Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лінійна алгебра та аналітична геометрія

.pdf

Скачиваний:

301

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

10.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

11. Комплексні числа

Означення 11.4. Добутком двох комплексних чисел z1 і z2 називають

комплексне число

	def x x		2	y y	2
z z		1	2	1	2
z z						.
1 2				x y
	x y			x y
		1	2	2	1

Множину всіх комплексних чисел з означеними рівністю, додаванням та множенням називають множиною комплексних чисел і позначають .

Оскільки


			x1			x2				x1 x			2

											0		,
			0			0					0

				x		x	2			x x
						1	2				1 2

											0	,
				0 0							0

					x
					x
то комплексні числа вигляду
то комплексні числа вигляду						, x , ототожнюють з дійсними числа-
				0

	x
	x
		x, x	. Отже,
ми і записують		x, x	. Отже,
0

				1
				1					0
						1,				0.
						1,				0.
			0					0

Зауваження 11.1.

1.Множина дійсних чисел є підмножиною множини комплексних чисел ( ). Отже, правдиві включення

2.Поняття нерівності для комплексних чисел існує лише як заперечення рівності, тобто z1 z2 означає, що число z1 не дорівнює числу z2. По-

няття «більше» та «менше» для комплексних чисел не означують, тобто множина комплексних чисел , на відміну від множини дійсних чисел

, не впорядкована.



Розгляньмо добуток дійсного числа
Розгляньмо добуток дійсного числа			на комплексне число
		0


	x

z	. Маємо
y

x		x


z			.
0	y		y

Подальше поширення числових множин розглянуто в п. 13.9.

92	Розділ 2. Методи й моделі векторної алгебри

Отже, означення лінійних дій над комплексними числами збігається з означенням дій над двовимірними арифметичними векторами (для додавання це випливає з означення).

Протилежним для комплексного числа z називають число

def	x
def

z ( 1)z		.

	y

														x		1						2
Під різницею комплексних чисел									z							1		та z			x	2	розуміють
Під різницею комплексних чисел									z		1							та z		2			розуміють
											1			y						2	y
														y							y	2
комплексне число															1							2
комплексне число

					def											x2
	z		z		z		( 1)z						x1			x2
	z	1	z	2	z	1	( 1)z		2										.
		1		2		1			2							y
													y			y		2
														1				2
Будь-яке комплексне число можна записати як
												0
			x				1					0
	z							y									.
	z				x			y					, x,y				.
			y				0			1

Уявною одиницею називають комплексне число

0 i .

З означення множення комплексних чисел випливає, що

	2		0		0	1
	2		0		0	1
i							1,
i						0	1,
		1		1		0

тобто комплексне число i є розв’язком рівняння z2 1 0 і i2 1.

Твердження 11.1 (властивості додавання і множення комплексних чисел). Для будь-яких комплексних чисел z,z1, z2,z3 правдиві тотожності:

 z1 z2 z2 z1 (комутативність додавання);

(z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) (асоціативність додавання);

 z 0 z (існування нуля);

існує єдине комплексне число ( z) таке, що z ( z) 0 (існування протилежного числа);

 z1z2 z2z1 (комутативність множення);

(z1z2 )z3 z1(z2z3 ) (асоціативність множення);

1 z z (існування одиниці);

якщо z 0, то існує єдине комплексне число z 1, що zz 1 1 (існу-

вання оберненого числа);

(z1 z2 )z3 z1z3 z2z3 (дистрибутивність множення щодо додавання).

11. Комплексні числа

Зауваження 11.2. Зміст попередніх розділів — дії над матрицями, обчислення визначників, теорія систем лінійних алгебричних рівнянь та лінійної залежності векторів — залишається правдивим, якщо елементи матриць, визначників, коефіцієнти та розв’язки СЛАР, координати векторів вважати комплексними числами.

11.2. Алгебрична форма комплексного числа


					x
Означення 11.5.	Алгебричною формою комплексного числа
Означення 11.5.	Алгебричною формою комплексного числа			z
				y

називають вираз
		z x iy,
де x Re z — дійсна частина комплексного числа x;			y Im z — уявна

частина комплексного числа z; i — уявна одиниця, причому

i2 1.

Дії над комплексними числами в алгебричній формі

Розгляньмо комплексні числа z1 x1 iy1 та z2 x2 iy2.

