Смольянов. тексты лекция

120

где t – критерий Стьюдента, который обычно принимают t = +2 или +3, с округлением соответствующие 5 и 0,3%-му уровню безошибочного заключения;

С2 – квадрат коэффициента вариации; N – численность совокупности;

D – относительная точность опыта, т.е. разность между вычисленной генеральной средней и действительной средней генеральной совокупности (D = 5, 10 % и т.д.).

При тех же данных и численности генеральной совокупности N = 100 и 1000 получим n = 39 и 60. По формуле (12.1), которая здесь несовершенна, имели бы n = 80.

Вопросы для самопроверки:

1 Задачи планирования наблюдений.

2 Определение достаточного числа наблюдений.

3 Случайный отбор и систематическая выборка.

4 Оценка ошибок выборки.

5 Виды погрешностей.

6 Точность и объем выборки.

121

ЛЕКЦИЯ XIII

Оптимизация. Линейное программирование

План лекции

1 Структура оптимизационной модели.

2 Классификация задач исследований операций.

3 Задачи линейного программирования.

1 Структура оптимизационной модели

Автоматизация управления производством и технологическими процессами дает реальный экономический эффект, когда она ориентирована на решение нетрадиционных задач, использующих комбинированные возможности компьютерного моделирования. Поэтому при разработке комплексной автоматизированной системы управления предприятиями лесопромышленного комплекса необходимо ориентироваться на наиболее перспективные задачи планирования и управления производством.

Постановка и решение этих задач относится к специальному разделу прикладной математики – исследованию операций.

Одной из основ операционного исследования является математическая модель, которая полезна в тех случаях, когда нежелательны весьма дорогостоящие эксперименты в управлении производством.

Использование математических моделей в планировании и управлении позволят иначе взглянуть на традиционность подхода к программированию, а также поставить принципиально новые задачи.

Роль и содержание математической модели. Построение математических моделей и постановка задач исследования базируется на системном подходе, который предполагает расчленение структуры управления на составляющие части – обеспечивающие и функциональные подсистемы, раздельное изучение их и взаимосвязь между ними. Поэтому представим содержание, состав, технологию постановки и внедрения математических методов планирования и управления производством. Роль и место математической модели в планировании и управлении представлены на рис. 13.1.

Если модель построения с использованием математических средств (графиков, функциональных зависимостей, уравнений), она становится основой математической задачи.

123

"нет". Математическая модель чаще всего записывается на языке уравнений и неравенств, поэтому такие переменные тоже интерпретируются как неизвестные числовые значения ("да" – 1,0, "нет" – 0) и логическими. Чтобы учесть динамику параметра, выявляется зависимость от времени. При построении математической модели приходится решать ряд важных проблем. Вопервых, избежание громоздкости модели, во-вторых, модель должна быть адекватна, что зависит от полноты описания процесса.

Следующий этап – выявление связей, зависимостей между факторами, которые приобретают форму соотношений (уравнений или неравенств) – ограничений математической модели. Типичный пример соотношения – верхняя и нижняя граница переменной (процент интенсивности рубок ухода, диаметры сортиментов и т.д.). Важно не пропустить ни одного соотношения, поскольку именно соотношения между параметрами отражают в модели связи между управляемыми факторами, регламентирующие реальный процесс управления. Потеря ограничений обычно приводит к решению задачи, которое невозможно не только реализовать, но даже и истолковать.

Ограничения задачи оптимизации – соотношения между ее неизвестными. Итак, математическая модель сформулирована. Решение задачи сводится к поиску значений переменных, удовлетворяющих всем ограничениям. Это направление называется допустимым решением или планом задачи. Для сравнения качества допустимых решений и алгоритмического выбора лучшего из них вводится критерий эффективности – представление того или иного поведения системы. Критериями эффективности в управлении служат прирост насаждений, сроки выращивания древесины и т.д. В математической модели критерию эффективности соответствует целевая функция или функционал задачи – числовая функция, заданная на множестве допустимых решений.

