Интегральное исчисление

Несобственные интегралы

Определение определённого интеграла Римана от функции f (x):

Функция f (x) интегрируема на интервале [a, b], если:

1)интервал [a, b] имеет конечную длину;

2)функция f (x) на этом интервале ограничена.

и интегрируема на любом отрезке [а, b], где a < b.

Несобственным интегралом 1-го рода от функции f (x)

lim f (x)dx,

B a

который обозначается f (x)dx.

a

Если этот предел существует и является конечным числом, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Несобственный интеграл 1-го рода

Аналогично определяются следующие несобственные интегралы 1-го рода от функции f (x):

b b

Несобственный интеграл 1-го рода: Геометрический смысл

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл 1-го рода означает, что фигура, ограниченная сверху кривой y = f (x) > 0 и снизу прямой y = 0, бесконечно вытянутая в направлении оси Х, имеет конечную площадь.

Несобственный интеграл 1-го рода

Методы вычисления:

Пусть функция F(x) является первообразной для функции f (x). Тогда:

Несобственный интеграл 1-го рода обладает теми же свойствами, что и обычный определённый интеграл.

Несобственный интеграл 1-го рода

Пример 1:

Несобственный интеграл 1-го рода: Сходимость

Теорема 1 (признак сравнения):

Пусть на интервале [a, ) определены две неотрицательные функции f (x) и g (x), интегрируемые на каждом конечном отрезке [а, b], где a < b.

Несобственный интеграл 1-го рода: Сходимость

Теорема 3 (признак Абеля - Дирихле):

Пусть функции f (x) и g(x) определены и непрерывны на интервале [a, ).

Если функция g(x) монотонно стремится к нулю при x и имеет непрерывную производную g’(x), а функция f (x)

имеет ограниченную первообразную F(x) при x a,

то несобственный интеграл f (x)g(x)dx сходится.

a

Н.Х. Абель – норвежский математик (1802 – 1829) П.Г. Дирихле – немецкий математик (1805 – 1859)