З означень дій над комплексними числами і алгебричної форми комплексного числа випливає, що:

				x	,
		x	1	x	,
z1	z2		1	2
z1	z2			y2;
		y1		y2;


z1 z2	(x1 x2) i(y1 y2);
z1 z2	(x1 x2) i(y1 y2);
z1z2	(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 x2y1).

Зауваження 11.3. Арифметичні дії над комплексними числами можна

проводити як з алгебричними виразами, враховуючи, що i2 1.

Піднесення комплексного числа z до натурального степеня n розглядають як множення числа z на себе n разів:

def

zn z z z .

Ділення комплексних чисел

Комплексне число x iy називають спряженим до числа z x iy і позначають

def

z x iy.

94	Розділ 2. Методи й моделі векторної алгебри

Маємо

zz (x iy)(x iy) (x2 y2 ) 0i x2 y2 ,

zz 0

Для будь-якого комплексного числа z x iy 0 існує обернене.

Справді, помножуючи рівність

на

, дістаємо

z 1z 1

z 1zz

z 1

x2 y2

Під часткою комплексних чисел z1

x1 iy1 та

z2 x2 iy2

розуміють комплексне число

def

x x

y y

y x

x y

z1 z2

1 2

z2z2

x22 y22

Приклад 11.1. Знайдімо суму, різницю, добуток та частку комплексних чисел z1 2 3i та z2 1 2i.

Ураховуючи формули для дій над комплексними числами в алгебричній формі і зауваження 11.3, маємо:

z1 z2 2 3i ( 1 2i) 1 5i; z1 z2 2 3i ( 1 2i) 3 i;

	z z	2	(2 3i)( 1 2i) 2 3i 4i 6i2
	1	2			ураховуємо,що i2 1
					ураховуємо,що i2 1
				2 i 6 8 i;
z1				2 3i		(2 3i)( 1 2i)
z2			1 2i			( 1)2		(2)2
	домножуємо чисельник і знаменник
	дробу на спряжене число до знаменника
			2 3i 4i 6i2		4 7i		4	7	i.
			1 4		5		5	5	i.
			1 4		5		5	5

11.3. Геометричне зображення комплексних чисел

Комплексне число z x iy зображують на площині Oxy точкою


		x

M(x;y) або радіусом-вектором OM		(рис. 11.1, 11.2).
	y

Існує взаємно однозначна відповідність між комплексними числами z x iy,x,y , і точками площини Oxy. При цьому:

площину, точки якої ототожнюють з комплексними числами, назива-

ють комплексною площиною;

11. Комплексні числа

вісь абсцис називають дійсною віссю (на ній лежать дійсні числа z x); вісь ординат називають уявною віссю (на ній лежать уявні числа z iy).

Якщо число z

зображують точкою (x;y),

то числа

, z

зобра-

жують відповідно точками (x; y),( x; y) і ( x;y) (рис. 11.3).

4 3i

4 x

Рис. 11.1

Рис. 11.2

Рис. 11.3

Додаванню та відніманню комплексних чисел відповідає додавання та віднімання відповідних їм радіусів-векторів

(рис. 11.4).

y	z1 z2
	z1
	z2
O	x
	Рис. 11.4

11.4. Полярна система координат

Нехай на площині задано точку O, яку називають полюсом,

одиничний вектор

, орієнтацію (проти годинникової стрі-

лки). Промінь Op, який орієнтований вектором

, назива-

ють полярною віссю (рис. 11.5).

Рис. 11.5

Положення точки M, відмінної від полюса O, на площині задають

довжиною її радіуса-вектора

і кутом між полярною віссю і про-

менем OM. Кут вважають додатним, якщо його відраховують від полярної осі проти ходу годинникової стрілки, і від’ємним, якщо його відраховують за годинниковою стрілкою.

Полярними координатами точки M називають упорядковану пару чисел

( , )

і записують M( ; ). Координату 0 називають полярним радіусом, координату — полярним кутом. Для полюса — точки O : 0, а полярний кут можна брати довільний.

Полярні координати однозначно визначають точку на площині, а кожній точці площини відповідає нескінченна кількість пар та . У цих парах те саме, а полярні кути відрізняються один від одного на число, кратне 2 , тобто

96	Розділ 2. Методи й моделі векторної алгебри

0 2k ,

де 0 справджує умову

0 .

Його називають головним значенням полярного кута (інколи беруть

0 [0;2 )).

