лінійна алгебра та аналітична геометрія

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

і власні числа

та 2 матриці A.

.pdf

Скачиваний:

301

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

10.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2316 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

16. Еліпс. Парабола. Гіпербола					151
З рівнянь еліпса випливає, що:
1) еліпс міститься у прямокутнику {(x, y) :	x	a,	y	b}	(рис.
1) еліпс міститься у прямокутнику {(x, y) :	x	a,	y	b}	(рис.

16.1);

2) осі Ox і Oy є осями симетрії еліпса, а точка O — його центром си-

метрії, тобто якщо точка M0(x0 ;y0 )

належить еліпсу, то й точки ( x0 ;y0 ),

( x0 ; y0 ) та (x0 ; y0 ) також йому належать;

еліпс

перетинає

осі координат

точках

A1( a;0), A2(a; 0),

B1(0; b), B2(0;b);

(16.3)

можна

одержати

стисканням

кола

Еліпс

із

рівнянням

x2 y2

a2 вздовж осі Oy з коефіцієнтом

(рис. 16.2).

a x

Рис. 16.1

Рис. 16.2

Із п. 2) випливає, що еліпс із точністю до знаків (тобто орієнтації осей)

визначає свої канонічні координати, з якими,

за умови, що b a зв’язані

такі характеристики (рис. 16.3):

число a — велика піввісь;

число b — мала піввісь;

число c

a2 b2 ;

F1 O

число 2c

F1F2

— фокусна віддаль;

Рис. 16.3

число

— ексцентри-

ситет (0 1);

число p

— фокальний параметр;

вісь абсцис — велика (фокальна) вісь;

вісь ординат — мала вісь;

точка O(0;0) — центр;

точки ( a;0),(0; b) — вершини;

точки ( c; 0) — фокуси;

прямі x

, 0 — директриси.

Фокус		F (c; 0) і директрису	x a	називають правими, а фокус
		2
F ( c; 0)	та директрису x a — лівими.
152		Розділ 3. Методи й моделі аналітичної геометрії

1

	Для будь-якого кола b a,c 0, 0, p a фокуси збігаються з
центром, директриси не означені.
	Віддалі будь-якої точки M(x;y) еліпса від фокусів називають фокаль-
ними радіусами цієї точки:

F1M a x r1; MF2 a x r2.

Зауваження 16.1. Еліпс є множиною точок, сума віддалей яких від фокусів стала і більша за віддаль між фокусами (рис. 16.3):

r1 r2 2a 2c.

Цю властивість еліпса називають фокальною.

16.3. Парабола

Параболою називають криву на площині, яка в деякій ПДСК має рівняння

y2 2px, p 0.

(16.5)

Рівняння (16.5) називають канонічним рівнянням параболи, а ПДСК —

канонічною ПДСК параболи.

З рівняння (16.5) параболи випливає, що:

1)парабола розташована у правій півплощині x 0 (рис. 16.4);

2)вісь Ox — вісь симетрії;

3)парабола перетинає вісь абсцис у точці O(0;0).

Із пп. 2) та 3) випливає, що з точністю до орієнтації осі ординат парабола визначає свої канонічні координати, з якими зв’язані такі характерис-

тики (рис. 16.4):

число p — фокальний параметр;

число

— фокусна віддаль;

p O

p x

вісь абсцис — фокальна вісь;

точка A(0;0) — вершина;

точка

;0 — фокус;

Рис. 16.4

пряма x p2 — директриса.

Ексцентриситет параболи 1. Фокальний радіус r x p2 .

16. Еліпс. Парабола. Гіпербола

153

Зауваження 16.2. Парабола є множиною точок, які рівновіддалені від фокуса і директриси (рис. 16.4):

r d.

16.4. Гіпербола

Гіперболою називають криву на площині, яку в деякій ПДСК задає рівняння

x2	y2	1,a,b 0.	(16.6)
a2	b2

Рівняння (16.6) називають канонічним рівнянням гіперболи, а цю ПДСК — канонічною ПДСК гіперболи.

