Дифференциальное исчисление
Математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Локальный экстремум функции
Функция f (x) в некоторой точке x0 имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(x0) точки x0 что для любой точки х из этой окрестности выполнено условие
f (x) f (x0 ).
Функция f (x) в некоторой точке x0 имеет локальный минимум, если существует такая окрестность U(x0) точки x0 что для любой точки х из этой окрестности выполнено условие
f (x) f (x0 ).
Точки локального минимума и локального максимума называются
точками локального экстремума функции.
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Локальный экстремум функции
Пример:
Y |
U(x1) U(x2) U(x3) |
U(x4) |
f (x) |
||
|
|
||||
|
|
|
|
|
X |
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
Дифференциальное исчисление
Теорема Ферма
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
Пусть функция f (x) |
определена на интервале (a, b) |
и в некоторой точке |
x0 (a,b) имеет локальный экстремум. |
Тогда, если в точке х0 существует конечная производная f (x0 ), то она равна нулю:
f(x0 ) 0.
П.Ферма – французский математик, 1601–1665
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
||
кафедры высшей математики БГУИР |
|||
|
Теорема Ферма |
||
Геометрический смысл: |
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
X |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
Дифференциальное исчисление
Теорема Ролля
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема в каждой точке интервала (a, b) и выполнено
равенство |
f (a) = f (b). Тогда существует хотя бы одна точка |
c (a,b), |
для которой f (c) 0. |
М. Ролль – французский математик, 1652–1719
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
||
кафедры высшей математики БГУИР |
|||
|
Теорема Ролля |
|
|
Геометрический смысл: |
|
|
|
Y |
|
|
f2(x) |
y2 |
|
|
|
y1 |
|
f1(x) |
|
|
|
X |
|
a1 |
b1 |
a2 |
b2 |
Дифференциальное исчисление
Теорема Коши
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы в каждой точке интервала (a, b), причём
g (x) 0, x (a,b).
Тогда на интервале (a, b) найдется точка с такая, что
f (b) f (a) f (c) g(b) g(a) g (c)
Замечание: g(a) g(b).
О. Коши – французский математик, 1789–1857
Дифференциальное исчисление
Теорема Лагранжа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке
и дифференцируема в каждой точке интервала (a, b). Тогда на этом интервале найдётся такая точка c (a,b), для которой выполнено равенство
f (b) f (a) |
f (c) |
|
f (b) f (a) f (c)(b a) |
|
b a |
||||
|
|
|
Ж. Л. Лагранж – французский математик, 1736–1813
Дифференциальное исчисление |
|
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
|
|
кафедры высшей математики БГУИР |
||
|
Теорема Лагранжа |
|
|
Геометрический смысл: |
|
|
|
Y |
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
A |
|
|
|
|
|
X |
a |
c1 |
c2 |
b |