Якщо скористатися головним значенням полярного кута, то відповідність між упорядкованими парами дійсних чисел ( ; 0 ) і точками площи-

ни буде взаємно однозначною (крім точки 0, де 0, а 0 — довільний).

Нехай на площині задано полярну систему координат. Прямокутні декартові координати x,y називають узгодженими з полярними координатами , (рис. 11.6), якщо:

1) базис {i , j } задає вибрану орієнтацію площини;

2) полюс O є початком координат ПДСК;

3) промінь Op є додатною піввіссю осі абсцис.

Якщо x,y — прямокутні координати, узгоджені з

x p x

полярними координатами , ,

то декартові координа-

ти виражаються через полярні співвідношеннями:

Рис. 11.6

x cos ,

(11.1)

y sin ,

а полярні через декартові — співвідношеннями:

							x
							x


			cos							,
					x	2	y		2
	2	2				2			2
x	2	2
x		y	, :			y
						y

			sin							.
				x		2	y	2
				x			y

Зауважмо, що

x2 y2 2.

Координатними лініями в полярній системі коор-

pдинат є кола з центром у полюсі і радіусом R, що мають рівняння R, та промені, які виходять з полюса і

Рис. 11.7

мають рівняння (рис. 11.7).

11. Комплексні числа

11.5. Тригонометрична форма комплексних чисел

Розгляньмо комплексне число z 0,

яке зображує точка M O із поля-

рними координатами ( , ).

Полярний радіус

називають модулем комплексного

Означення 11.6.

числа z і позначають

def

x2 y2,

полярний кут називають аргументом комплексного числа z і позначають

def

Arg z .

Головним значенням аргументу комплексного числа z 0 називають

число

arg z 0 ( ; ].

Отже,

Argz argz 2 k,k .

Зауваження 11.4.

1.Поняття модуля комплексного числа узгоджене з поняттям модуля дійсного числа:

x0i x2 02 x .

2.zz x2 y2 z 2 .

3.Аргумент комплексного числа z 0 невизначений (тобто можна брати будь-який), а модуль дорівнює нулю.

4.Головне значення аргумента можна знайти за формулою

							y
							y
									,
arctg							x		,
							x


				,
		2		,
		2
				y
	arctg			y	,
arg z	arctg				,
				x
				x

			,
			,
	2
	2					y
						y
	arctg							,
	arctg					x		,
						x

x0,y 0,

x0,

x0,y 0,

x 0,y 0.

Нехай точка, що зображує комплексне число z x iy, має полярні координати ( ; ). Тоді, враховуючи співвідношення (11.1), маємо

z x iy cos i sin , 0.

Розділ 2. Методи й моделі векторної алгебри

Тригонометричною формою

комплексного числа

Означення

11.7.

0 називають

вираз

(cos i sin ),

Arg z

де

— модуль комплексного числа

— аргумент

комплексного числа z.

Приклад 11.2.

Зобразімо числа z1 1 i

та z2

1 i на ком-

плексній площині

і запишімо їх у тригонометричній формі.

Маємо

x1 Re z1 1,y1 Im z1 1;

1 i

x2 Re z2

2 i

2 ,y2

Im z2 2 .

Число z1

зображує точка (1;1), а число

— точка

;

(або відповідні раді-

Рис. 11.8											уси вектори) (рис. 11.8).
Знаходимо модулі чисел z1												і z2 :

		z	1		(x					)2	(y )2				12	12 2;
1			1					1				1

																				2			2
																		3

										2				2							1
		z						(x		)	(y			)										1
	2			2					2				2					2
	2			2					2				2
																					2

Знаходимо аргументи чисел z1														і z2, ураховуючи, що число z1 розта-
шоване у 1-й чверті, а число z2 — у 2-й чверті:
	arctg					y1	arctg1 ;
	arctg						arctg1 ;
1						x1								4
						x1								4
								y2								1									5
								y2								1									5
2	arctg									arctg																	.


								x2														6				6
								x2									3					6				6
Записуємо числа у тригонометричній формі:
																			5					5

z1								i sin							z2 cos						i sin
z1		2		cos				i sin				,			z2 cos						i sin					.
							4												6					6
							4					4							6					6

Дії над комплексними числами у тригонометричній формі

Розгляньмо комплексні числа

11. Комплексні числа

z1 1(cos 1 i sin 1); z2 2(cos 2 i sin 2 ).