З канонічного рівняння гіперболи випливає, що гіперболу можна задати параметричними рівняннями:

a cht,

b sht,t

		a




	x		t

або		2
або
		b
		b
	y		t
	y		t

		2


1
	,

t
1
1		t	1.
	,	t	1.


t

	З рівняння (16.6) також випливає:									y
1) для всіх точок гіперболи		x	a,		тобто гіпербола роз-					y
ташована за межами смуги {(x, y) :							a} (рис. 16.5);
ташована за межами смуги {(x, y) :					x		a} (рис. 16.5);		A1	b	A2
2)	осі Ox та Oy є осями симетрії гіперболи, а точка O							a	A1		A2
2)	осі Ox та Oy є осями симетрії гіперболи, а точка O							a		O	a x
— її центром симетрії;										b
3)	гіпербола перетинає лише вісь абсцис у точках									b
3)	гіпербола перетинає лише вісь абсцис у точках
A1( a; 0), A2(a; 0);										Рис. 16.5
					b					Рис. 16.5
4)	гіпербола має асимптоти y				b	x.
4)	гіпербола має асимптоти y					x.
				a

Із п. 2) випливає, що гіпербола з точністю до знаків (тобто орієнтації осей) визначає свої канонічні координати, з якими зв’язані такі характеристики (рис. 16.6):

число a — дійсна піввісь;

число b — уявна піввісь;

число c

b2 a2 ;

F2 x

число 2c

F1F2

— фокусна віддаль;

ексцентриси-

число

—

тет ( 1);

Рис. 16.6

число p a — фокальний параметр;

вісь абсцис — дійсна (фокальна) вісь;

154	Розділ 3. Методи й моделі аналітичної геометрії

вісь ординат — уявна вісь; точка O(0;0) — центр;

точки ( a;0) — вершини; точки ( c; 0) — фокуси;

прямі x , 0 — директриси.

Лівий та правий фокальні радіуси:

x a,

a x,

a x

x a; 2

x a,

2a,

x a

xa,

xa;

2a.

Зауваження 16.3. Гіпербола є множиною точок, модуль різниці віддалей яких від фокусів є сталою величиною, меншою за віддаль між фоку-

сами (рис. 16.6).

	r1 r2	2a 2c.

Цю властивість гіперболи називають фокальною.

16.5. Спільні властивості кривих 2-го порядку

Фокально-директоріальна властивість

Нехай точка M(x;y) належить лінії 2-го порядку.

1. Віддалі від точки M до лівої та правої директрис еліпса (див. рис. 16.3):

x a

Отже,

2. Віддаль точки M до директриси параболи (див. рис. 16.4) d x p2 r .

Отже,

dr 1.

3. Для гіперболи правдиве співвідношення (рис. 16.6):

r1 r2 1. d1 d2

16. Еліпс. Парабола. Гіпербола

155

Зауваження 16.4. Еліпс, парабола, гіпербола є множинами точок, для яких відношення фокального радіуса r до віддалі точки до відповідної директриси d є сталим і дорівнює ексцентриситету .

Оптичні властивості кривих

1.Якщо помістити в один з фокусів еліпса точкове джерело світла, то всі промені після відбиття від еліпса зійдуться в іншому його фокусі (рис. 16.7).

2.Якщо помістити у фокус параболи точкове джерело світла, то всі промені, відбиті від параболи, спрямуються паралельно фокальній осі параболи

(рис. 16.8).

Ця властивість обґрунтовує форму параболічних антен, дзеркал для прожекторів тощо.

3.Якщо помістити в один з фокусів гіперболи точкове джерело світла, то кожний промінь після відбиття від гіперболи начебто виходить з іншого фокуса (рис. 16.9).

F x

F	F2
1

Рис. 16.7

Рис. 16.8

Рис. 16.9

Рівняння кривих 2-го порядку в полярних координатах

Якщо полюс полярної системи координат вибрати для еліпса в лівому фокусі, параболи — у фокусі, гіперболи — у правому фокусі; полярною віссю вибрати фокальну вісь і спрямувати її зліва направо (рис. 16.10), то еліпс, парабола та права гілка гіперболи в полярних координатах мають рівняння

	p
	1 cos .
M	M	M
M	M	F2
F1	F	F2
O	O	O
O	O

Рис. 16.10

156	Розділ 3. Методи й моделі аналітичної геометрії

17. Зведення рівняння ліній 2-го порядку до канонічного вигляду

17.1. Квадратичні форми

В аналітичній геометрії теорія квадратичних форм потрібна як засіб для дослідження ліній і поверхонь 2-го порядку.

a		a
	11		12			a		.
Розгляньмо симетричну матрицю A		a		, тобто a		a	21	.
a	21	a	22		12		21
	21		22

Означення 17.1. Вираз

a11x12 a22x22 2a12x1x2

називають квадратичною формою змінних x1, x2. Матрицю A називають

матрицею квадратичної форми.

Симетрична матриця A квадратичної форми задає певне лінійне пере-

творення (п. 14.6)

y Ax.