Задачу оптимизации, включающую все перечисленное выше, можно сформулировать как требование найти допустимое решение, соответствующее оптимальному значению. Полученная таким образом оптимальная задача содержит описание процесса управления в виде набора уравнений. Результатом решения задачи является искомый оптимальный план – допустимые решения с наибольшим или наименьшим значениями функционала. Таким образом, задачу оптимизации можно рассматривать как формальную математическую модель, предназначенную для поиска эффективных управленческих решений на базе математических методов. Задача оптимизации связывает объект реального физического мира в формально-логическую информационную систему, исходную проблему и ее решение. Наиболее сложными и ответственными этапами явля-

124

ются обследование объекта и постановка задачи, требующие знания объекта, содержание проблемы и широкого ряда возможных вариантов построения математической модели.

Факторы и связи в задачах планирования и управления. На примере лесопромышленного комплекса перечислим некоторые управляемые и неуправляемые факторы.

1 Количество - вещественные (целые или дробные) числа – могут интерпретироваться в качестве:

–расхода ресурсов;

–объема перевоза;

–интенсивностей технологий;

–финансовых затрат;

–сроков исполнения.

2 Количества – как целые (неделимые) числа – допускают истолкования:

–численность производственных объектов;

–способа реализации плана действий;

–временной интервал.

3 Логические знаки ("да" и "нет") интерпретируются как:

–способ выбора одного из двух вариантов при обосновании необходимости (выпуск новой продукции, изменения формы собственности и т.д.);

–признак соответствия объектов при распределении заданий, назначениях на должность и пр.

4 Рассматриваемые в динамике параметры социально-экологических, ор- ганизационно-технических, технологических процессов появляются в математической модели в виде неизвестных функций, описывающих развитие этих параметров во времени, пространстве. Такие переменные могут соответствовать предполагаемым трендам параметров, развернутым в динамике, пространст- венно-временным характеристикам объектов управления или взаимосвязям управляемых факторов.

5 Еще реже в качестве управляемых или неуправляемых факторов используются случайные значения, связанные с вероятной природой производственного процесса и отражающие неопределенность ситуации.

Выбрав множество управляемых и неуправляемых факторов, следует перейти к исследованию связей между ними. Чаще всего связи между перемен-

ными соответствуют линейным функциям вида: у = ао +а1 х1 +а2 х2 +...+аn xn. Таков суммарный расход ресурсов, включая и экономические.

125

Интенсивность работы технологического процесса и расхода ресурсов

Коэффициенты а0 ,а1,а2 ...аn – множители или делители в этих формулах – некоторые числовые значения, называемые параметрами модели. В математической модели их удобно рассматривать как переменные с индексами, однако при решении конкретной задачи требуется знать их величину. В модели не должно быть ограничений, параметры которых неизвестны.

2 Классификация задач исследований операций

Математические модели планирования и управления зависят от ряда характеристик:

1 Горизонт планирования – интервал времени построения прогноза. В зависимости от этого показателя класс задачи может меняться от оперативного (час, смена, сутки) до перспективного (1 год, 5 лет и т.д.).

2 Масштаб (или уровень задачи) связан с размером горизонта планирования. На нижней ступени находятся краткосрочные задачи, связанные с оперативным управлением. На верхнем уровне – задачи координации отдельных производств.

3 Целеустановка (или содержание критерия эффективности).

4 Форма и математическое содержание: на данном этапе при построении модели кроме требования адекватности учитывается возможность численного решения математических задач с применением ЭВМ.

3 Задачи линейного программирования

Задачей линейного программирования называется задача поиска экстремума (максимума или минимума) линейного функционала при линейных связывающих неизвестные ограничения. Рассмотрим модель и метод решения задач этого класса на примере конкретной задачи распределения ресурсов предприятия ЛПК. Пусть лесозаготовительное предприятие выпускает несколько видов лесоматериалов (пиловочник, дрова, щепу и т.д.), условно занумерованных индексами j Є 1:n. Будем считать, что производство единицы продукции j обеспечивает предприятию доход в размере Сi и затраты единицы ресурсов, лимитирующих производство, которые занумерованы индексами i Є 1:m. Считая известными значения вi – запасы ресурсов i Є 1:m, нужно определить объемы выпуска продукции каждого вида, сочетание которых обеспечит предпри

задаче являются объемы производства и вывозки лесоматериалов, для построения математической модели введем переменные хj – объемы выпуска продукции j Є 1:n. Функционал задачи (суммарный доход) будет выглядеть следующим образом:C1 x1 + C2 x2 + ...+ Cn xn → max. Основные ограничения задачи связывают планируемый расход ресурсов и имеющиеся запасы:

Полученная математическая модель – типичная задача линейного программирования. В общем случае целью оптимизации может быть поиск максимума или минимума линейного функционала, а ограничениями - линейные уравнения или неравенства.