З означень дій над комплексними числами і тригонометричної форми комплексного числа випливає, що:


		z1 z2 1 2, 1 2 2 k,k ;
	z1z2		1 2(cos( 1			2) i sin( 1			2));
		z1		1	(cos(		) i sin(			)).
					(cos(		) i sin(			)).
	z2		1			2		1	2
	z2			2
Доведімо формулу множення:
z1z2 1(cos 1 i sin 1) 2(cos 2								i sin 2 )

1 2[(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i(sin 1 cos 2 sin 2 cos 1)]1 2[cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )].

Наслідком формули множення комплексних чисел є формула піднесення комплексного числа до натурального степеня, яку називають муав-

ровою формулою

z	n		n		n	(cos n i sin n ).	(11.2)
			(cos i sin )

Доведімо формулу Муавра методом математичної індукції. Очевидно, що формула правдива для n 0 та n 1:

( (cos i sin ))0 1 0(cos 0 i sin 0) 1; ( (cos i sin ))1 (cos i sin ).

Припустімо, що вона правдива для n k :

( (cos i sin ))k k (cosk i sink ),

і при цьому припущенні доведімо її для n k 1:

( (cos i sin ))k 1 (cos i sin )( (cos i sin ))k

(cos i sin ) k (cosk i sin k )

k 1(cosk cos sin sin k i(sin cosk cos sin k ))

k 1(cos(k 1) i sin(k 1) ).

Згідно із принципом математичної індукції формула Муавра правдива для будь-якого натурального n.

Приклад 11.3. Знайдімо z1z2, z1 ,(z1 )10 для комплексних чисел z2

							5		5


z1	2	cos		i sin	та z2	cos		i sin		.
z1	2	cos		i sin	та z2	cos		i sin		.
			4				6		6
			4		4		6		6

Маємо:

100	Розділ 2. Методи й моделі векторної алгебри

								5		5

z1z2				i sin		1			i sin
z1z2	2	cos		i sin		1	cos		i sin
			4					6
			4		4			6		6

																		5									5


									2 1	cos										i sin

															4			6					4					6
																	13						13
																	13						13
																				i sin
														2 cos						i sin					;
																	12
																	12						12


			2						i sin
			2		cos				i sin
	z1						4					4						2
	z1						4					4						2						5							5
																			cos							i sin
																			cos							i sin
z2						5					5
z2						5		i sin			5						1				4			6						4	6
		1	cos
		1	cos
						6						6
						6						6
																									7

										2							7
										2		cos								i sin							;
																									12
																	12								12
10													10								10
													10								10
									i sin											2											10
(z1)				2 cos					i sin											2		cos 10							i sin		10
								4					4
								4					4															4				4
																5					5
									32							5	i sin				5		32i.
									32			cos					i sin						32i.
																2
																2						2

Корінь з комплексного числа

Комплексне число w називають коренем n -го степеня з комплексного числа, якщо

wn z, w nz,n .

Для будь-якого z 0 корінь nz має n різних значень. Справді, під-

ставляючи

z (cos i sin ),w r(cos i sin )

у формулу (11.2), дістаємо

rn(cosn i sin n ) (cos i sin ).

З рівності комплексних чисел випливає рівність їхніх модулів, а аргументи чисел відрізняються на 2 k,k . Отже, маємо співвідношення:

	2 k .	(11.3)
r n ,	2 k .	(11.3)
	n

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.05.2019190.46 Кб4Л1.doc
#
18.07.2019895.49 Кб52Л10 Напр микр ЛАСР.doc
#
12.05.2015549.04 Кб8Л4 метрология.pdf
#
18.09.201960.93 Кб3Л6 Створення ТЗИ на ОИД.doc
#
18.09.2019194.05 Кб4Л7 Створення ТЗИ на ОІД передпроектн роботи.doc
#
17.03.201610.08 Mб301лінійна алгебра та аналітична геометрія.pdf
#
14.08.2019490.5 Кб2Лаб 1-5-IEE.doc
#
16.11.2019169.98 Кб1лаб 2 ПАХВ.doc
#
28.04.2019226.3 Кб3лаб 7.doc
#
14.11.20191.36 Mб4лаб работы анализ.docx
#
10.11.2019153.09 Кб4Лаб роб 6 Обчислення арифметичних виразів.doc