e2 та e3. Будь-який вектор a простору єдиним чином лінійно виражається через некомпланарні вектори e1,e2 та e3 (рис. 7.21):

a x1e1 x2e2 x3e3.

Розгляньмо на прямій L дві різні точки O та E (див. рис. 7.19). Отже, на прямій L існує ненульовий вектор e OE, що утворює лінійно незалежну систему (наслідок 1 з теореми 7.3).

Відкладімо вектор a від точки O (рис. 7.19): a OM.

Тоді з означення добутку вектора на число випливає, що a xe,

де

Теорема 7.5.

Базис на прямій L 1 (геометричному просторі вимірності 1) утворює будь-який ненульовий вектор e . Будь-який вектор x , паралельний прямій L, лінійно виражається єдиним чином через цей вектор:

xxe .

Базис на площині P 2 (геометричному просторі вимірності 2)

утворює будь-яка впорядкована пара неколінеарних векторів e1 та e2.

Будь-який вектор, паралельний площині P, єдиним чином лінійно вира-

жається через вектори базису {e1,e2}:

xx1e1 x2e2.

Базисом у просторі 3 (геометричному просторі вимірності 3) є будь-яка

впорядкована трійка некомпланарних векторів e1,e2 та e3. Будь-який вектор простору єдиним чином лінійно виражається через вектори базису {e1,e2,e3} :

xx1e1 x2e2 x3e3.

8.Координати

8.1. Координати вектора

Виберімо у просторі 3 базис {e1,e2,e3} і розгляньмо вектор x 3.

Означення 8.1. Співвідношення

x x1e1 x2e2 x3e3

називають розкладом вектора x за базисом {e1,e2,e3}. Числа x1, x2, x3

називають координатами вектора x у базисі {e1,e2,e3}.

Координати вектора у фіксованому базисі утворюють координатний стовпець вектора. Тому замість розкладу вектора можна записати

Координати вектора відрізняються в різних базисах, і лише нульовий вектор має нульові координати в будь-якому базисі.

Приклад застосування подано у п. 12.3.

Твердження 8.1. Система векторів лінійно залежна тоді й лише тоді, коли лінійно залежна система їхніх координатних стовпців у фіксованому базисі.

Теорема 8.2. Нехай x x{e1,e2,e3 },y y{e1,e2 ,e3 }.

Рівні вектори мають рівні координати:

Лінійним діям над векторами відповідають лінійні дії над їхніми координатами:

Вектори колінеарні тоді й лише тоді, коли їхні координати пропорційні.

Нехай

x x1e1 x2e2 x3e3, y y1e1 y2e2 y3e3.

З рівності векторів x y випливає, що