лінійна алгебра та аналітична геометрія

Напрямний вектор прямої, що проходить через дві різні точки

Отже, канонічні рівняння прямої M1M2, що проходить через дві різні точки M1(x1;y1; z1) та M2(x2;y2; z2 ):

15.2. Площина

M P(M0;u, v ) M0M u v.

Вектори u та v утворюють базис на площині P.

Вектор a називають паралельним площині P(M0;u, v ), якщо вектори a, u, v — компланарні (рис. 15.3).

Якщо точка Q належить площині P(M0;u, v ) та p,q — неколінеарні вектори, які паралельні площині P, то площина P (Q; p,q ) зливається з площиною P.

Твердження 15.2. Через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить одна й лише одна площина.

Рівняння (15.2) називають векторним параметричним рівнянням пло-

щини. Кожній точці площини відповідають певні значення двох параметрів t1 та t2. Навпаки, які б дійсні числа не підставити замість параметрів t1 та t2, рівняння (15.2) визначає певний радіус-вектор точки на площині.

Векторне параметричне рівняння площини еквівалентне параметрич-

Рівність (15.3) можна розглядати як скалярний добуток ортогональних векторів

(n, M0M) 0,

Ненульовий вектор називають перпендикулярним до площини, якщо він ортогональний до обох її базисних векторів або колінеарний її нормальному векторові.

Отже, площину в ПДСК можна задати лінійним рівнянням — її загальним рівнянням.

Теорема 15.3. У ПДСК у просторі будь-яке лінійне рівняння вигляду

ax by cz d 0 задає площину.

Доведімо, що лінійне рівняння вигляду (15.4), де не всі коефіцієнти a,b,c дорівнюють нулю, є рівнянням площини.

Матриця системи, що складається з рівняння (15.4), має ранг 1. Загальний

розв’язок системи (15.4)

x x0 C1e1 C2e2,

де x0 — частинний розв’язок системи (15.4); {e1,e2 } — фундаментальна система розв’язків відповідної однорідної системи; C1,C2 . Отже, рівняння (15.4) задає площину P(M(x0 );e1,e2 ).

Векторне рівняння площини

Площину можна однозначно задати її точкою M0(r0) і нормальним векто-

ром n :

P(M0) n.

Нехай M(r ) P (див. рис. 15.4). Тоді

M0M r r0 n.

З ортогональності векторів дістанемо векторне рівняння площини P :

Векторне рівняння (15.5) можна переписати так:

(r , n) d 0,

де d (r0, n).

У координатній формі це рівняння має вигляд

a(x x0) b(y y0) c(z z0) 0,

де a,b,c — координати вектора n; x, y, z — координати точки M; x0, y0, z0

— координати точки M0.

Окремі випадки загального рівняння площини

Координатні площини мають відповідно рівняння:

Oxy k : cz 0 z 0;

Oxz j : by 0 y 0;

Oyz i : ax 0 x 0.

Зауважимо, що вектор a паралельний площині P(M0) n тоді й

лише тоді, коли він ортогональний до її нормального вектора: a P a n.

Приміром, площина P паралельна векторові i , а, отже, й осі Ox, тоді

й лише тоді, коли її нормальний вектор n (a;b;c)T ортогональний до i :

(n, i ) a 0 P : by cz d 0.

Якщо в загальному рівнянні площини (15.4) деякі коефіцієнти дорівнюють нулю, то маємо неповні рівняння площини. Зведімо всі випадки ви-

Рис. 15.6

Рівняння площини у відрізках

Якщо всі коефіцієнти в загальному рівнянні площини (15.4) відмінні від нуля, тоді його можна перетворити на рівняння площини у відрізках:

і віддаллю p від початку координат.

Рис. 15.8

Оскільки

OH pn 0, p 0,

то, підставляючи в рівняння (15.5) координати векторів OH та n 0, дістанемо:

(r , n0 ) (pn0, n0 ) 0

Рівняння (15.7) називають нормованим рівнянням площини у векторній формі, а рівняння (15.8) — нормованим рівнянням площини в координатній формі.

У нормованому рівнянні всі коефіцієнти мають геометричний зміст: коефіцієнти при x, y та z є напрямними косинусами будь-якого вектора, перпендикулярного до площини, а вільний член — віддаль від початку координат до площини, узята зі знаком «мінус».

Зведімо загальне рівняння (15.4) площини до нормованого, помножуючи обидві частини загального рівняння площини на множник :

ax by cz d 0.

Тим самим загальне рівняння площини перетворено на нормоване рівняння. Множник називають нормувальним.

15.3. Пряма на площині

Параметричні рівняння прямої на площині

Пряма лінія на площині має двоїсту природу — звісно, зберігаючи всі властивості прямої у просторі, вона набуває властивостей, притаманних площині: лінійне загальне рівняння, нормальний вектор, наявність нормованого рівняння та рівняння у відрізках.

Канонічне рівняння прямої на площині

Канонічне рівняння прямої L(M0 ; s ) на площині має вигляд