Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лінійна алгебра та аналітична геометрія

.pdf

Скачиваний:

301

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

10.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

18. Поверхні 2-го порядку

171

1. Однопорожнинний гіперболоїд не проходить через початок канонічної системи координат, бо координати точки O(0;0;0) не справджують рівняння (18.4).

2. Однопорожнинний гіперболоїд перетинає вісь Ox у вершинах — точках A1,2( a;0;0), а вісь Oy — у точках B1,2(0; b;0). Вісь Oz однопо-

рожнинний гіперболоїд не перетинає. Відрізки A1A2 та B1B2 називають

дійсними осями однопорожнинного гіперболоїда. Числа a,b,c називають півосями однопорожнинного гіперболоїда.

3. Рівняння поверхні містить змінні x,y,z у парних степенях, тому однопорожнинний гіперболоїд симетричний щодо всіх координатних площин, координатних осей і початку координат.

4. З рівняння однопорожнинного гіперболоїда випливає, що

x2 y2 1. a2 b2

5. Обертанням гіперболи

y2 z2 1 a2 c2

навколо осі Oz (рис. 18.19) одержимо однопорожнинний гіперболоїд обертання

x2 y2 z2 1, a2 a2 c2

а з нього — стисканням уздовж осі Oy з коефіцієнтом a — однопорожнин-

ний гіперболоїд загального вигляду (рис. 18.20).

Рис. 18.19

Рис. 18.20

6. Вивчімо форму поверхні однопорожнинного гіперболоїда методом перерізів. Якщо перетнути поверхню площиною z h, паралельною площині Oxy, то проекція перерізу на площину Oxy має рівняння

x2	y2	1	h2	.
a2	b2		c2

За будь-якого значення h це рівняння еліпса (рис. 18.21) з півосями:

172	Розділ 3. Методи й моделі аналітичної геометрії

c2 h2

, b

c2 h2 .

Якщо h 0, матимемо горловий еліпс однопо-

рожнинного гіперболоїда

Рис. 18.21

Якщо поверхню перетнути площиною x h, яка паралельна площині Oyz, то проекція перерізу на площину Oyz має рівняння

Можливі три випадки:

а)

a. У цьому разі 1

0, тому проекції перерізів на пло-

щину Oyz є гіперболами з уявною віссю Oz (рис. 18.22, І).

б) h a. У цьому разі проекції перерізів збігаються. Їхнє рівняння

y2 z2 0, b2 c2

означує дві прямі, які перетинаються в початку координат (рис. 18.22, ІІ).

в) h a.	У цьому разі 1		h2	0,	тому в перерізі матимемо гіпер-
в) h a.	У цьому разі 1		a2	0,	тому в перерізі матимемо гіпер-
			a2
боли, для яких вісь Oy є уявною віссю (рис. 18.22, ІІІ).
z III	II	Те саме матимемо в разі перерізання поверхні
	I	площинами y h.
	I	7. Асимптотичною поверхнею для однопорож-
	y	7. Асимптотичною поверхнею для однопорож-
	y	нинного гіперболоїда є еліптичний конус (однопорож-
		нинний гіперболоїд розташований ззовні конуса)
Рис. 18.22			x2	y2	z2
			a2 b2 c2 0,a,b,c 0.

Двопорожнинний гіперболоїд

Двопорожнинним гіперболоїдом називають множину всіх точок простору, координати яких у деякій ПДСК справджують канонічне рівняння

x2	y2	z2	1,a,b,c 0.	(18.5)
a2	b2	c2

Систему координат, у якій двопорожнинний гіперболоїд має рівняння

(18.5), називають канонічною системою.

18. Поверхні 2-го порядку

173

1.Двопорожнинний гіперболоїд не проходить через початок канонічної системи координат.

2.Двопорожнинний гіперболоїд перетинає вісь Oz у двох точках — вер-

шинах — C1,2(0;0; c). Осі Ox та Oy не перетинають поверхню. Відрізок C1C2 називають дійсною віссю. Числа a,b та c називають півосями двопоро-

жнинного гіперболоїда.

