Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лінійна алгебра та аналітична геометрія

.pdf

Скачиваний:

301

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

10.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2320 21 22 23 > Следующая >>>

21. Обґрунтування й узагальнення понять аналітичної геометрії

191

21. Обґрунтування й узагальнення понять аналітичної геометрії

21.1. Перетворення прямокутної декартової системи координат у просторі

Загальні формули перетворення

Нехай у

просторі

задано

дві

довільні

декартові

прямокутні системи координат: початкову Oxyz з

базисом

{

нову

O x y z

базисом

}

{i , j ,k } (рис. 21.1).

Задано

координати

радіуса-

(b1;b2 ;b3 )

вектора точки O

та координати векторів ортоно-

O j

рмованого базису

ортонормованому

{i , j ,k }

базисі {i , j ,k }:

Рис. 21.1

j k ,

(21.1)

j k .

Виразімо координати x,y та z

довільної точки M у початковій системі через

координати x ,y та z

цієї ж точки M у новій системі.

Координати x,y,z збігаються з координатами вектора OM у розкладі за бази-

сом {

і координати x ,y , z

збігаються з координатами вектора

O M

у роз-

кладі за базисом {i , j ,k } :

OM xi yj zk ,

O M x i y j z k .

За правилом трикутника додавання векторів

OM OO O M,

причому

OO b1i b2 j b3k .

Тому


OM OO O M b																			b			b k						x
OM OO O M b																i			b		j	b k						x						i y j z k
															1			2						3
		b			b													x (																		)
														b k																				k
				i							j			b k									11	i					21			j		k
			1	2											3								11						21						31
	y (																			) z (
	y (		12	i					22					j					k	) z (					13		i							23	j		k )
			12						22								32								13									23			33
										(b x y																							z )
								i		(b x y																				13			z )
													1				11						12							13
									(b x y																	z )
							j		(b x y																	z )
													2		21								22						23
												(b x y																						z ).
						k						(b x y																			33			z ).
													3					31					32								33

192	Розділ 3. Методи й моделі аналітичної геометрії

Завдяки єдиності розкладу вектора за базисом одержимо формули перетворення координат:

		x y z ,
x b		x y z ,
	1		11	12	13

			x y z ,			(21.2)
y b			x y z ,			(21.2)
	2		21	22	23
		x y z .
z b		x y z .
	3		31	32	33

Отже, для довільних ПДСК координати будь-якої точки простору в одній системі лінійно виражаються через координати тієї самої точки в іншій системі.

Формули (21.2) називають формулами переходу від системи координат Oxyz

до системи координат O x y z .

Набір коефіцієнтів lm ,l,m 1, 3, задає положення базису нової системи ко-

ординат, а вільні члени b1,b2,b3 характеризують положення початку координат.

Можна показати, що лише три з дев’яти коефіцієнтів lm ,l,m 1, 3, незалежні.

Паралельне перенесення координатних осей

Якщо базис {

O x y z

i , j ,k } нової ПДСК

зв’язаний з базисом {

} старої ПДСК Oxyz

співвідношеннями

i k

i i , j j ,k k ,

O j

тобто напрями осей не змінюються, то кажуть, що

нову ПДСК одержано з початкової паралельним

O j

перенесенням на вектор OO (рис. 21.2).

Рис. 21.2

Паралельне перенесення координатних осей на вектор

OO b1i b2 j b3k

перетворює координати довільної точки простору за формулами:


x x b ,
	1


y y b ,
	2

z z b
	3


x x b ,
	1


y y b ,
	2

z z b .
	3

Повертання координатних осей

Розгляньмо дві ПДСК зі спільним початком Oxyz та Ox y z .

