Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лінійна алгебра та аналітична геометрія

.pdf

Скачиваний:

301

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

10.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 234 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

3. Ранг матриці

Твердження 3.4 (властивості рангу матриці).

Ранг матриці дорівнює найбільшій кількості лінійно незалежних рядків (стовпців) матриці.

Ранг східчастої матриці дорівнює кількості ненульових рядків.

Транспонування матриці, елементарні перетворення матриці та видалення нульових рядків (стовпців) матриці не змінюють її рангу.

Ранги еквівалентних матриць рівні.

Ранг матриці методом Ґауса (за допомогою елементарних перетворень) знаходять за схемою:

1.Матрицю за допомогою елементарних перетворень зводять до східчастого вигляду.

2.Кількість ненульових рядків у східчастому вигляді матриці дорівнює рангу матриці.

Приклад 3.2. Знайдімо методом Ґауса ранг матриці

							1	1		3					5
							1	1		3					5

							1	5 1							3
				A			1	5 1							3	.

								1		5
						2		1		5					6

Перетворюємо матрицю A до східчастого вигляду:
				1	1	3		5
				1	1	3		5

				1 5 1				3						a				a
		A		1 5 1				3	a			2		a			2	a
												2					2			1
					1 5
			2		1 5			6		a		3		a			3			2a
												3					3				1
	1	1	3	5															1		1	3	5
	1	1	3	5															1		1	3	5

	0	6	2																0		6	2	8
	0	6	2	8															0		6	2	8	.
										1
		3	1							1											0	0
0		3	1	4			a3											0			0	0	0
					a3								a2
					a3						2		a2

Східчастий вигляд матриці A містить два ненульові рядки. Отже, на підставі твердження 3.4 маємо rang A 2. 

3.4. Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень

Алгоритм перетворення матриці до зведеного східчастого вигляду (метод Ґауса — Йордана)

1.Зводять матрицю до східчастого вигляду (прямий хід методу Ґауса).

2.Відкидають нульові рядки (це вже не є елементарним перетворенням):

	0	...	0	b
				1k1
		...	0	0
0		...	0	0

B
... ... ... ...

	0	...	0	0
	0	...	0	0

... ...				b1k
... ...				b1k
				r
...	0	b2k	...
...	0	b2k	...
			2
... ...		... ... ...		...	.
... ...		... ... ...		...

...	0	0 ... 0		b
...	0	0 ... 0		b	...
				rkr

32	Розділ 1. Методи й моделі лінійної алгебри

3.Ділячи останній рядок на його лідера, одержують 1.

4.Додаючи до решти рядків новий останній рядок, помножений на відповідні коефіцієнти, дістають нулі над одиницею:

				b				... ...			c					0	c			...
					ikr						1,k		1				1,k		1
ci bi												r						r
ci bi
				brk							...					...	...				D		0	...
				brk		r		... ...			...					...	...			...	D		0	...
						r
B							C									0	...							.
B							C																	.
		b						... ... c			r 1,k				1					...		0	1
		b									r 1,k				1							0	1	...
		r												r
cr
cr	b
	b								0 ...		0					1	c			...
		rkr							0 ...		0					1	c		1	...
		rkr															r,kr		1
5. Повторюють пп. 1–4 для решти рядків (зворотний хід методу Ґауса).
Після r	кроків одержимо зведену східчасту матрицю

					0		...	0	1	...		0		...			0
					0		...	0	1	...		0		...			0		...

					0		...	0	0	...		1		...			0
					0		...	0	0	...		1		...			0		...

									...	...		...		...			...		.
			... ... ...						...	...		...		...			...		...

							...	0	0	...		0		...			1
			0				...	0	0	...		0		...			1		...

Процедуру перетворення матриці до зведеного східчастого вигляду, що поєднує в собі прямий хід методу Ґауса, можливе відкидання нульових рядків та зворотний хід методу Ґауса, називають методом Ґауса — Йордана.

Будь-яку квадратну матрицю n -го порядку з лінійно незалежними рядками елементарними перетвореннями її рядків можна перетворити на одиничну матрицю En .

Нехай A — квадратна матриця порядку n. Дописуючи праворуч від неї одиничну матрицю En , дістанемо матрицю A | En розміром n 2n,

яку називають розширеною матрицею.