3.Двопорожнинний гіперболоїд симетричний щодо всіх координатних площин, координатних осей і початку координат.

4.Двопорожнинний гіперболоїд міститься всередині асимптотичного

конуса

x2 y2 z2 0,a,b,c 0 a2 b2 c2

іза межами смуги z c.

5.Обертанням гіперболи

z2 y2 1 c2 a2

навколо осі Oz (рис. 18.23) одержимо двопорожнинний гіперболоїд обертання

x2 y2 z2 1, a2 a2 c2

а з нього — стисканням уздовж осі Oy з коефіцієнтом a — двопорожнин-

ний гіперболоїд загального вигляду (рис. 18.24).

O y

	x
Рис. 18.23	Рис. 18.24
	Рис. 18.24

174	Розділ 3. Методи й моделі аналітичної геометрії

18.5. Параболоїди

Еліптичний параболоїд

Еліптичним параболоїдом називають множину всіх точок простору, координати яких у деякій ПДСК справджують канонічне рівняння

x2	y2	2z,a,b 0.	(18.6)
a2	b2

Систему координат, у якій еліптичний параболоїд має рівняння (18.6),

називають канонічною системою.

1.Еліптичний параболоїд проходить через початок ПДСК.

2.Еліптичний параболоїд має з осями координат лише одну спільну

точку — вершину — точку O(0;0;0).

3.Оскільки рівняння (18.6) містить змінні x,y у парних степенях, то еліптичний параболоїд симетричний щодо площин Oxz та Oyz . Поверхня не симетрична щодо площини Oxy. Звідси випливає, що еліптичний параболоїд симетричний щодо координатної осі Oz і не симетричний щодо осей Ox та Oy і початку координат.

4.З рівняння (18.6) випливає, що для всіх точок поверхні z 0, при-

чому z 0 тоді й лише тоді, коли точка збігається з початком координат. Отже, всі точки еліптичного параболоїда, крім початку координат, розміщені по один бік від площини Oxy.

5. Обертанням параболи 2a2z y2 навколо осі Oz (рис. 18.25) одержимо параболоїд обертання

2z x2 y2 , a2

а з нього — стисканням вздовж осі Oy з коефіцієнтом a — еліптичний

параболоїд загального вигляду (рис. 18.26).

x O y

Рис. 18.25

Рис. 18.26

18. Поверхні 2-го порядку

175

Гіперболічний параболоїд

Гіперболічним параболоїдом називають множину всіх точок простору, координати яких у деякій ПДСК справджують канонічне рівняння

x2	y2	2z,a,b 0.	(18.7)
a2	b2

Систему координат, у якій гіперболічний параболоїд має рівняння

(18.7), називають канонічною системою.

1.Гіперболічний параболоїд проходить через початок канонічної системи координат.

2.Гіперболічний параболоїд перетинає осі канонічної системи координат у єдиній точці — на початку координат.

3.Гіперболічний параболоїд симетричний щодо площин Oxz та Oyz і

не симетричний щодо площини Oxy. Звідси поверхня симетрична щодо осі

Oz і не симетрична щодо осей Ox та Oy і початку координат.

4. Перерізанням

поверхні площинами

z h

одержимо

гіперболи

(рис. 18.27, І)

1,h 0,

(a 2h)

2h)

спряжені до них гіперболи (рис. 18.27, ІІІ)

III

(a 2h)2

(b 2h)2 1,h 0,

та пару перетинних прямих — асимптот гіпербол

(рис. 18.27, ІІ)

y b x,h 0.

Рис. 18.27

Перерізанням

поверхні

площинами

y h

одержимо

параболи

(рис. 18.28)

Перерізанням

поверхні

площинами

x h

одержимо

параболи

(рис. 18.29).

y 2b

Гіперболічний параболоїд зображено на рис. 18.30.

176	Розділ 3. Методи й моделі аналітичної геометрії

z y

z	z
	x
x	y
Рис. 18.28	Рис. 18.29
	Рис. 18.30

Прямолінійні твірні поверхонь 2-го порядку

Деякі з розглянутих поверхонь 2-го порядку можна утворити рухом прямої лінії. Це очевидно для конуса та циліндра. Виявляється, що однопорожнинний гіперболоїд (рис. 18.31) і гіперболічний параболоїд (рис. 18.32) теж є поверхнями, що утворені прямолінійними твірними.

