Функции многих переменных

Экстремум функции многих переменных

Определение:

Пусть функция трёх переменных u = f (x, y, z) определена на некотором множестве D R3.

Функция f (x, y, z) имеет во внутренней точке M0 (x0, y0 , z0) области D локальный минимум, если существует окрестность U (M0) точки M0 такая, что

f (M ) f (M0), M U (M0)

Функция f (x, y, z) имеет во внутренней точке M0 (x0, y0 , z0) области D локальный максимум, если существует окрестность U (M0) точки M0 такая, что

f (M ) f (M0), M U (M0)

Экстремум функции двух переменных

Экстремум функции многих переменных

Теорема (необходимое условие экстремума):

Если дифференцируемая функция u = f (x, y, z) имеет во внутренней точке M0 (x0, y0 , z0) локальный экстремум, то в этой точке выполнено равенство

grad f (M0 ) 0,

которое равносильно равенствам

или d f (M0) = 0.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются стационарными точками функции.

Экстремум функции многих переменных

Теорема (достаточное условие экстремума):

Пусть функция u = f (x, y, z) имеет непрерывные частные производные по всем переменным до второго порядка включительно и в точке M0 (x0 , y0 , z0) выполнено условие

grad f (M0 ) 0.

Рассмотрим в этой точке матрицу Гессе

Экстремум функции многих переменных

Теорема (достаточное условие экстремума):

Если в стационарной точке M0 матрица Гессе определена

отрицательно, то функция f (x, y, z) имеет в ней локальный максимум.

Если в стационарной точке M0 матрица Гессе определена

положительно, то функция f (x, y, z) имеет в ней локальный минимум.

Если в стационарной точке M0 матрица Гессе

знаконеопределена, то в ней локальный экстремум отсутствует.

Критерий Сильвестра

Определение:

Квадратная матрица А называется определённой положительно, если её определитель и все её главные миноры положительные:

и называется определённой отрицательно, если её нечётные главные миноры отрицательные, а чётные – положительные:

Во всех остальных случаях матрица А называется

знаконеопределённой.

Экстремум функции двух переменных

Теорема (достаточное условие экстремума):

Пусть функция z = f (x, y) – дважды непрерывно дифференцируемая в окрестности точки M0 (x0, y0)

функция, и M0 – стационарная точка, в которой

grad f (M0 ) 0.

Экстремум функции двух переменных

Теорема (достаточное условие экстремума):

Если в стационарной точке M0 матрица Гессе

1)определена отрицательно, то функция z = f (x, y) имеет

вней локальный максимум;

2)определена положительно, то функция z = f (x, y) имеет

вней локальный минимум;

3)знаконеопределена, то в ней локальный экстремум отсутствует.

Экстремум неявной функции двух переменных

Так как Fz 0, то эти условия эквивалентны системе:

Fx (x, y, z) 0,Fy (x, y, z) 0.

Следует добавить ещё одно условие:

F(x, y, z) 0.