Схема знаходження оберненої матриці методом Ґауса — Йордана

Крок 1. Утворюють розширену матрицю A | En .

Крок 2. Застосовують до матриці A | En прямий хід методу Ґауса.

Матрицю A зводять до східчастого вигляду, водночас перетворюючи і праву частину розширеної матриці.

Крок 3. Якщо матриця Z — східчаста форма матриці A — міститиме нульові рядки, то висновують про необоротність матриці A. Якщо матриця Z не має нульових рядків, то матриця A — оборотна, і матрицю Z вже зворотним ходом методу Ґауса перетворюють на одиничну матрицю En .

Тим самим розширену матрицю перетворюють до зведеного східчастого вигляду:

A | En ... En | A 1 .

Крок 4. Виписують матрицю A 1 — праву частину розширеної матриці.

		3. Ранг матриці	33

	Знаходити матрицю, обернену до матриці A, можна і
Зауваження 3.1.	Знаходити матрицю, обернену до матриці A, можна і
	A

перетворенням матриці		. При цьому всі перетворення провадять
перетворенням матриці		. При цьому всі перетворення провадять

	En
лише зі стовпцями.

Приклад 3.3. Знайдімо методом Ґауса — Йордана матрицю, обернену до

	2	3	1
	2	3	1
	4	5	2
матриці A	4	5	2	.

		7	3
5		7	3

Крок 1. Утворюємо розширену матрицю:
			2	3	1	1	0	0



A \| E			4	5	2	0	1	0
A \| E	3	B	4	5	2	0	1	0	.
	3
				7	3	0	0	1
		5		7	3	0	0	1

Крок 2. Зводимо розширену матрицю елементарними перетвореннями рядків до східчастого вигляду:

			2	3	1		1	0	0



			4	5 2			0 1 0				b		b 2b
			4	5 2			0 1 0				b		b 2b
											2			2	1
				7	3		0	0								5
		5		7	3		0	0	1
										b3 b3							b1
																2
																2
		2		3	1			1	0		0



		0		1	0		2 1				0
		0		1	0		2 1				0
																			1
							5 2 0				1								1
	0 1 2 1 2						5 2 0				1
												b3 b3								b2
																			2
																			2
2		3		1		1				0 0
2		3		1		1				0 0			b b 2b
														1	1			3
0			1	0			2			1	0										...
0			1	0			2			1	0										...

0			0 1 2		3 2			1 2
0			0 1 2		3 2			1 2			1			b	2b
														b	2b
														3				3

Крок 3. Східчаста матриця не містить нульових рядків. Отже, A оборотна. Застосовуємо зворотний хід методу Ґауса:

			2	3 0					4		1 2					b b 3b
			2	3 0					4		1 2					b b 3b
																1 1			2

			0	1	0			2			1			0
	...		0	1	0			2			1			0

				0	1			3			1			2
		0		0	1			3			1			2

	2 0 0	2		4 2								1						1 0 0		1	2
												1
								b						b
								b				2		b
									1			2		1
	0 1 0	2		1		0												0 1 0		2	1
	0 1 0	2		1		0												0 1 0		2	1

		3		1		2														3	1
0 0 1		3		1		2										0 0 1				3	1

Крок 4. Виписуємо обернену матрицю
										1				2	1
										1				2	1
					1
					1									1		0
					A		2							1		0	.

													1
									3				1			2

матриця

0 .

34	Розділ 1. Методи й моделі лінійної алгебри

4. Системи лінійних алгебричних рівнянь

4.1. Основні поняття

Рівняння щодо невідомих x1,x2,..., xn вигляду

a1x1 a2x2 ... anxn b

називають лінійним алгебричним. Задані числа ai ,i 1,n, називають кое-

фіцієнтами рівняння, а число b — вільним членом рівняння.

Система m лінійних алгебричних рівнянь (СЛАР) з n невідомими x1, x2,...,xn має вигляд

a12x2

a1nxn b1,

a11x1

(4.1)

..............................................

b .

m1 1

m2 2

Перший індекс коефіцієнта aij , i 1, m, j

1, n, при змінній вказує

на номер рівняння, а другий — на номер невідомої, при якій стоїть цей коефіцієнт.