Геометрично перехід від однієї ПДСК до другої ПДСК відповідає повертанню координатних осей. Із рівностей (21.2) випливає, що координати точки у старій і новій системах зв’язані співвідношеннями


x x y z ,
	11	12	13


y x y z ,
	21	22	23

z x y z
	31	32	33

	11		12
x	11		12



y		21		22
		21		22

z		31		32
		31		32

13
13		x



	23	y .
	23

	33	z
	33

		21. Обґрунтування й узагальнення понять аналітичної геометрії																																										193
Помножуючи кожну з рівностей (21.1) скалярно спочатку на вектор																																							,	а потім
																																						i	,	а потім
відповідно на вектори
відповідно на вектори					j	та k		,	дістаємо такі вирази для чисел lm :

			11	cos(i , i ),										21					cos(i , j ),								31				cos(i ,k ),
			11											21													31

			12	cos(j , i ),										22				cos(j							, j ),		32				cos(j ,k ),
			12											22													32

			13	cos(k , i ),										23				cos(k							, j ),		33				cos(k ,k ).
			13											23													33
21.2. Заміна і орієнтація базисів
Розгляньмо два базиси						{e} {						,					,					}		та	{e } {				,				,		} лінійного простору
Розгляньмо два базиси						{e} {					e	,			e		,			e		}		та	{e } {			e	,			e	,	e	} лінійного простору
											1					2					3						1			2			3
3. Розкладімо вектори базису {e } за базисом {e} :

		t e	t e			t e			,																												t			t		t
e		t e	t e			t e			,																												t	11		t		t
1		11 1		21 2		31 3																																11			12		13

		t12e1	t22e2			t32e3, e1																	e2	e3 e1						e2										t22		t23
e2		t12e1	t22e2			t32e3, e1																	e2	e3 e1						e2				e3 t21						t22		t23			.


		t e	t e			t e																																		t		t
e		t e	t e			t e																														t		31		t	32	t	33
	3	13 1		23 2		33 3																																31			32		33
Матрицю

							t						t									t
										11						12							13
										11						12							13
													t									t
							t						t									t		T
										21						22							23			{e} {e }
										21						22							23			{e} {e }
													t									t
							t			31			t			32						t	33
										31						32							33

називають матрицею переходу від базису {e} до базису {e }. Її стовпці є координа-

тними стовпцями векторів базису {e } за базисом {e}.

Твердження 21.1.

Матриця T{e} {e } — невироджена.

Якщо x та x — стовпці координат вектора

у базисах {e} та {e } відповід-

но, то

T x

{e} {e }

Обернена до матриці T{e} {e }

матриця є матрицею зворотного переходу від

базису {e } до базису {e}.

Орієнтація базисів

Розгляньмо два базиси простору 3 : {e} {e1,e2,e3} та {e } {e1,e2,e3}. Визначники матриць переходу T{e} {e } та (T{e} {e } ) 1 T{e } {e} від одного базису до другого мають однакові знаки.

Якщо, приміром, вектори двох базисів зв’язані співвідношеннями

194	Розділ 3. Методи й моделі аналітичної геометрії
					e		e	,		e				e		,
				1		2				1			2
					e		e	,		e				e		,
				2		1				2			1
									,								,
					e		e		,		e	3			e		,
				3		3						3	3
то
			1	0														0	1	0
		0	1	0														0	1	0
	detT{e} {e }	1	0	0		1;				detT{e } {e}								1	0	0	1.
		0	0	1														0	0	1

Якщо циклічно переставити вектори базису, тобто замінити другий вектор першим, третій — другим, а перший — третім, одержимо

			e			e		,		e			e		,
		1			2				1			3
			e			e		,		e	2		e	,
		2			3						2	1
							,								;
			e			e	,			e	3		e		;
		3			1						3	2
		0		1												0	1	0
	0	0		1												0	1	0
detT{e} {e }	1	0		0	1;				detT{e } {e}							0	0	1	1.
	0	1		0												1	0	0

Два базиси називають однойменними (базисами однакової орієнтації), якщо визначник матриці переходу від одного до другого додатний, і різнойменними (базисами протилежної орієнтації), якщо визначник матриці переходу від’ємний.

Множина всіх базисів простору розпадається на два неперетинні класи, що містять однойменні базиси.

Якщо один із двох класів базисів простору вибрано як додатний (а, отже, всі базиси, які він містить), а другий — як від’ємний, то кажуть, що цей простір орієнтовано.

