Функции многих переменных
Лекция 2
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Непрерывность функции многих переменных
Определения:
lim f (x, y) f (x0 , y0 )
(x, y) (x0 , y0 )
lim f (M ) f (M0 )
M M 0
lim f (M ) f (M0) |
|
|
|
|
|
M M0 |
|
|
|
|
|
0, 0, M U (M0) : |
|
f (M ) f (M0) |
|
|
|
|
|
||||
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Непрерывность функции многих переменных
Пример:
Найти точки разрыва функции
z |
x y 4 |
|
x2 y2 4 |
||
|
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Приращение функции многих переменных
Дано:
Функция z f (x, y) Точка M0 (x0 , y0 )
Полное приращение:
z(M0 ) f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 ) f (M ) f (M0 )
Частные приращения:
x z(M0 ) f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )y z(M0 ) f (x0 , y0 y) f (x0, y0 )
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Свойства ФМП, непрерывных в точке
1.Если f и g – непрерывные в области D функции, то непрерывными в этой области являются:
– их сумма f g; |
|
|
||
– их произведение |
|
f g; |
|
|
– их частное |
f |
, |
где M D : |
g(M ) 0. |
|
g |
|
|
|
2. Непрерывность сложной функции |
|
|||
Пусть задана функция |
z = f (x, y), где x = 1 (u, v), y = 2 (u, v). |
|||
Если функции 1 (u, v) |
и 2 (u, v) непрерывны в точке (u0, v0), |
|||
а функция f (x, y) |
непрерывна в точке M0(x(u0,v0), y(u0,v0)), |
|||
то сложная функция z = f ( x (u, v), y (u, v) ) непрерывна в точке
(u0, v0).
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Свойства ФМП, непрерывных в точке
3. Устойчивость знака непрерывной функции |
|
Если функция u = f (M) непрерывна в точке 0 и |
f (M0) 0, |
то существует окрестность U (M0), в которой знак числа f (M) совпадает со знаком f (M0).
4. Теорема о промежуточном значении
Если функция f (A) = a, f (B) любого числа найдётся такая
f (x, y) непрерывна на связном множестве D и = b – её значения в точках А и В из D, то для с, заключённого между а и b, в области D точка С, что f (C) = с.
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Свойства ФМП, непрерывных в точке
5. Теорема Вейерштрасса
Если функция u = f (M) непрерывна на ограниченном замкнутом множестве D, то она ограничена на нём и достигает в некоторых точках 1 и М2 этого множества своих наибольшего и
наименьшего значения.
Функции многих переменных
Лекция 2
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Частные производные ФМП
Определение:
Пусть задана функция трёх переменных u = f (x,y,z), определённая в некоторой области D.
Пусть М0(x0, y0, z0) – некоторая точка этой области.
Зафиксируем значения переменных у и z:
y y0;
zz0.
Врезультате получим функцию u = f (x, y0, z0) переменной x.
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Частные производные ФМП
Определение:
Если функция u = f (x, y0, z0) дифференцируема при x = x0, то есть существует конечный предел
lim |
f (x0 x, y0 , z0 ) f (x0 , y0 , z0 ) |
|
lim |
xu(M0 ) |
|
||||||
|
|
|
x |
||||||||
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
x 0 |
|||
то он называется частной производной функции u = f (x, y, z) |
|||||||||||
по переменной х в точке М0. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Обозначения: |
u |
|
|
, u(M0) , |
u (M |
0 |
). |
|
|
||
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
M0 |
x |
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||