Зіставмо системі (4.1) дві матриці: матрицю системи

	a		a
		11
		11		1n
A aij					aj
A aij					aj
m n					n
			a
	a		a
		m1		mn

і розширену матрицю системи

	a			a		b
			11		1n	1
							a
A							a	j
								j
				a		b
	a	m1		a	mn	b
		m1			mn	m

де b bi m — стовпець вільних членів.

Тоді систему (4.1) можна записати у вигляді: 1) матричному

| b n ,


		a11
		a11
	b
Ax	b



		a
			m1

2) векторному

a
a		x1		b1
	1n

						;
		...		...		;

a
a
	mn	x		b
	mn		n		m
			n		m

			a			a
n			a			a
n				11			12


xjaj	b	x1			x2
xjaj	b	x1	...		x2	...
j 1
j 1
			a			a
			a			a
				m1			m2

де x (xj )n — стовпець невідомих.

	a		b
		1n		1


... x
... x	...		... ,
	n

	a		b
		mn		m

Застосування СЛАР розглянуто у п. 5.5. Геометричний зміст СЛАР — у п. 6.2.

4. Системи лінійних алгебричних рівнянь

Означення 4.1. Розв’язком системи (4.1) називають набір n значень невідомих x1 c1,...,xn cn, підставлення яких у всі рівняння системи перет-

ворює їх на тотожності. Розв’язок системи записують як стовпець c (cj )n.

Система може:

1) мати один розв’язок, приміром:

x 0,1

x 1;2

2) мати безліч розв’язків, приміром:

		x		0,
x	1	x	2	0,
	1		2
		x2		0;
x1		x2		0;

3) не мати жодного розв’язку, приміром:

		x		0,
x	1	x	2	0,
	1		2
		x2		1.
x1		x2		1.

Означення 4.2. Систему лінійних алгебричних рівнянь називають сумісною (розв’язною), якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною (нерозв’язною), якщо вона не має розв’язків. Сумісну систему називають визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо вона має більше як один розв’язок.

Дві системи називають рівносильними, якщо кожний розв’язок першої системи є розв’язком другої, і навпаки. Усі несумісні системи вважають рівносильними.

Означення 4.3. Систему лінійних алгебричних рівнянь називають однорідною, якщо вільні члени всіх рівнянь нульові, і неоднорідною, якщо хоч один з них відмінний від нуля.

Означення 4.4. Будь-який розв’язок системи називають її частинним розв’язком. Множину всіх частинних розв’язків називають загальним розв’язком системи.

4.2. Формули Крамера

Розгляньмо СЛАР у матричній формі
		Ax	b	(4.2)
із квадратною матрицею A n -го порядку,				і нехай rang A n, тобто
	A	0 — матриця A оборотна.		(4.2) на A 1, одержимо
	A	0 — матриця A оборотна.
		Помножуючи обидві частини	рівності

розв’язок СЛАР (4.1) і матричного рівняння (4.2), якому вона еквівалентна:

36	Розділ 1. Методи й моделі лінійної алгебри

A 1Ax A 1b;

xA b.

Уцьому полягає матричний метод розв’язання СЛАР.

Ураховуючи формулу для оберненої матриці (теорема 2.5), дістанемо:


	\|



x


	\|


		\|


A
A	b


		\|

A11b1

A21b2

...

A b

...

A b

1n 1

2n 2

A b

n1 n

A b

nn n

biAij

j 1,n.

... b

... an

i 1

Одержані формули є розгорнутим записом формул Крамера:

	j		(4.3)
xj		, j 1,n,

де j — визначник матриці, одержаної з матриці A заміною j -го стовпця на стовпець вільних членів; а — визначник матриці A.

Зауваження 4.1. Формули Крамера практично застосовують до систем 2 2 та 3 3. Для більших систем вони мають переважно теоретичне значення і у практичних обчисленнях їх застосовують рідко.

Приклад 4.1. Розв’яжімо за формулами Крамера СЛАР:

x 4y 10,

3x y 9.

Запишімо матрицю системи і стовпець вільних членів:

					1		4			10
					1		4			10

			A				1	,b			9		.
				3			1				9


За формулами Крамера (4.3) ( x									відповідає 1, а y відповідає 2 )
					1		4		13		0;
					1		4
					3		1
		10		4								1	10
	x					26;									39;
						26;									39;
		9		1					y			3		9
	x		x	26			2;		y		y			39		3.
	x			26			2;		y					13		3.
				13										13

Відповідь: x 2,y 3.

