Интегральное исчисление

Неопределённый интеграл

Определение:

Совокупность всех первообразных для функции f (x) на интервале (a, b), называется неопределённым интегралом

от f (x) и обозначается так:

f (x)dx F (x) C

Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования (или табличный метод) основан на подборе первообразной для подынтегральной функции с помощью так называемой таблицы интегралов элементарных функций.

При этом используется следующее свойство:

Неопределённый интеграл от функции линейного аргумента

f (ax b)dx 1a F (ax b) C

Метод поднесения под знак дифференциала

Пусть подынтегральная функция представляет собой произведение двух функций следующего вида:

f G(x) g(x)

где G (x) g(x)

Тогда неопределённый интеграл можно найти по формуле:

f G(x) g(x)dx f G(x) dG(x) F G(x) C

Метод основан на преобразовании дифференциала:

g(x)dx G (x)dx dG(x)

Метод замены переменной

Пусть x (t) – непрерывно дифференцируемая функция такая, что существует обратная функция t 1(x)

Тогда неопределённый интеграл находится по формуле:

f (x)dx f (t) (t)dt G(t) C

В конце необходимо вернуться к исходной переменной путём обратной замены

G(t) C G 1(x) C

Метод интегрирования по частям

Пусть u = u(x) и v = v(x) – непрерывно дифференцируемые на некотором интервале функции.

Тогда имеет место следующая формула:

u(x)v (x)dx u(x) v(x) v(x)u (x)dx

Эта формула может быть записана в более простой форме:

u dv u v v du

Эффективность метода интегрирования по частям зависит от правильного выбора функций u(x) и v(x).

Классы функций, интегрируемых по частям

1. Подынтегральная функция содержит в качестве одного из сомножителей одну из функций

loga (x); arcsin (x); arccos (x); arctg (x); arcctg (x)

2. Подынтегральная функция представляет собой произведение многочлена степени п и одной из функций

ebx; cosbx; sin bx; chbx; shbx

3. Подынтегральная функция имеет вид

math.mmts-it.org