Упорядкований набір чисел x1, x2 можна розглядати як координати век-

тора x 2 в деякому ортонормованому базисі {e1, e2 } простору 2, тобто x x1e1 x2e2.

Тоді квадратична форма

Q(x ) Q(x1, x2 ) a11x12 a22x22 2a12x1x2.

є числовою функцією векторного аргумента x, яка означена в усьому просторі 2.

Приміром,

Q(x, y) 2x2 3xy y2

є квадратичною формою змінних x1 Тут

a11 2, a12 a21 2 ,

x, x2 y.

a 1 A

23 2 .

32 1

Квадратична форма Q(x ) має у вибраному базисі канонічний вигляд,

якщо матриця квадратичної форми у цьому базисі діагональна, тобто

a12 a21 0.

Твердження 17.1. Для будь-якої квадратичної форми існує базис, у якому вона має канонічний вигляд.

17. Зведення рівняння ліній 2-го порядку до канонічного вигляду

157

17.2. Власні числа і власні вектори матриці

Означення 17.2. Ненульовий стовпець x називають власним вектором квадратної матриці An n , якщо існує таке число , що

Ax x.

Число називають власним числом матриці A, що відповідає власному вектору x.

Матричне рівняння Ax x еквівалентне однорідній системі ліній-

них алгебричних рівнянь

(A En )x 0,

де En — одинична матриця.

На підставі теореми 4.3 ця система (а, отже, і матричне рівняння) матиме ненульові розв’язки, якщо

rang(A En ) n

A En

Матрицю

...

a12

a22 ...

a2n

A E

... ...

...

де — незалежна змінна; називають характеристичною матрицею матриці A.

Визначник характеристичної матриці

	a11	a12	...	a1n
A En	a12	a22	...	a2n
	a12	a22	...	a2n
	...	... ... ...
	...	... ... ...
	an1	an2	...	ann

називають характеристичним многочленом матриці A.

Рівняння A En 0 називають характеристичним рівнянням мат-

риці A.

Твердження 17.2. Власні числа матриці A є коренями характеристичного многочлена A En цієї матриці. Власні вектори є ненульовими

розв’язками однорідної СЛАР

(A En )x 0.

Зауваження 17.1. Кількість власних чисел матриці скінченна, натомість кількість власних векторів — нескінченна, оскільки нескінченною є множина розв’язків виродженої однорідної системи, розв’язками якої і є власні вектори.

158	Розділ 3. Методи й моделі аналітичної геометрії

		5	2
		5	2
Приклад 17.1.
Приклад 17.1.	Знайдімо власні числа матриці A		8	.
	2		8

Записуємо характеристичне рівняння для матриці A:

5	2	0;
2	8	0;
2	8

(5 )(8 ) 4 0;

2 13 36 0.

Розв’язуючи характеристичне рівняння, дістаємо, що власними числами матриці A є 1 4 та 2 9. 

17.3. Побудова канонічних систем координат для кривих 2-го порядку

O x y

Рис. 17.1

y y

y0 O

O x0

Рис. 17.2

y y2 2px

x2 2py

1. Лінія з рівнянням

x2 y2 1,a b 0, b2 a2

є еліпсом (рис. 17.1). Канонічну систему координат для цього еліпса дістаємо із заданої повертанням на



кут		.

		2

2. Лінія з рівнянням
x x		0	2	y y		0	2
		0				0
								1,a b 0,
								1,a b 0,
	a				b
	a				b

є еліпсом (рис. 17.2). Канонічну систему координат для цього еліпса дістаємо із заданої паралельним перенесенням початку координат у точку (x0 ;y0 ).

3. Лінії, які задані рівняннями

y2 2px, x2 2py, x2 2py, p 0,

O	x
	x2 2py
Рис. 17.3

є параболами (рис. 17.3). Канонічну систему координат для цих парабол дістаємо із заданої переорієнтуванням або повертанням осей.

4. Лінія з рівнянням

y y		(y y0 )2 2p(x x0 ), p 0,
		є параболою (рис. 17.4). Канонічну систему координат
y0	x	для цієї параболи дістаємо із заданої паралельним пе-
O	x	ренесенням початку координат в точку (x0 ;y0 ).
	x0
O	x

Рис. 17.4

17. Зведення рівняння ліній 2-го порядку до канонічного вигляду							159
5. Лінія з рівнянням
	(x x0 )2			(y y0 )2	1, a,b 0,
		a2			1, a,b 0,
		a2		b2
є гіперболою. Канонічну систему координат для цієї						y
гіперболи дістаємо із заданої паралельним перенесен-
гіперболи дістаємо із заданої паралельним перенесен-						b
ням початку в точку (x0 ;y0 ).						b
ням початку в точку (x0 ;y0 ).					a		a x
6. Лінія з рівнянням					a	O	a x
y2		x2				b
y2		x2	1,b,a 0,

b2		a2				Рис. 17.5
b2		a2
є гіперболою, спряженою до канонічної (рис. 17.5).
є гіперболою, спряженою до канонічної (рис. 17.5).