4. Системи лінійних алгебричних рівнянь

4.3. Дослідження і розв’язання загальних систем лінійних алгебричних рівнянь

Елементарними перетвореннями СЛАР називають:

1)переставляння рівнянь;

2)множення обох частин якого-небудь рівняння на число, відмінне від нуля;

3)додавання до рівняння іншого рівняння, помноженого на деяке число. Елементарні перетворення СЛАР призводять до відповідних елемен-

тарних перетворень рядків матриці та розширеної матриці системи. Системи лінійних алгебричних рівнянь, одержані одна з одної елемен-

тарними перетвореннями, називають еквівалентними. Еквівалентні СЛАР рівносильні.

Розв’язати систему — це означає:

1)з’ясувати, чи є система сумісною або несумісною;

2)якщо система сумісна, то знайти множину її розв’язків.

Розгляньмо матрицю

і розширену матрицю

A | b

СЛАР

Ax b.

Теорема 4.1	(Кронекера — Капеллі) Система лінійних алгебричних рі-
			A (A \| b ) сумісна тоді й лише
внянь Ax b із розширеною матрицею.			A (A \| b ) сумісна тоді й лише
тоді, коли ранг матриці системи A дорівнює рангу розширеної матриці

системи A, тобто

		rang A rang A.


Запишімо систему Ax b у векторному вигляді:
				(4.4)
	x1a1	x2a2 ... xnan b.		(4.4)

Якщо існує розв’язок системи, то запис (4.4) означає, що стовпець вільних членів є лінійною комбінацією стовпців матриці системи. Отже, приписування стовпця вільних членів не збільшує загальної кількості лінійно незалежних стовпців, і

rang rang .

A A

Нехай Тоді базисна підматриця матриці буде ба-

rang A rang A r.

зисною і в матриці Переставленням рівнянь та перенумеровуванням змінних

38	Розділ 1. Методи й моделі лінійної алгебри

завжди можна досягнути, щоб базисна підматриця розташувалась у верхньому лівому кутку матриці.

За теоремою 3.2 стовпець вільних членів є лінійною комбінацією базисних стовпців:

a c

b ,

a c

11 1

1r r

c a

... c a

..............................................

1 1

2 2

a c

b .

m1 1

m2 2

mr r

Упорядкований набір n чисел c1,c2,..,cr , 0,..., 0 перетворює кожне з рівнянь заданої системи на тотожність. Отже, система сумісна.

Наслідки з теореми 4.1.

Якщо ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює кількості невідомих, то система має єдиний розв’язок.

Якщо ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці, але менший за кількість невідомих, то система має безліч розв’язків.

Можливі випадки кількості розв’язків СЛАР показано на рис. 4.1.


rang A r,


rang A r		СЛАР Am nx b
		СЛАР Am nx b

	r r		r r
r n		r n

Єдиний розв'язок		Безліч розв'язків	Жодного
			розв'язку

Рис. 4.1

Алгоритм розв’язування СЛАР методом Ґауса — Йордана

Крок 1. Записують розширену матрицю системи:

a		a		b

	11		1n	1


					.

		a		b
a	m1
			mn	m

Крок 2. Зводять розширену матрицю до східчастого вигляду (прямий хід методу Ґауса):

		4. Системи лінійних алгебричних рівнянь										39
	1,k ... ...									1


		1

	0	...	0	2,k	...					2
	0	...	0	2,k	...					2
					2

... ... ...				...	... ...					...
... ... ...				...	... ...					...


	0	...	0	0	...	0		... ...
	0	...	0	0	...	0		... ...
							r,kr				r

	0	...	0	0	...	0	0	0
	0	...	0	0	...	0	0	0			1
										r	1

	... ... ... ... ... ... ... ... ... ...									...
	... ... ... ... ... ... ... ... ... ...									...


	0	...	0	0	...	0	0	... 0
	0	...	0	0	...	0	0	... 0
										m
Крок 3. Досліджують систему на сумісність (теорема Кронекера —
Капеллі).
Якщо хоча б один з вільних членів i,i r 1,m, відмінний від ну-
ля, то система несумісна.

Якщо ж i	0,i r 1,m, то система сумісна.
Крок 4. У разі сумісності перетворюють східчасту матрицю до зведе-
ного східчастого вигляду:
	1 ... ...			0			0			1
	1 ... ...			0			0


		...	0	1	...		0		2
	0	...	0	1	...		0		2

				...	... ...						.
	... ... ...			...	... ...				...

		...	0	0	...	0	1 ... ...
	0	...	0	0	...	0	1 ... ...			r
										r

Крок 5. Знаходять розв’язки одержаної системи. Можливі два випадки: 1) кількість змінних дорівнює рангу матриці системи (n r):

		,
x	1	,
	1	1

		2,
x2		2,

..........

				;
x	n		n	;
	n		n

2) кількість змінних n більша від кількості рівнянь r (n r).

Змінні, які відповідають лідерам рядків, називають базисними, а решту змінних — вільними. Отже, x1,x2,...,xr — базисні змінні, xr 1,xr 2,...,xn — вільні змінні.

Вільним змінним надають довільних значень C1,...,Cn r і виражають

через них базисні змінні.

...

1,r 1 1

1,n n r

...

2,r 1 1

2,n n r

................................................

...

r,r 1 1

,n n r

, j

1,n r.

40	Розділ 1. Методи й моделі лінійної алгебри

Крок 6. Записують загальний розв’язок системи у векторному вигляді:


						n r

										C
				1						C
				1				1,r j			j
						j 1
						j 1

						...
						...

						n r
						n r


x			r								d C e					... C e			,
													1 1				n r n r
					r,r jCj								1 1				n r n r
						j 1


						C1
						C1


						...
						...

						C
						C	n r
							n r
де
		1
		1							1,r 1					1,n


															...
	...							...							...




			r							r,r 1					r,n

		0			d ;					1		e			0		e	.
		0			d ;					1		e	;...;		0		e	.
												1					n r

		0								0					0
		0								0					0


															...
	...							...							...


										0					1
	0									0					1

Приклад 4.2. Дослідімо на сумісність і знайдімо загальний розв’язок системи

		2x			x		x		x		1,
x	1	2x		2	x	3	x	4	x	5	1,
	1			2		3		4		5
			4x2 x3 x5							2.
2x1			4x2 x3 x5							2.

Крок 1. Записуємо розширену матрицю системи:

					1		2		1			1				1	1
					1		2		1			1				1	1

				A			4 1						0		1		.
					2		4 1						0		1		2

	Крок 2. Зводимо елементарними перетвореннями рядків розширену
матрицю до східчастого вигляду:
	1 2	1 1		1	1											1	2	1 1	1	1
	1 2	1 1		1	1											1	2	1 1	1	1

		1	0	1													0 3 2		3	.
2 4		1	0	1	2 a	2	a	2			2a					0	0 3 2		3	0
						2		2					1
												2 (східчастий вигляд як матриці
	Крок 3. Оскільки rang A rang A											2 (східчастий вигляд як матриці

системи A, так і розширеної матриці системи A містить два ненульові ря-
дки), то система сумісна.
	Крок 4. Продовжуючи перетворення, зводимо матрицю до зведеного
східчастого вигляду:
											1
											1
	1 2	1 1		1	1 a		a						a	2		1	2 0 1 3 0			1
	1 2	1 1		1	1 a		a				3		a			1	2 0 1 3 0			1
						1		1	1		3
		3	2	3					1							0	0 1 2 3 1			.
0 0		3	2	3	0											0	0 1 2 3 1			0
					a2						a2
										3
										3

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 234 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.05.2019190.46 Кб4Л1.doc
#
18.07.2019895.49 Кб52Л10 Напр микр ЛАСР.doc
#
12.05.2015549.04 Кб8Л4 метрология.pdf
#
18.09.201960.93 Кб3Л6 Створення ТЗИ на ОИД.doc
#
18.09.2019194.05 Кб4Л7 Створення ТЗИ на ОІД передпроектн роботи.doc
#
17.03.201610.08 Mб301лінійна алгебра та аналітична геометрія.pdf
#
14.08.2019490.5 Кб2Лаб 1-5-IEE.doc
#
16.11.2019169.98 Кб1лаб 2 ПАХВ.doc
#
28.04.2019226.3 Кб3лаб 7.doc
#
14.11.20191.36 Mб4лаб работы анализ.docx
#
10.11.2019153.09 Кб4Лаб роб 6 Обчислення арифметичних виразів.doc