Интегральное исчисление
Лекция 07
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Интегральное исчисление |
|
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., |
доцент |
|
кафедры высшей математики БГУИР |
||
Площадь криволинейной трапеции |
|
||
Определение: |
|
|
|
Криволинейная трапеция – это геометрическая фигура, |
|
||
ограниченная слева прямой х = а, справа прямой х = b, сверху |
|||
графиком функции y = f (x), снизу осью Х. |
|
||
Y |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь: |
|
|
|
b |
|
|
X |
S f (x)dx |
|
a |
b |
a |
|
|
|
||
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Площадь криволинейной трапеции
Ситуация:
Y |
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
Площадь: |
|
|
X |
b |
|
|
S f (x)dx |
|
a |
b |
|
|
|
a |
||
|
|
|
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Площадь криволинейной трапеции
Пример:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y x2 2x; |
y 0; |
x 1; |
x 1. |
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Площадь криволинейной трапеции
Пусть граница криволинейной трапеции задана параметрическими уравнениями x = x (t), y = y (t) , причём значение параметра t изменяется в интервале [t1, t2].
Тогда площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле:
b |
t2 |
t2 |
S f (x)dx y(t)dx(t) y(t)x (t)dt |
||
a |
t1 |
t1 |
так как f (x) y y(t)
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Площадь криволинейной трапеции
Пример:
Вычислить площадь эллипса, заданного каноническим
уравнением
x2 y2 1. a2 b2
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Площадь фигуры в полярной системе координат
Определение:
Криволинейный сектор – это геометрическая фигура, ограниченная лучами, выходящими из начала координат и соответствующими углам 1 = и 2 = , и внешней
линией, заданной уравнением = ( ).
Площадь:
S 12 2 ( )d
Интегральное исчисление
Длина дуги кривой
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
Кривая задана явно в декартовой системе координат:
b
l 
1 f (x) 2 dx
a
Кривая задана параметрически:
t2
l 
x (t) 2 y (t) 2 dt
t1
Кривая задана в полярной системе координат:
l 
( ) 2 ( ) 2 d
Интегральное исчисление
Длина дуги кривой
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
Пример:
Найти длину петли кривой
x t2 1
y 13 (t3 3t)
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Площадь поверхности вращения
Огибающая задана явно в декартовой системе координат:
b
S 2 f (x)
1 f (x) 2 dx
a
Огибающая задана параметрически:
S 2 y(t)
x (t) 2 y (t) 2 dt
Огибающая задана в полярной системе координат:
S 2 ( )sin 
( ) 2 ( ) 2 d