Рис. 18.31

Рис. 18.32

19. Визначні криві та поверхні

19.1. Плоскі криві у ПДСК

y	a
	4

O a x

Рис. 19.1

1. Астроїда (рис. 19.1) — крива , яку задає в деякій ПДСК:

рівняння

x23 y23 a23;

x a cos3 t,

параметричні рівняння:

y a sin3 t,t [0;2 ].

Астроїда — траєкторія руху точки M кола радіусом 4 , що котиться внутрішнім боком кола радіусом a 0 (рис. 19.1).

19. Визначні криві та поверхні

177

2. Циклоїда (рис. 19.2) — крива, яку в деякій		y
ПДСК задають параметричні рівняння:		2a
ПДСК задають параметричні рівняння:
	a(t sin t),	O	a	2 a
x	a(t sin t),	O	a	2 a	x
					x
	a(1 cost),t .		Рис. 19.2
y	a(1 cost),t .		Рис. 19.2

Циклоїда — траєкторія руху точки кола, що котиться нерухомою прямою без ковзання.

Циклоїду утворює нескінченна кількість арок, кожна з яких відповідає одному обороту кола. Отже, першій арці від початку координат відповідає змінювання параметра t від 0 до 2 ; другій — від 2 до 4 тощо.

3. Декартів листок (рис. 19.3) — крива, яку в	y
деякій ПДСК задає рівняння

x 3 y3 3axy 0,a 0;	O	x
параметричні рівняння у ПДСК:

	3at
	3at
			,	x y a 0
x	1 t3		,	x y a 0
	1 t3			Рис. 19.3
	3at2			Рис. 19.3
	3at2
			,t \ { 1}.
y		3	,t \ { 1}.
	1 t	3
	1 t

4. Кучер Аньєзі (рис. 19.4) — крива , яку в деякій ПДСК задає рівняння

y x2 a2 .

5. Петльова парабола (рис. 19.5) — крива, яку в деякій ПДСК задає рівняння

ay2 x(x a)2.

6. Розгортка кола (рис. 19.6) — крива, яку в деякій ПДСК задають параметричні рівняння:

x a(cost t sint),

y a(sint t cost),t [0; ).

y		y		y
a					M
					M
				B
O	x	O	a	x	a x
O	x			O	a x
Рис. 19.4

Рис. 19.5	Рис. 19.6

178	Розділ 3. Методи й моделі аналітичної геометрії

19.2.Плоскі криві в полярній системі координат

1.Паскалів завиток (рис. 19.7–19.9) — крива, яка має в деякій полярній системі рівняння

2a cos l.

O	p	O	p	O	p
	Рис. 19.7		Рис. 19.8		Рис. 19.9
	Лінія симетрична щодо осі Ox; якщо l 2a,			то точка O — вузлова (в
ній лінія перетинає себе), якщо l			2a, то полюс є точкою вертання, якщо

l 2a, то точка O, яка належить кривій, є ізольованою особливою точкою. Паскалів завиток використовують для креслення профілю ексцентрика,

якщо потрібно, щоб стрижень, який ковзає профілем, коливався гармонічно. 2. Кардіоїда (рис. 19.10) — крива, яку в деякій полярній системі коор-

динат задає рівняння

2a(1 cos ).

Кардіоїда — траєкторія руху точки кола радіусом r, яке котиться зовнішнім боком кола з таким самим радіусом — окремий випадок паскалевого завитка.

3. Лемніската Бернуллі (рис. 19.11) — крива, яку в деякій ПДСК задає рівняння

(x2 y2)2 2a2(x2 y2).

Рівняння в полярній системі: a 2 cos 2 .