Загальний випадок

Розгляньмо загальне рівняння геометричного образу 2-го порядку на площині

a x2	2a xy a	y2	2a x 2a	y a	33	0,	(17.1)
11	12	22	13	23	33

де a11,a12 та a22 не дорівнюють нулю одночасно.

У разі, якщо a12 0, то це рівняння можна перетворити до каноніч-

ного вигляду (тим самим будуючи відповідну канонічну систему координат) паралельним перенесенням осей координат.

Отже, нехай a12 0. Розгляньмо матрицю

a		a
	11	12			a		a ,
A		a		,	a		a ,
a		a				21	12
						21	12
	21		22

квадратичної форми

Q(x,y) a11x2 2a12xy a22y2.

Повертанням координатних осей на певний кут можна анулювати коефіцієнт при добуткові змінних. Для цього будують ортонормований базис площини із власних векторів матриці A, у якому матриця квадратичної форми набуде діагонального вигляду

		0
	1

				,
0			2
			2

де 1, 2 — власні числа матриці A.

Алгоритм зведення рівняння лінії 2-го порядку до канонічного вигляду

Крок 1. Записуєють матрицю квадратичною форми. Крок 2. Знаходять власні числа 1 та 2 матриці A.

160	Розділ 3. Методи й моделі аналітичної геометрії

		11				12
Крок 3.		11				12
	1			та e	2
	Знаходять одиничні власні вектори e			та e
			21				22
			21				22

матриці A.

Крок 4. Записують матрицю лінійного перетворення координат, що

задає водночас і повертання координатних осей на кут :
			11		12		cos sin
			11		12

	H								cos	.
			21		22		sin		cos
			21		22
Тобто
				x		cos y		sin ,
		x		x		cos y		sin ,
														(17.2)
				x sin y cos .										(17.2)
		y		x sin y cos .

									та y ,
Крок 5. Переходячи до нових координат x									та y ,	з рівняння (17.1) діс-
тають
x 2	y 2	2b x 2b y b							0,b		a	33	.	(17.3)
1	2			13			23	33	33			33

Крок 6. Паралельним перенесенням ПДСК знищують один або обидва лінійних доданки в рівнянні 17.3 і дістають канонічне рівняння лінії 2-го порядку.

17.4. Класифікація ліній 2-го порядку

Інваріантом рівняння ліній 2-го порядку (17.1) називають функцію від кое-

фіцієнтів цього рівняння, значення якої не змінюється після переходу від однієї ПДСК до іншої. Величини

a11

a12

a11

a12

a13

, J

a21

a22

a31

a32

a33

де a21 a12,

a31

a13, a32

a23, є інваріантами рівняння (17.1) лінії 2-го

порядку.

Значення інваріантів визначають геометричні характеристики лінії. Інваріантами є також характеристичний многочлен матриці

Усі геометричні образи 2-го порядку поділяють на три типи:

1)якщо J2 0, то геометричний образ еліптичного типу;

2)якщо J2 0, то геометричний образ параболічного типу;

3)якщо J2 0, то геометричний образ гіперболічного типу.

Тип лінії зберігається у разі зміни ПДСК.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2316 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.05.2019190.46 Кб4Л1.doc
#
18.07.2019895.49 Кб52Л10 Напр микр ЛАСР.doc
#
12.05.2015549.04 Кб8Л4 метрология.pdf
#
18.09.201960.93 Кб3Л6 Створення ТЗИ на ОИД.doc
#
18.09.2019194.05 Кб4Л7 Створення ТЗИ на ОІД передпроектн роботи.doc
#
17.03.201610.08 Mб301лінійна алгебра та аналітична геометрія.pdf
#
14.08.2019490.5 Кб2Лаб 1-5-IEE.doc
#
16.11.2019169.98 Кб1лаб 2 ПАХВ.doc
#
28.04.2019226.3 Кб3лаб 7.doc
#
14.11.20191.36 Mб4лаб работы анализ.docx
#
10.11.2019153.09 Кб4Лаб роб 6 Обчислення арифметичних виразів.doc