Интегральное исчисление
Лекция 06
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
|
Определённый интеграл |
|
Определение: |
|
Y |
f (x) |
A |
B |
|
|
|
X |
a |
b |
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
||
кафедры высшей математики БГУИР |
|||
Определённый интеграл |
|
||
Определение: |
|
a x0 x1 |
xn b |
Y |
|
f (x) |
|
A |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
a |
|
b |
|
xi-1 |
xi |
xi+1 |
|
Интегральное исчисление |
|
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
||
|
кафедры высшей математики БГУИР |
|||
Определённый интеграл |
||||
Определение: |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
f (x) |
f (ci-1) |
f (ci) |
B |
||
|
|
f (ci+1) |
||
A |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (ci+2) |
|
|
|
|
|
X |
a ci-1 ci |
xi |
ci+1 ci+2 |
b |
|
|
xi-1 |
xi+1 |
|
|
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Определённый интеграл
Интегральная сумма Римана:
n |
|
f (ci ) xi |
|
i 1 |
|
Определение: |
b |
n |
|
lim f (ci ) xi |
f (x)dx |
0 i 1 |
a |
где max xi – ширина максимального отрезка разбиения.
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Определённый интеграл
Вопрос:
Любая ли функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] ?
Теорема 1:
Непрерывная на отрезке [a, b] функция интегрируема на нём по Риману.
Теорема 2:
Монотонная на отрезке [a, b] функция интегрируема на нём по Риману.
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Определённый интеграл: Свойства
a |
b |
1. f (x)dx 0 |
2. dx b a |
a |
a |
3. |
Линейность |
|
|
|
|
b |
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) g(x) dx f (x)dx |
|
g(x)dx , R |
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
b |
4. |
Если f (x) 0, |
x [a,b], a b |
то |
f (x)dx 0 |
|
|
|
|
a |
Интегральное исчисление |
|
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
|||||
|
кафедры высшей математики БГУИР |
||||||
|
|
|
Определённый интеграл: Свойства |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
5. |
Если |
f (x) g(x), x [a,b], |
a b |
то f (x)dx g(x)dx |
|||
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
b |
a |
|
|
|
|
6. |
f (x)dx f (x)dx |
|
|
|
|
||
|
|
a |
b |
|
|
|
|
7. Аддитивность
b |
c |
b |
|
f (x)dx f (x)dx f (x)dx |
a,b,c R |
||
a |
a |
c |
|
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Определённый интеграл: Свойства
Теорема о среднем:
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то существует такая точка с, что
b
f (x)dx f (c) (b a)
a
Число f (c) называется средним значением функции f (x) на отрезке [a, b].
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
||||||||
кафедры высшей математики БГУИР |
|||||||||
Интеграл от кусочно-непрерывной функции |
|
||||||||
Теорема: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кусочно-непрерывная на отрезке [a, b] |
функция интегрируема |
||||||||
на нём по Риману. |
|
|
Y |
|
f (x) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1(x), |
a x c1, |
|
|
|
|||||
f (x) f |
2 |
(x), |
c x c |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
(x), |
c2 x b. |
|
|
X |
|||
f3 |
|
|
|||||||
|
|
c1 |
|
c2 |
a |
c1 |
c2 |
b |
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|||
f (x)dx f1(x)dx f2(x)dx f3(x)dx |
|
|
|||||||
a |
|
a |
|
c1 |
c2 |
|
|
|
|