Лемніската Бернуллі — множина всіх точок площини, для яких добуток віддалей до двох заданих точок цієї площини є сталим і рівним квадра-

ту половини віддалі між заданими точками:	F M	F M	a2	(рис. 19.11).
ту половини віддалі між заданими точками:	F M	F M	a2	(рис. 19.11).
	1	2

O	p		a
O		F1	F2 x


	Рис. 19.10		Рис. 19.11
	Рис. 19.10

4. Архімедова спіраль (рис. 19.12) — крива , яку в деякій полярній системі координат задає рівняння

a .

19. Визначні криві та поверхні

179

Архімедова спіраль — траєкторія руху точки, що рівномірно рухається прямою, яка рівномірно обертається навколо фіксованої точки.

5.Гіперболічна спіраль (рис. 19.13) — крива, яку в деякій полярній системі координат задає рівняння

a .

6.Логарифмічні спіралі, права і ліва (рис. 19.14 і 19.15) — криві, які в деякій полярній системі координат задають рівняння

a ,a 1 (для правої);

a , 0 a 1 (для лівої).

						0 a 1
	a			p
	p			p		p
O	p			a 1		p
	p			a 1
Рис. 19.12	Рис. 19.13		Рис. 19.14		Рис. 19.15
					Рис. 19.15
7. Рози (рис. 19.16) — сукупність кривих, які в деякій полярній систе-
мі координат задають рівняннями:
	a sinn або	a cosn ,a 0.
Рози містяться всередині кола радіусом a; коли n ціле, то мають n
пелюсток.
a
a 2	O		a		O	a
	O		a		O	a
O	p		p			p
O	p
a sin					a sin 3
	a sin 2				a sin 3
O a 2 a	p	O	a		O	a
a cos			p			p
a cos
	a cos 2				a cos 3
	Рис. 19.16

180	Розділ 3. Методи й моделі аналітичної геометрії

19.3.Просторові криві

1.Циліндрична гвинтова лінія (рис. 19.17) — прос-

торова крива, яку описує точка, що обертається зі сталою кутовою швидкістю навколо нерухомої осі й одночасно переміщується поступально зі сталою швидкістю вздовж цієї осі.

Параметричні рівняння:

Рис. 19.17

Рис. 19.18

Рис. 19.19





x a cost,


y a sint,

	ht
	ht
		,t [0; ),
z	2	,t [0; ),
	2

де a — радіус циліндра; h — крок гвинтової лінії.

2. Конічна гвинтова лінія (рис. 19.18) — лінія на поверхні колового конуса, що перетинає всі твірні під однаковим кутом.

Параметричні рівняння:



x at cost,


y at sint,

	).
z bt,t [0;	).

3. Крива Вівіані (рис. 19.19) — лінія перетину сфери з коловим циліндром, удвічі меншого радіуса, ніж сфера.

Неявні рівняння:

x2 y2 z2 a2,

x2 y2 ax.

19.4. Поверхні

Рис. 19.20

1. Мебіюсів листок (рис. 19.20) — поверхня,

яку можна одержати склеюванням двох протилежних боків перекрученої прямокутної смужки. Ця поверхня є прикладом однобічної неорієнтованої поверхні: якщо рухатись уздовж мебіюсова листка, не перетинаючи його межі, то (на відміну від двобічних поверхонь, приміром, сфери, циліндра) можна потрапити в початкову точку, опинившись у перевернутому положенні, тобто з «другого боку».

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.05.2019190.46 Кб4Л1.doc
#
18.07.2019895.49 Кб52Л10 Напр микр ЛАСР.doc
#
12.05.2015549.04 Кб8Л4 метрология.pdf
#
18.09.201960.93 Кб3Л6 Створення ТЗИ на ОИД.doc
#
18.09.2019194.05 Кб4Л7 Створення ТЗИ на ОІД передпроектн роботи.doc
#
17.03.201610.08 Mб301лінійна алгебра та аналітична геометрія.pdf
#
14.08.2019490.5 Кб2Лаб 1-5-IEE.doc
#
16.11.2019169.98 Кб1лаб 2 ПАХВ.doc
#
28.04.2019226.3 Кб3лаб 7.doc
#
14.11.20191.36 Mб4лаб работы анализ.docx
#
10.11.2019153.09 Кб4Лаб роб 6 Обчислення арифметичних виразів.doc