Часто базиси одного класу називають правими, а другого — лівими.

21.3. Лінійні оператори

Розгляньмо лінійний простір і перетворення ˆ цього простору (надалі — опера-

тор), тобто правило, за яким кожному векторові x відповідає деякий вектор

x . Образ x

(перетвір) позначають через A(x ).

Означення 21.1.

називають лінійним, якщо

Оператор A в лінійному просторі

для будь-яких векторів

та

і числа виконано умови:

A(x

y) A(x ) A(y);

A( x ) A(x ).

Лінійний оператор (і лише він) перетворює лінійну комбінацію векторів на таку саму лінійну комбінацію їхніх образів:

ˆ ˆ ˆ

A( x y ) A(x ) A(y ) x,y , .

21. Обґрунтування й узагальнення понять аналітичної геометрії

195

Приклади лінійних операторів

1. Нехай n — простір многочленів степеня не вище n. Диференціювання — правило

ˆ		d		n	n
D		dt	:			,

за яким кожному многочленові з n відповідає його похідна, є лінійним перетворенням (похідна суми дорівнює сумі похідних, сталий множник можна виносити з- під знака похідної).

із

2. Правило A, за яким кожному елементу x із відповідає елемент kx

(k 0 — фіксоване), тобто оператор подібності є лінійним. Справді,

k( x y ) (kx ) (ky )

A( x y )

A(x )

A(y ) x,y , .

3. Нехай {e1,...,en } — базис простору . Правило P : , за яким дові-

льному елементу

e2 ... xn

en xi

відповідає елемент

i 1

x2e2

... xkek xiei .

P(x ) x1e1

i 1

(k n — фіксоване), називають оператором проектування. Оператор проектування лінійний.

4. Нехай n — простір стовпців заввишки n і A — деяка фіксована матриця

порядку n. Стовпцю x

зіставляється стовпець x Ax. Таке перетворення лінійне

завдяки властивостям множення матриць:

) A( x y)

(Ax ) (Ay)

, .

A(x ) A(y ), x,y

простору

зіставляє сам вектор x,

5. Оператор E, який кожному вектору x

є лінійним (оператор ˆ — окремий випадок оператора подібності з коефіцієнтом

k 1). Його називають одиничним оператором або оператором тотожного перетворення.

21.4. Матриця лінійного оператора

Виберімо в лінійному просторі n базис {e1,...,en }. Кожний вектор x можна подати у вигляді

x x1e1 x2e2 xnen xjej .

j 1

Завдяки лінійності перетворення

196	Розділ 3. Методи й моделі аналітичної геометрії

A(x )

	n	n

ˆ		ˆ	(21.3)
A	xjej	xjA(ej ).	(21.3)
		j 1
j 1		j 1

1,n, не залежать від x, а визначені за перетворенням і ба-

Вектори A(ej ), j

1,n, розкладається за базисом

{e} з деякими

зисом. Кожен з векторів A(ej ), j

коефіцієнтами aij . А саме,

A(ej ) aijei, j 1,n.

i 1

Підставляючи цей вираз у рівняння (21.3), одержимо:

A(x ) xjaijei .

i 1

j 1

Тепер можна виразити координати вектора y A(x ) у базисі {e} :

, y Ax,

yi aijxj ,i

1,n

j 1

де

a22

a2n

a21

A A({e}) Ae

...Ae

Означення 21.2. Матрицею лінійного оператора ˆ в базисі назива-

A {e1,...,en }

ють матрицю A, утворену з координатних стовпців образів базисних векторів

,..., у перетворенні ˆ e1 en A.

Твердження 21.2. Вибір базису лінійного простору n встановлює взаємно однозначну відповідність між лінійними перетвореннями цього простору і квадратними матрицями n -го порядку.

21.5. Матриця лінійного перетворення в базисі із власних векторів

Твердження 21.3 (властивості власних векторів матриці).

Кожному власному вектору відповідає єдине власне число.

Якщо x1 та x2 — власні вектори матриці A з одним і тим самим власним чис-

лом , то їхня сума x1 x2 також є власним вектором матриці A із власним числом .

