лінійна алгебра та аналітична геометрія

Параметричні рівняння лінії у ПДСК

Нехай точка рухається вздовж деякої лінії L, а її декартові координати в кожний момент t справджують рівняння

x x(t),y y(t),t T.

Означення 14.2. Параметричними рівняннями лінії L у ПДСК назива-

ють співвідношення

x x(t),

y y(t),

де функції x(t) та y(t) мають спільну область означення T. Кожному значенню t T відповідає точка M(x(t);y(t)) L і для будь-якої точки

M(x;y) L знайдеться таке значення t T, що x(t),y(t) є координатами точки M .

Параметричні рівняння лінії можна записати у векторному вигляді:

Запровадьмо полярну систему координат з полюсом у центрі кола (рис. 14.6). Тоді коло матиме полярне рівняння R. Ураховуючи зв’язок між полярними і декартовими координатами, у ПДСК, узгодженій з полярною системою координат, запишемо рівняння кола

Зауваження 14.1.

1. Рівняння F(x,y) 0 може визначати множини точок, що не узгоджуються з інтуїтивним поняттям кривої або не визначати жодного геометричного образу. Приміром,

2. Рівняння кривої може містити лише одну з координат, але визначати криву. Приміром, рівняння y 0 визначає на площині пряму — вісь Ox.

Координати точки перетину ліній

Щоб знайти координати всіх точок перетину ліній L1 та L2, заданих рів-

няннями F1(x, y) 0 та F2(x, y) 0, розв’язують систему рівнянь

F (x, y) 0,

1

F (x, y) 0.

2

Кожний розв’язок системи визначає точку перетину ліній L1 та L2. Якщо система не має розв’язків, то лінії L1 та L2 не перетинаються.

14.3. Поверхні

Рівняння поверхні у ПДСК

Виберімо ПДСК у просторі і розгляньмо деяку поверхню S.

Означення 14.3. Рівнянням поверхні S у заданій ПДСК називають рівняння

F(x, y, z) 0,

яке справджують координати x,y та z усіх точок цієї поверхні й лише вони.

Зокрема, рівняння поверхні у ПДСК може мати вигляд z f(x,y).

Отже, в аналітичній геометрії, на відміну від елементарної геометрії, будь-яку поверхню S (у заданій системі координат) розглядають як множину точок, які справджують рівняння F(x, y, z) 0.

Якщо систему координат вибрано, то будь-яка крива має рівняння. Щоб дістати рівняння деякої поверхні S у вибраній системі координат треба виразити геометричне означення (характерну властивість) поверхні через координати довільної точки поверхні.

Приклад 14.4. Складімо у ПДСК рівняння сфери радіусом R із центром у точці O (рис. 14.7).

де функції x(u,v),y(u,v) та z(u,v) мають спільну область означення D. Кожній парі чисел (u,v) D відповідає точка M(x(u,v);y(u,v);z(u,v)) S і

124 Розділ 3. Методи й моделі аналітичної геометрії

Зауваження 14.2.

1. Рівняння F(x,y, z) 0 може визначати множини точок, що не узгоджуються з інтуїтивним поняттям поверхні або не визначати жодного геометричного образу. Приміром,

1)рівняння x2 y2 0 у ПДСК означує точки осі Oz;

2)рівняння x2 y2 z2 1 0 означує порожню множину точок.

2. Рівняння поверхні може не містити якоїсь координати чи координат, але визначати поверхню у просторі. Приміром, рівняння z 0 означує у ПДСК площину Oxy.

14.4. Рівняння лінії у просторі

Лінію у просторі природно розглядати як переріз двох поверхонь, тобто як геометричне місце точок, що лежать одночасно на двох поверхнях.

Якщо F1(x, y, z) 0 та F2(x, y, z) 0 — рівняння двох поверхонь, перетином яких є лінія L, то: 1) координати будь-якої точки, що лежить на лінії L, справджують обидва рівняння одночасно; 2) обидва рівняння одночасно не справджують координати жодної точки, що не лежить на лінії L.

Параметричні рівняння лінії у просторі

Лінію у просторі можна розглядати як шлях, пройдений матеріальною точкою, що неперервно рухається за певним законом. Як і для лінії на площині, це приводить до параметричного зображення лінії у просторі, тобто координати x, y та z будь-якої лінії задають як неперервні функції деякого параметра t :

x x(t),

y y(t),

z z(t), t T.

Загальне перетворення

Твердження 14.1. Будь-яке перетворення прямокутних декартових координат (зі збереженням масштабу) можна подати як послідовність перенесень, повертань і переорієнтування.

Якщо систему O x y одержано із системи Oxy паралельним перенесенням початку координат O(0;0) у точку O (a;b) та повертанням коорди-

Якщо систему O x y одержано із системи Oxy паралельним перенесенням, повертанням та переорієнтуванням, то координати (x;y) та (x ;y ) довільної точки M зв’язані рівностями: