Несобственный интеграл 1-го рода

Определение:

Несобственный интеграл f (x)dx называется

a

сходящимся абсолютно, если сходится интеграл f (x) dx.

а интеграл f (x)dx сходится, то он называется

a

сходящимся условно.

Несобственный интеграл 1-го рода

Пример 2:

Исследовать на абсолютную сходимость интеграл

cos2x dx.

0 1 x2

Несобственный интеграл 2-го рода

Пусть функция f (x) определена на интервале [a, b] и

Точка b при этом называется особой точкой функции f (x).

Будем считать, что для 0 на отрезке [a,b ] функция f (x) интегрируема, то есть существует интеграл

b

f (x)dx,

a

который является интегралом с переменным верхним пределом.

Несобственный интеграл 2-го рода

Определение:

b

то он называется несобственным интегралом 2-го рода

Несобственный интеграл 2-го рода

Определение:

Пусть функция f (x) определена на интервале [a, b] и

Тогда несобственным интегралом 2-го рода от функции f (x)

Несобственный интеграл 2-го рода

Определение:

Пусть функция f (x) определена на интервале [a, b] и

Тогда несобственным интегралом 2-го рода от функции f (x)

на интервале [a, b] называется сумма пределов

b c b

разрыва 2-го рода в конце и начале интервала соответственно.

Несобственный интеграл 2-го рода

В случае разрыва 2-го рода внутри интервала интегрирования для сходимости несобственного интеграла должны существовать оба

c b

Во всех других случаях несобственный интеграл 2-го рода называется расходящимся.

Несобственный интеграл 2-го рода: Геометрический смысл

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл 2-го рода означает, что фигура, ограниченная сверху кривой y = f (x) > 0, слева прямой x = a, справа прямой x = b, бесконечно вытянутая в направлении оси Y, имеет конечную площадь.

Несобственный интеграл 2-го рода

Определение: b

Несобственный интеграл f (x)dx называется

a b

сходящимся абсолютно, если сходится интеграл f (x) dx.

а интеграл f (x)dx сходится, то он называется

a

сходящимся условно.