Якщо x — власний вектор матриці A із власним числом , то будь-який вектор x, колінеарний векторові x, також є власним вектором матриці A з тим самим власним числом .

21. Обґрунтування й узагальнення понять аналітичної геометрії								197
Справді, припустімо супротивне: нехай власному вектору								матриці A
Справді, припустімо супротивне: нехай власному вектору							x	матриці A
відповідає два власні числа 1	та 2. Це означає, що					)x 0.
Ax x, Ax		x x		x 0 (	2	)x 0.
1	2	1	2	1	2
Оскільки x 0, то 1 2.
Справді, оскільки Ax1	x1, Ax2		x2, то
A(x1 x2 ) Ax1 Ax2 x1 x2 (x1 x2 ).

Справді, маємо

A( x) Ax x ( x).

Зауважмо, що кожному власному числу відповідає безліч колінеарних власних векторів.

Розгляньмо випадок, коли всі корені характеристичного рівняння дійсні і різні. Позначмо їх через 1, 2, 3.

Кожному власному числу відповідає власний вектор. Позначмо власні вектори через v1,v2.

Твердження 21.4. Якщо власні вектори v1,v2 належать попарно різним власним значенням, то вони лінійно незалежні.

Візьмімо вектори v1,v2 за базис простору 2.

Теорема 21.5. Матриця лінійного перетворення A в базисі {v1,v2} із власних векторів цієї матриці діагональна.

Знайдімо матрицю A лінійного перетворення, яке задане матрицею A в ба-

зисі {e1,e2}, в базисі із власних векторів v1,v2. Для такого перетворення виконано співвідношення:

								A v			v				, A v					v				,
де									1			1		1			2					2	2
де														a
														a				a
															11					12
										A											.
																		a
														a				a
															21					22
У базисі {				v2} можемо записати
У базисі {			v1,	v2} можемо записати

																						1
							v 1 v 0 v															1
							v 1 v 0 v											2						.
								1				1						2
																						0

Вектор			перетворюється з допомогою матриці A																							на вектор
Вектор	v	1	перетворюється з допомогою матриці A																							на вектор
		1
																									1
																									1
					A v	v					v					0 v
		1						1	1				1		1							2		0
		1						1	1				1		1							2
										a				a			1
							1			a				a			1										1
							1				11			12													1
																			a									.
														a								1
						0				a				a			0									0
											21			22

Так само

198	Розділ 3. Методи й моделі аналітичної геометрії
				0
				0
		a				.
		2

					2
	Отже,
			1		0
			1		0
	A
	A						.
			0
			0			2
						2

Взагалі можна показати, що матриця A лінійного перетворення в базисі {e }

виражається через матрицю A в базисі {e} за формулою

A (T{e} {e } ) 1 AT{e} {e }.

Твердження 21.6.

Усі власні числа дійсної симетричної матриці дійсні.

Власні вектори дійсної симетричної матриці, що відповідають різним власним числам, ортогональні.

Якщо матриця A симетрична, а матриця P — ортогональна, то матриця P 1AP симетрична.

Доведімо це твердження для матриці 2-го порядку. Нехай задано дійсну симетричну матрицю 2-го порядку

a		a
	11	12				a		.
A				,a		a	21	.
		a			12		21
a	21	a	22
	21		22

Тоді характеристичне рівняння має вигляд

a11	a12	0 2 (a	a	22	) a a	22	(a )2	0.
a21	a22	11		22	11	22	12
a21	a22

Дискримінант цього рівняння

D(a11 a22 )2 4(a11a22 (a12 )2 )

(a11)2 2a11a22 (a22 )2 4a11a22 4(a12 )2

(a11 a22 )2 4(a12 )2.

