лінійна алгебра та аналітична геометрія

використаємо властивість 2

використаємо властивість 5

2.4. Обчислення визначника за допомогою елементарних перетворень

Означення 2.2. Елементарними перетвореннями матриці називають:

1)переставляння стовпців (рядків);

2)множення стовпця (рядка) на число, відмінне від нуля;

3)додавання до стовпця (рядка) іншого стовпця (рядка), помноженого на деяке число.

Матриці A та B називають еквівалентними, якщо одну з них одержано з іншої скінченною кількістю елементарних перетворень, і позначають

A B.

Метод зведення визначника до трикутного вигляду за допомогою елементарних перетворень полягає в перетворенні визначника до вигляду, коли всі елементи, розташовані по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю.

Твердження 2.3.

Переставлення стовпців (рядків) змінює знак визначника.

Помноження стовпця (рядка) на число, відмінне від нуля, помножує визначник на це число (однорідність).

Додавання до стовпця (рядка) іншого стовпця (рядка), помноженого на деяке число, не змінює визначника.

Визначник матриці не зміниться, якщо до будь-якого стовпця (рядка) додати лінійну комбінацію решти стовпців (рядків).

З елементарними перетвореннями матриці пов’язані матриці елементарних перетворень (п. 6.4).

Твердження 2.4. Визначник верхньої (нижньої) трикутної матриці дорівнює добуткові діагональних елементів.

Наслідок із твердження 2.4. Визначник одиничної матриці En дорів-

нює одиниці.

Схема методу зведення визначника до трикутного вигляду

Розгляньмо визначник n det A матриці A порядку n.

1.Якщо всі елементи 1-го стовпця визначника дорівнюють нулю, то det A 0.

2.Нехай a11 0 (якщо це не так, то переставленням рядків цього

bij aij ai1 a1j ,i 2,n, j 2,n.

a11

3. Для визначника n 1 повторюють пп. 1 і 2.

Приклад 2.3. Обчислімо зведенням до трикутного вигляду визначник

На першому кроці від 2-го рядка відняли 1-й, помножений на 4 , та від 4-го рядка відняли1-й, помножений на 5

Визначник трикутної матриці дорівнює добуткові діагональних елементів

1 1 ( 2)( 14) 28.

2.5.Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників

З’ясуймо тепер умову оборотності квадратної матриці A порядку n, тобто

існування такої матриці A 1, що

AA 1 A 1A En .

Означення 2.3. Квадратну матрицю називають невиродженою, якщо її визначник відмінний від нуля.

Теорема 2.5 (критерій оборотності матриці). Матриця оборотна тоді й лише тоді, коли вона невироджена.

Доведімо, що якщо матриця оборотна, то вона невироджена.

Зозначення оборотної матриці та властивості визначника 8 випливає, що

AA 1 En A A 1 En 1 A 0,

тобто матриця A невироджена.

Покажімо тепер, що якщо матриця невироджена, то вона оборотна.

Застосування обернення матриць подано у п. 5.4.

Крок 2. Оскільки матриця A невироджена, то вона оборотна. Отже, будуємо приєднану до A матрицю, обчислюючи алгебричні доповнення до всіх її елементів:

2.6. Розв’язування матричних рівнянь за допомогою оберненої матриці

Розгляньмо рівняння щодо матриці X

AX B,

де A та B — відомі матриці розміром n n та n l відповідно. Розв’язком цього рівняння (якщо він існує) є матриця X розміром n l. Якщо матриця A оборотна, то існує єдиний розв’язок матричного рів-

няння

X A 1B.

Справді, помножуючи зліва рівняння на матрицю A 1, маємо

A 1AX A 1B EnX A 1B X A 1B.

Матричне рівняння

XA B

з оборотною матрицею A має розв’язок

X BA 1.

Теорема 3.2. Базисні стовпці (рядки) матриці A лінійно незалежні. Кожний стовпець (рядок) матриці A є лінійною комбінацією її базисних стовпців (рядків).

Наслідок із теореми 3.2. Найбільша кількість лінійно незалежних рядків матриці дорівнює найбільшій кількості лінійно незалежних стовпців.

Для квадратної матриці A порядку n можна сформулювати умову лінійної залежності її стовпців (рядків), використовуючи її визначник.

Твердження 3.3 (критерій виродженості матриці). Квадратна мат-

риця A n -го порядку вироджена тоді й лише тоді, коли її стовпці (рядки) лінійно залежні.

Наслідки із твердження 3.3.

Визначник квадратної матриці A n -го порядку дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли її ранг менше за n, тобто

detA 0 rangA n.

Визначник квадратної матриці A n -го порядку відмінний від нуля тоді й лише тоді, коли її стовпці (рядки) лінійно незалежні, тобто

detA 0 rangA n.

Стовпці u1,...,un заввишки n лінійно залежні (лінійно незалежні) тоді

йлише тоді, коли визначник матриці, утвореної стовпцями u1,...,un, дорівнює нулю (відмінний від нуля).

3.3.Знаходження рангу матриці

за допомогою елементарних перетворень

Ненульовий елемент рядка з найменшим номером називають лідером рядка.

Означення 3.4. Матрицю називають східчастою, якщо вона справджує умови:

1)нульові рядки матриці (якщо вони є) розташовані нижче від ненульових;

2)номери стовпців, які місять лідери рядків, зростають.

Друга умова означає, що всі елементи, які розташовані вліво і вниз від лідера рядка східчастої матриці нульові.

Матриці на рис. 3.1 та 3.2 східчасті (чорними квадратиками позначено лідери, зірочками — довільні елементи), а на рис. 3.3 матриця несхідчаста (номери лідерів не зростають).