Функции многих переменных
Лекция 7
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Условный экстремум функции многих переменных
Пусть задана функция трёх переменных u = f (x, y, z).
Найдём такую точку M0(x0,y0,z0), в которой достигается минимальное или максимальное значение этой функции при условии, что значения переменных x, y, z удовлетворяют ограничению F(x, y, z) = 0.
u f (x, y, z)
F(x, y, z) 0
–целевая функция
–уравнение связи
или
F1(x, y, z) 0 |
– уравнения связи |
F (x, y, z) 0 |
|
2 |
|
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Условный экстремум функции многих переменных
Точка M0, удовлетворяющая всем уравнениям связи, является
точкой локального условного экстремума, если существует такая окрестность U(M0) точки M0, что для любой точки М
из этой окрестности, удовлетворяющей всем уравнениям связи, выполнено неравенство
f (M ) f (M0) – для условного минимума f (M ) f (M0) – для условного максимума
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Метод множителей Лагранжа
Задано: |
|
z f (x, y) |
– целевая функция |
F(x, y) 0 |
– уравнение связи |
Функция Лагранжа:
L(x, y; ) f (x, y) F(x, y)
– множитель Лагранжа
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Метод множителей Лагранжа
Теорема:
Пусть функции z = f (x, y) и F(x, y) непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки M0(x0,y0),
для которой F(x0,y0) = 0.
Если функция z = f (x, y) имеет в точке M0(x0,y0), локальный
условный экстремум и
grad F(M0) 0,
то существует число , что в точке M0 выполнены равенства
Lx |
(x, y; ) fx (x, y) Fx (x, y) 0; |
|
|
|
|
Ly (x, y; ) f y |
(x, y) Fy (x, y) 0; |
|
|
|
|
L (x, y; ) F(x, y) 0.
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Достаточное условие экстремума при наличии связи
Теорема:
Пусть функции z = f (x, y) и F(x, y) дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности стационарной
стационарной точки |
(x0, y0; 0 ) |
|
|
|||
функции Лагранжа |
|
L(x, y; ) f (x, y) F(x, y) |
||||
и F(x0, y0 ) 0. |
|
|
|
|
|
|
Тогда если: |
|
|
|
|
|
|
d2L(x0, y0; 0) 0, |
то в точке (x0,y0) |
локальный |
||||
d 2L(x , y ; |
|
условный максимум |
||||
) 0, |
то в точке (x |
,y ) |
локальный |
|||
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
условный минимум
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Нахождение условного экстремума
Второй дифференциал: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||
d 2L (dx |
Lxx |
Lxy |
|
||||||||
dy) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|||||
|
|
Lyx |
Lyy |
|
|||||||
Стационарная точка функции Лагранжа: |
|
(x0, y0; 0 ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
Число: Q |
(F |
|
Lxx |
|
Lxy |
|
|||||
F ) |
|
|
|
|
|
|
y |
||||
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fx |
|||
Условие экстремума: |
Lyx |
|
Lyy |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Q 0 |
– локальный условный максимум в точке M0 |
||||||||||
Q 0 |
– локальный условный минимум в точке M0 |
||||||||||
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Метод множителей Лагранжа
Функция: u f (x, y, z)
Уравнение связи: F(x, y, z) 0
Функция Лагранжа:
L(x, y, z; ) f (x, y, z) F(x, y, z)
Нахождение стационарных точек:
L
x
Ly
L
z
L
(x, y, z; ) fx (x, y, z) Fx (x, y, z) 0; (x, y, z; ) f y (x, y, z) Fy (x, y, z) 0;
(x, y, z; ) fz (x, y, z) Fz (x, y, z) 0; (x, y, z; ) F(x, y, z) 0.
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Нахождение условного экстремума
Стационарная точка: |
(x0, y0, z0; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Матрица: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Fz |
0 |
Fx |
||||||||||||
Lxx |
Lxy |
Lxz |
|
|
Fz |
|
||||||||
Q |
|
|
|
|
L |
L |
L |
|
|
|
0 |
F |
||
|
0 |
|
|
|
yx |
yy |
yz |
|
|
|
z |
|
||
|
Fz |
Fy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Lzx |
Lzy |
Lzz |
|
|
|
Fx |
Fy |
|
||
Условие экстремума:
Матрица Q определена отрицательно – локальный условный максимум в точке M0.
Матрица Q определена положительно – локальный условный минимум в точке M0.
Функции многих переменных |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
||
кафедры высшей математики БГУИР |
|||
|
Метод множителей Лагранжа |
||
|
|
|
|
|
Функция: u f (x, y, z) |
|
|
|
Уравнения связи: F1(x, y, z) 0; |
F2(x, y, z) 0. |
|
|
Функция Лагранжа: |
|
|
L(x, y, z; 1, 2) f (x, y, z) 1 F1(x, y, z) 2 F2(x, y, z)
|
Нахождение стационарных точек: |
|
||
|
|
(F1)x (x, y, z) 2 |
(F2)x (x, y, z) 0; |
|
Lx (x, y, z; 1, 2) fx (x, y, z) 1 |
||||
|
|
|
|
|
Ly (x, y, z; 1, 2) fy (x, y, z) 1 |
(F1)y (x, y, z) 2 |
(F2)y (x, y, z) 0; |
||
|
|
|
|
|
|
|
(F1)z (x, y, z) 2 (F2)z (x, y, z) 0; |
||
Lz (x, y, z; 1, 2) fz (x, y, z) 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
(x, y, z; 1, 2) F1(x, y, z) 0; |
|
||
L 1 |
|
|||
|
|
(x, y, z; 1, 2) F2(x, y, z) 0. |
|
|
L 2 |
|
|||
|
|
|
|
|