По ним проводится применение линейного программирования на примере составления оптимального плана работы лесозаготовительного предприятия. Пусть m=2, работу предприятия ограничивает (А) – транспорт и (В) – лесозаготовительные предприятия. Предположим n=3, и пусть рассматриваются три технологические заготовки древесины: (Р) – сложная, (Q) – санитарная, (К) – проходная рубка. Условные исходные данные приведены в табл. 13.1.

Допустим, что предприятие располагает ресурсами 2000 часов работы автотранспорта и 1600 – лесозаготовительного оборудования.

Тогда математическая модель имеет следующий вид:

127

Рассматриваемый пример иллюстрирует форму и содержание задачи линейной оптимизации.

Задачи линейного программирования часто появляются при моделировании производственного процесса, что объясняется простотой записи и распространенностью линейных связей между управляемыми факторами.

Вопросы для самопроверки:

1 Роль и содержание математической модели.

2 Место математической модели в операционном исследовании.

3 Основные задачи оптимизации.

4 Классификация задач исследования операций.

5 Задача линейного программирования.

6 Задачи оптимизации на графах.

7 Задачи динамического программирования.

128

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Алексеев, А.С. Математические модели и системы в лесном хозяйстве [Текст]: учеб. пособие / А.С. Алексеев. – Л: ЛТА, 1988. – 86с.

2 Булатов, А.Ф. Оптимизация в планировании и управлении предприятиями регионального лесопромышленного комплекса [Текст] / А.Ф. Булатов, А.В. Воронин, В.А. Кузнецов. – Петрозаводск, 2001. – 217с.

3 Вознесенский, В.А. Статистические методы планирования эксперимента в технико-экономических исследованиях [Текст] / В.А. Вознесенский. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 262с.

4 Гусев, И.И. Моделирование экосистем [Текст]: учеб. пособие / И.И. Гусев. – Архангельск, 2002. – 111с.

5 Дворецкий, М.Л. Пособие по вариационной статистике [Текст] / М.Л. Дворецкий. – М.: Лесная пром-сть, 1971. – 102с.

6 Митропольский, А.К. Техника статистических вычислений [Текст] / А.К. Митропольский. – М.: Физматгиз, 1961. – 474с.

7 Никитин, К.Е. Методы и техника обработки лесоводственной информации [Текст] / К.Е. Никитин, А.З. Швиденко. – М.: Лесн. пром-сть, 1977. – 176с.

8 Роднянский, А.М. Математические методы в лесном хозяйстве [Текст]: учеб. пособие. Ч.1. Модели распределения / А.М. Роднянский, А.Н. Смольянов.

– Воронеж,2001. – 51с.

9 Рокицкий, П.Ф. Биологическая статистика [Текст] / П.Ф. Рокицкий. – Минск: Высш. шк., 1964. – 327с.

10 Свалов, Н.Н. Вариационная статистика [Текст] / Н.Н. Свалов. – М.: Лесн. пром-сть,1977. – 176с.

11 Снедекор, Дж.У. Статистические методы в применении к исследованиям в сельском хозяйстве и биологии [Текст] / Дж.У. Снедекор. – М.: Сельхозиздат,1961. – 502с.

12 Пижурин, А.А. Исследования процессов деревообработки [Текст] / А.А. Пижурин, М.С. Розенблит. –М.: Лесн. пром-сть,1984. – 232с.

13 Урбах, В.Ю. Биометрические методы [Текст] / В.Ю. Урбах. – М: Наука,1964. – 170с.

129

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (ординаты нормальной кривой)