Оскільки a11,a12,a22 дійсні, то
		D (a			a				22		)2 4(a )2					0,
			11						22					12
а, отже, корені характеристичного рівняння дійсні.
Нагадаймо, що в ортонормованому базисі
			(
			(	x1,			x	2 ) x1 x2.
Нехай 1 та 2	— різні власні числа, а															— відповідні їм власні вектори
Нехай 1 та 2	— різні власні числа, а												x1, x2			— відповідні їм власні вектори
симетричної матриці A. Оскільки				x								, Ax	x
		Ax		x								, Ax	x
і для симетричної матриці A			1		1					1		2			2	2
і для симетричної матриці A			)T x			x				ATx			x (Ax ),
		(Ax	)T x			x				ATx			x (Ax ),
то		1	2						1			2			1			2
то		)T x x							x									)x	x
( x		)T x x		(					x		) (			1			2	)x	x	0.
1	1	2	1		2					2				1			2	1	2

21. Обґрунтування й узагальнення понять аналітичної геометрії				199
Але 1 2 0, отже, x1 x2 0. А це означає, що вектори	x1 та		2	— ор-
		x
тогональні.
За правилом транспонування добутку матриць маємо
(P 1AP)T (AP)T(P 1)T PTAT(P 1 )T.
За означенням ортогональної матриці
PT P 1,
а, отже,
(P 1 )T (PT )T P,
крім того, за умовою матриця A симетрична (AT A), то
(P 1AP)T PTAT(P 1)T P 1AP.

Екзаменаційна програма

злінійної алгебри та аналітичної геометрії

1.Матриці. Означення, типи матриць, дії над матрицями.

2.Визначники. Означення і властивості. Способи обчислення.

3.Обернена матриця. Означення і властивості. Способи знаходження.

4.Ранг матриці. Лінійна залежність та незалежність стовпців матриці. Метод Ґауса.

5.Системи лінійних алгебричних рівнянь. Дослідження сумісності СЛАР. Однорідні й неоднорідні СЛАР.

6.Методи розв’язання СЛАР. Матричні рівняння.

7.Вектори. Означення і лінійні дії над векторами.

8.Лінійна залежність та незалежність системи векторів. Базис геометричного простору.

9.Координати вектора. Лінійні дії над векторами в координатній формі.

10.Прямокутна декартова система координат на площині й у просторі.

11.Скалярний добуток векторів. Означення і властивості.

12.Векторний добуток векторів. Означення і властивості.

13.Мішаний добуток векторів. Означення і властивості.

14.Застосування скалярного, векторного і мішаного добутків векторів.

15.Комплексні числа. Означення. Дії над комплексними числами в алгебричній формі.

16.Полярна система координат.

17.Дії над комплексними числами у тригонометричній та показниковій формах.

18.Основні задачі аналітичної геометрії. Різні типи рівнянь ліній та поверхонь.

19.Перетворення ПДСК на площині.

20.Лінійні перетворення. Квадратичні форми.

21.Рівняння прямої у просторі і на площині.

22.Рівняння площини. Загальні рівняння прямої у просторі.

23.Взаємне розташування прямих і площин.

24.Означення кривих 2-го порядку. Визначальні властивості.

25.Метод зведення геометричних образів 2-го порядку до канонічного вигляду.

26.Метод перерізів. Еліпсоїд. Параболоїди. Гіперболоїди.

27.Поверхні обертання. Конус і циліндри 2-го порядку.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2320 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.05.2019190.46 Кб4Л1.doc
#
18.07.2019895.49 Кб52Л10 Напр микр ЛАСР.doc
#
12.05.2015549.04 Кб8Л4 метрология.pdf
#
18.09.201960.93 Кб3Л6 Створення ТЗИ на ОИД.doc
#
18.09.2019194.05 Кб4Л7 Створення ТЗИ на ОІД передпроектн роботи.doc
#
17.03.201610.08 Mб301лінійна алгебра та аналітична геометрія.pdf
#
14.08.2019490.5 Кб2Лаб 1-5-IEE.doc
#
16.11.2019169.98 Кб1лаб 2 ПАХВ.doc
#
28.04.2019226.3 Кб3лаб 7.doc
#
14.11.20191.36 Mб4лаб работы анализ.docx
#
10.11.2019153.09 Кб4Лаб роб 6 Обчислення арифметичних виразів.doc